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7.若四边形的四个外角度数之比为1:2:3:4,则它的最大的内角度数为
144°
.答案
7.144°
解析
【分析】
解题首先要回忆多边形外角和的性质：任意多边形的外角和均为360°，四边形也符合这个规律。已知四个外角度数的比，我们可以通过设份数的方法表示出四个外角的度数，结合外角和列方程求出每个外角的具体值；再根据相邻的内角和外角互为邻补角（和为180°），可知最小的外角对应的内角最大，代入计算即可得到结果。
【解析】
设四边形四个外角的度数分别为$x$、$2x$、$3x$、$4x$。
∵ 任意多边形的外角和为$360°$，
∴ $x + 2x + 3x + 4x = 360°$，
合并同类项得：$10x = 360°$，
解得：$x = 36°$。
则四个外角中最小的外角为$36°$，
∵ 内角与相邻外角的和为$180°$，
∴ 对应的最大内角度数为$180° - 36° = 144°$。
【答案】
$144°$
【知识点】
多边形外角和定理，内角与外角的关系
【点评】
本题是基础应用题，核心是利用多边形外角和恒为360°的性质求解外角，要注意区分：外角越小，对应的内角度数越大，避免出现用最大外角求对应内角的错误。
【难度系数】
0.8
解题首先要回忆多边形外角和的性质：任意多边形的外角和均为360°，四边形也符合这个规律。已知四个外角度数的比，我们可以通过设份数的方法表示出四个外角的度数，结合外角和列方程求出每个外角的具体值；再根据相邻的内角和外角互为邻补角（和为180°），可知最小的外角对应的内角最大，代入计算即可得到结果。
【解析】
设四边形四个外角的度数分别为$x$、$2x$、$3x$、$4x$。
∵ 任意多边形的外角和为$360°$，
∴ $x + 2x + 3x + 4x = 360°$，
合并同类项得：$10x = 360°$，
解得：$x = 36°$。
则四个外角中最小的外角为$36°$，
∵ 内角与相邻外角的和为$180°$，
∴ 对应的最大内角度数为$180° - 36° = 144°$。
【答案】
$144°$
【知识点】
多边形外角和定理，内角与外角的关系
【点评】
本题是基础应用题，核心是利用多边形外角和恒为360°的性质求解外角，要注意区分：外角越小，对应的内角度数越大，避免出现用最大外角求对应内角的错误。
【难度系数】
0.8
8. 如图所示，某伸缩门每行由20个菱形组成.已知每个菱形的周长为240 cm，当∠A=60°时，该伸缩门的宽度为
12
m.答案
8.12
解析
【分析】
要计算伸缩门的宽度，我们可以按以下思路思考：首先，菱形的四条边长度相等，可先根据周长求出单个菱形的边长；其次，已知菱形的一个内角为60°，结合邻边相等的性质，可推出较短的对角线长度等于边长，这个短对角线就是单个菱形对应伸缩门宽度方向的长度；最后用单个短对角线长度乘以菱形总个数，换算单位后即可得到总宽度。
【解析】
解：①计算菱形的边长：
菱形的四条边相等，已知周长为240 cm，因此边长为 $240÷4=60\ \mathrm{cm}$。
②计算单个菱形的较短对角线长度：
因为菱形的邻边相等，且$∠ A=60°$，所以由该角的两条邻边和较短对角线组成的三角形是等边三角形，因此较短对角线的长度等于菱形的边长，即60 cm。
③计算伸缩门总宽度：
伸缩门共有20个菱形，总宽度为 $20×60=1200\ \mathrm{cm}$，换算单位得 $1200\ \mathrm{cm}=12\ \mathrm{m}$。
【答案】
12
【知识点】
菱形的性质，等边三角形判定，长度单位换算
【点评】
本题结合生活中的伸缩门场景考查几何性质的实际应用，解题的核心是理解含60°内角的菱形较短对角线与边长的等量关系，计算时要注意单位的统一，避免因单位换算失误丢分。
【难度系数】
0.7
要计算伸缩门的宽度，我们可以按以下思路思考：首先，菱形的四条边长度相等，可先根据周长求出单个菱形的边长；其次，已知菱形的一个内角为60°，结合邻边相等的性质，可推出较短的对角线长度等于边长，这个短对角线就是单个菱形对应伸缩门宽度方向的长度；最后用单个短对角线长度乘以菱形总个数，换算单位后即可得到总宽度。
【解析】
解：①计算菱形的边长：
菱形的四条边相等，已知周长为240 cm，因此边长为 $240÷4=60\ \mathrm{cm}$。
②计算单个菱形的较短对角线长度：
因为菱形的邻边相等，且$∠ A=60°$，所以由该角的两条邻边和较短对角线组成的三角形是等边三角形，因此较短对角线的长度等于菱形的边长，即60 cm。
③计算伸缩门总宽度：
伸缩门共有20个菱形，总宽度为 $20×60=1200\ \mathrm{cm}$，换算单位得 $1200\ \mathrm{cm}=12\ \mathrm{m}$。
【答案】
12
【知识点】
菱形的性质，等边三角形判定，长度单位换算
【点评】
本题结合生活中的伸缩门场景考查几何性质的实际应用，解题的核心是理解含60°内角的菱形较短对角线与边长的等量关系，计算时要注意单位的统一，避免因单位换算失误丢分。
【难度系数】
0.7
9.如图所示，某兴趣小组需在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点E在对角线BD上，且满足$DE=DA$，则$∠ BAE$的度数为
22.5°
。答案
9.22.5°
解析
【分析】
解题时先利用正方形的性质得到相关角的度数：正方形的四个内角均为90°，对角线平分一组内角，因此可先求出∠ADB的度数；再结合已知条件DE=DA，可知△ADE为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理求出∠DAE的度数；最后用∠BAD的度数减去∠DAE的度数，即可得到∠BAE的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，对角线BD平分∠ADC，即∠ADB=45°。
又
∵DE=DA，
∴△ADE是等腰三角形，AD=DE，∠DAE=∠DEA。
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ DAE=\frac{180°-∠ ADB}{2}=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$。
因此$∠ BAE=∠ BAD-∠ DAE=90°-67.5°=22.5°$。
【答案】
$22.5°$
【知识点】
正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何角度计算题，解题的核心是熟练掌握正方形和等腰三角形的角度特征，理清各角之间的数量关系，难度较低，属于常规考点题。
【难度系数】
0.7
解题时先利用正方形的性质得到相关角的度数：正方形的四个内角均为90°，对角线平分一组内角，因此可先求出∠ADB的度数；再结合已知条件DE=DA，可知△ADE为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理求出∠DAE的度数；最后用∠BAD的度数减去∠DAE的度数，即可得到∠BAE的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，对角线BD平分∠ADC，即∠ADB=45°。
又
∵DE=DA，
∴△ADE是等腰三角形，AD=DE，∠DAE=∠DEA。
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ DAE=\frac{180°-∠ ADB}{2}=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$。
因此$∠ BAE=∠ BAD-∠ DAE=90°-67.5°=22.5°$。
【答案】
$22.5°$
【知识点】
正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何角度计算题，解题的核心是熟练掌握正方形和等腰三角形的角度特征，理清各角之间的数量关系，难度较低，属于常规考点题。
【难度系数】
0.7
10.如图所示，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，E是边CD的中点，过点E作$EF⊥ BD$于点F，$EG⊥ AC$于点G.若$AC=12$，$BD=16$，则FG的长为
5
.答案
10.5
解析
【分析】
解题时先从菱形的性质入手，首先菱形对角线互相垂直平分，可先求出对角线一半的长度，再结合勾股定理求出CD的长度；接着观察EF⊥BD、EG⊥AC、AC⊥BD的条件，可判定四边形OGEF是矩形，根据矩形对角线相等的性质，将求FG的长度转化为求OE的长度；最后利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可求出OE的长度，也就是FG的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16
∴AC⊥BD，$OC=\frac{1}{2}AC=6$，$OD=\frac{1}{2}BD=8$
在Rt△COD中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{OC^2+OD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD
∴∠OGE=∠GOF=∠OFE=90°
∴四边形OGEF是矩形
∴FG=OE
又
∵E是CD的中点，△COD是直角三角形
∴OE是Rt△COD斜边CD上的中线
∴$OE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×10=5$
∴FG=5
【答案】
5
【知识点】
菱形的性质；矩形的判定与性质；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题综合考查了特殊四边形和直角三角形的相关性质，解题的核心是通过矩形的性质实现线段的转化，将未知线段转化为可求的线段，有助于锻炼学生的几何转化思维。
【难度系数】
0.6
解题时先从菱形的性质入手，首先菱形对角线互相垂直平分，可先求出对角线一半的长度，再结合勾股定理求出CD的长度；接着观察EF⊥BD、EG⊥AC、AC⊥BD的条件，可判定四边形OGEF是矩形，根据矩形对角线相等的性质，将求FG的长度转化为求OE的长度；最后利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可求出OE的长度，也就是FG的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16
∴AC⊥BD，$OC=\frac{1}{2}AC=6$，$OD=\frac{1}{2}BD=8$
在Rt△COD中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{OC^2+OD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD
∴∠OGE=∠GOF=∠OFE=90°
∴四边形OGEF是矩形
∴FG=OE
又
∵E是CD的中点，△COD是直角三角形
∴OE是Rt△COD斜边CD上的中线
∴$OE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×10=5$
∴FG=5
【答案】
5
【知识点】
菱形的性质；矩形的判定与性质；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题综合考查了特殊四边形和直角三角形的相关性质，解题的核心是通过矩形的性质实现线段的转化，将未知线段转化为可求的线段，有助于锻炼学生的几何转化思维。
【难度系数】
0.6
11.已知一个正多边形的内角和比外角和多$720°$.
(1)求这个多边形的边数；
(2)求这个多边形每个内角的度数.
(1)求这个多边形的边数；
(2)求这个多边形每个内角的度数.
答案
11.解:(1)设这个多边形的边数是n，
则$(n-2)· 180°=360°+720°$.
解得$n=8$.
答:这个多边形的边数为8.
(2)由(1),得这个八边形的内角和为$(8-2)×180°=1 080°$,
∴这个八边形每个内角的度数为$1 080°÷8=135°$.
答:这个多边形每个内角的度数为$135°$.
则$(n-2)· 180°=360°+720°$.
解得$n=8$.
答:这个多边形的边数为8.
(2)由(1),得这个八边形的内角和为$(8-2)×180°=1 080°$,
∴这个八边形每个内角的度数为$1 080°÷8=135°$.
答:这个多边形每个内角的度数为$135°$.
解析
【分析】
本题考查多边形内角和与外角和的相关计算，解题思路如下：1. 先回忆相关性质：任意多边形的外角和恒为$360°$，$n$边形的内角和公式为$(n-2)·180°$；2. 第一问根据“内角和比外角和多$720°$”的等量关系，设边数为$n$，列一元一次方程即可求出边数；3. 第二问结合正多边形每个内角相等的性质，用求出的边数先计算总内角和，再除以边数就能得到单个内角的度数。
【解析】
(1) 设这个多边形的边数是$n$，
根据题意列方程：$(n-2)· 180°=360°+720°$
整理得$(n-2)· 180°=1080°$，
解得$n=8$。
答：这个多边形的边数为8。
(2) 由(1)可知该多边形为正八边形，内角和为$(8-2)×180°=1080°$，
因为正多边形每个内角相等，所以每个内角的度数为$1080°÷8=135°$。
答：这个多边形每个内角的度数为$135°$。
【答案】
(1) 8；(2) $135°$
【知识点】
多边形内角和定理，多边形外角和，正多边形性质
【点评】
本题属于多边形相关的基础题型，核心是掌握多边形外角和恒为$360°$、内角和公式两个固定知识点，通过建立方程求解边数是此类题的常规思路，计算难度较低，熟练掌握基础公式即可快速解题。
【难度系数】
0.85
本题考查多边形内角和与外角和的相关计算，解题思路如下：1. 先回忆相关性质：任意多边形的外角和恒为$360°$，$n$边形的内角和公式为$(n-2)·180°$；2. 第一问根据“内角和比外角和多$720°$”的等量关系，设边数为$n$，列一元一次方程即可求出边数；3. 第二问结合正多边形每个内角相等的性质，用求出的边数先计算总内角和，再除以边数就能得到单个内角的度数。
【解析】
(1) 设这个多边形的边数是$n$，
根据题意列方程：$(n-2)· 180°=360°+720°$
整理得$(n-2)· 180°=1080°$，
解得$n=8$。
答：这个多边形的边数为8。
(2) 由(1)可知该多边形为正八边形，内角和为$(8-2)×180°=1080°$，
因为正多边形每个内角相等，所以每个内角的度数为$1080°÷8=135°$。
答：这个多边形每个内角的度数为$135°$。
【答案】
(1) 8；(2) $135°$
【知识点】
多边形内角和定理，多边形外角和，正多边形性质
【点评】
本题属于多边形相关的基础题型，核心是掌握多边形外角和恒为$360°$、内角和公式两个固定知识点，通过建立方程求解边数是此类题的常规思路，计算难度较低，熟练掌握基础公式即可快速解题。
【难度系数】
0.85
12.如图所示,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在BA,DC的延长线上,且BE=DF.连接AF,交BC于点H,连接EC.求证:四边形EAFC是平行四边形.
答案
12.证明:
∵四边形ABCD为平行四边形,$\therefore AB// CD$,$AB=CD$.
∵点E,F分别在BA,DC的延长线上,且$BE=DF$,$\therefore AE// CF$,$BE-AB=DF-CD$.
$\therefore AE=CF$.
∴四边形EAFC是平行四边形.
∵四边形ABCD为平行四边形,$\therefore AB// CD$,$AB=CD$.
∵点E,F分别在BA,DC的延长线上,且$BE=DF$,$\therefore AE// CF$,$BE-AB=DF-CD$.
$\therefore AE=CF$.
∴四边形EAFC是平行四边形.
解析
【分析】
要证明四边形EAFC是平行四边形，可选用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理推导。首先根据已知平行四边形ABCD的性质，可得到AB与CD平行且相等；结合E、F分别在BA、DC延长线的位置，能直接推出AE与CF平行；再利用已知条件BE=DF，通过线段和差运算即可得到AE=CF，满足平行四边形的判定条件，进而完成证明。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB=CD$。
∵点E，F分别在BA，DC的延长线上，且$BE=DF$，
∴$AE// CF$，$BE-AB=DF-CD$，
∴$AE=CF$。
∴四边形EAFC是平行四边形。
【答案】
证明过程见上述解析，四边形EAFC是平行四边形成立。
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定
【点评】
本题属于平行四边形相关的基础证明题，重点考查平行四边形性质和判定的综合应用，解题关键是结合已知条件推导出待证四边形一组对边平行且相等，能帮助学生巩固相关定理的应用逻辑。
【难度系数】
0.8
要证明四边形EAFC是平行四边形，可选用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理推导。首先根据已知平行四边形ABCD的性质，可得到AB与CD平行且相等；结合E、F分别在BA、DC延长线的位置，能直接推出AE与CF平行；再利用已知条件BE=DF，通过线段和差运算即可得到AE=CF，满足平行四边形的判定条件，进而完成证明。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB=CD$。
∵点E，F分别在BA，DC的延长线上，且$BE=DF$，
∴$AE// CF$，$BE-AB=DF-CD$，
∴$AE=CF$。
∴四边形EAFC是平行四边形。
【答案】
证明过程见上述解析，四边形EAFC是平行四边形成立。
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定
【点评】
本题属于平行四边形相关的基础证明题，重点考查平行四边形性质和判定的综合应用，解题关键是结合已知条件推导出待证四边形一组对边平行且相等，能帮助学生巩固相关定理的应用逻辑。
【难度系数】
0.8
13. 如图所示，在$△ ABC$中，D，E分别是AB，AC的中点，$AC=12$，F是DE上一点，且$DF=1$，连接AF，CF.若$∠ AFC=90°$，则BC的长为（
A.12
B.13
C.14
D.15
C
）A.12
B.13
C.14
D.15
答案
13.C
解析
【分析】
解题时先从已知的直角条件入手：首先，已知∠AFC=90°，E是AC的中点，可根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出EF的长度；再结合DF的长度求出DE的总长度；最后根据D、E是AB、AC中点，可知DE是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵在Rt△AFC中，∠AFC=90°，E是AC的中点，
∴EF是Rt△AFC斜边AC边上的中线，
∴EF=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=12，
∴EF=$\frac{1}{2}×12=6$，
∵DF=1，
∴DE=DF+EF=1+6=7，
又
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=2×7=14。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是熟练运用直角三角形的性质和三角形中位线定理，先求出中位线DE的长度是解题的核心步骤。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的直角条件入手：首先，已知∠AFC=90°，E是AC的中点，可根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出EF的长度；再结合DF的长度求出DE的总长度；最后根据D、E是AB、AC中点，可知DE是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵在Rt△AFC中，∠AFC=90°，E是AC的中点，
∴EF是Rt△AFC斜边AC边上的中线，
∴EF=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=12，
∴EF=$\frac{1}{2}×12=6$，
∵DF=1，
∴DE=DF+EF=1+6=7，
又
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=2×7=14。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是熟练运用直角三角形的性质和三角形中位线定理，先求出中位线DE的长度是解题的核心步骤。
【难度系数】
0.7
