1. 如图是一种筷子的收纳盒，长、宽、高分别为 4 cm，3 cm，12 cm. 现有一长为16 cm 的筷子插入到盒的底部，则筷子露在盒外的部分$h\ (\mathrm{cm})$的取值范围为（）

A.$3＜h＜4$
B.$3 ≤ h ≤ 4$
C.$2 ≤ h ≤ 4$
D.$5 ≤ h ≤ 6$

1. B 提示:由题图知,筷子露在盒外的部分$h(\mathrm{cm})$最长为$16-12=4(\mathrm{cm})$. 因为$\sqrt{3^2+4^2}=5(\mathrm{cm})$,当筷子斜插于盒内时,即筷子露在盒外的部分$h(\mathrm{cm})$最短为$16-\sqrt{5^2+12^2}=16-13=3(\mathrm{cm})$,所以筷子露在盒外的部分$h(\mathrm{cm})$的取值范围为$3≤ h≤ 4$.

2. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：“今有开门去阃(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？”题目大意是：如图1、图2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，C，D两点到门槛AB的距离都为1尺

(1尺=10寸)，则AB的长是 （）

A.50.5寸
B.52寸
C.101寸
D.104寸

2. C 提示:设$OA=OB=AD=BC=x$寸. 过点$D$作$DE⊥ AB$于点$E$,则$DE=10$寸,$OE=\dfrac{1}{2}CD=1$寸,$AE=(x-1)$寸. 在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,由勾股定理,得$AE^2+DE^2=AD^2$,即$(x-1)^2+10^2=x^2$,解得$2x=101$. 故$AB$的长是$101$寸.

3. 某宾馆装修，需在台阶上铺地毯. 已知台阶宽2.8 m，其侧面图如图所示，则至少需要购买$\mathrm{m}^2$ 的地毯才能铺满所有台阶.

3. 19.6 提示:由题意,得$AB=\sqrt{5^2-3^2}=4(\mathrm{m})$. 利用平移可知,把台阶的横竖分别向上向右平移,得到一个长方形,地毯的长为$3+4=7(\mathrm{m})$,所以至少需要地毯面积为$2.8× 7=19.6(\mathrm{m}^2)$.

4.（2026 常州市期末）如图是小丽房间某一角落的平面图，点 A，B 之间的距离记为$x\ \mathrm{cm}.$若$n≤ x ＜ n+1$（$n$为整数），则$n$的值是.

4. 31 提示:如图2,过点$A$作$AC⊥ CD$于点$C$,过点$B$作$BE⊥ AC$于点$E$. 由题意可知四边形$ECDB$是长方形,所以$EC=BD=60\ \mathrm{cm}$,$CD=BE=60-30=30(\mathrm{cm})$. 所以$AE=70-60=10(\mathrm{cm})$. 所以$AB=\sqrt{AE^2+BE^2}=\sqrt{10^2+30^2}=10\sqrt{10}(\mathrm{cm})$. 因为$31＜10\sqrt{10}＜32$,所以$n=31$.

5.（2025 徐州市铜山区期中）如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村 A 和李庄 B送水，已知张村 A、李庄 B 到河边的距离分别为 2 km 和 7 km，且 $EF = 12\ \mathrm{km}$.
（1）水泵站应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中设计出水泵站的位置.
（2）如果铺设水管的工程费用为每千米1 500 元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元.

5. 解:(1) 如图3,作点$A$关于河边的对称点$A'$,连接$A'B$与$EF$交于点$P$.

由轴对称的性质可得$AP=A'P$,所以$AP+BP=A'P+BP=A'B$,所以点$P$即为所求.
(2) 过点$A'$作$A'G⊥ BF$,交$BF$的延长线于点$G$. 由(1)可得$AP+BP=A'P+BP=A'B$. 由题意得$A'G=12\ \mathrm{km}$,$BG=BF+FG=9\ \mathrm{km}$. 在$\mathrm{Rt}△ A'BG$中,$∠ A'GB=90°$,由勾股定理得$A'B=\sqrt{A'G^2+BG^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15(\mathrm{km})$,所以$15× 1\ 500=22\ 500(\mathrm{元})$.
答:最节省的铺设水管的费用为$22\ 500$元.