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1. $6x^2y - 3xy^2$ 分解因式时，应提取的公因式是 （）
A.$3xy$
B.$3x^2y$
C.$3x^2y^3$
D.$3x^2y^2$
A.$3xy$
B.$3x^2y$
C.$3x^2y^3$
D.$3x^2y^2$
答案
A
解析
【分析】
要确定多项式分解因式时应提取的公因式，需先明确公因式的确定规则：公因式是多项式各项都含有的公共因式，需从系数、相同字母两方面确定：①系数取各项系数的最大公约数；②相同字母取各项中该字母的最低次幂。接下来按此规则分析题目中的多项式即可。
【解析】
对于多项式$6x^2y - 3xy^2$：
1. 系数部分：各项系数为6和-3，它们的最大公约数是3；
2. 字母部分：两项都含有的字母是$x$和$y$，$x$的指数分别为2和1，最低次幂是1；$y$的指数分别为1和2，最低次幂是1；
因此，该多项式的公因式为$3xy$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
公因式的确定、提公因式法分解因式
【点评】
本题考查因式分解中公因式的确定，属于基础题型，只要掌握公因式的确定方法，就能快速得出答案，是因式分解的入门考点。
【难度系数】
0.9
要确定多项式分解因式时应提取的公因式，需先明确公因式的确定规则：公因式是多项式各项都含有的公共因式，需从系数、相同字母两方面确定：①系数取各项系数的最大公约数；②相同字母取各项中该字母的最低次幂。接下来按此规则分析题目中的多项式即可。
【解析】
对于多项式$6x^2y - 3xy^2$：
1. 系数部分：各项系数为6和-3，它们的最大公约数是3；
2. 字母部分：两项都含有的字母是$x$和$y$，$x$的指数分别为2和1，最低次幂是1；$y$的指数分别为1和2，最低次幂是1；
因此，该多项式的公因式为$3xy$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
公因式的确定、提公因式法分解因式
【点评】
本题考查因式分解中公因式的确定，属于基础题型，只要掌握公因式的确定方法，就能快速得出答案，是因式分解的入门考点。
【难度系数】
0.9
2. 将$3a(x-y)-9b(x-y)$用提公因式法进行因式分解，应提取的公因式是（）
A.$a-3b$
B.$x-y$
C.$3(x-y)$
D.$3x-y$
A.$a-3b$
B.$x-y$
C.$3(x-y)$
D.$3x-y$
答案
C
解析
【分析】要确定提公因式法中的公因式，需掌握公因式的确定规则：公因式是多项式各项系数的最大公约数，与各项都含有的相同因式的最低次幂的乘积。本题中多项式的两项分别为$3a(x-y)$和$-9b(x-y)$，需分别分析系数和相同因式来确定公因式。
【解析】多项式$3a(x-y)-9b(x-y)$中，系数部分：3和9的最大公约数是3；相同因式部分：两项都含有整体$(x-y)$，因此公因式为$3×(x-y)=3(x-y)$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】因式分解-提公因式法
【点评】本题考查提公因式法中公因式的确定，属于因式分解的基础题型，核心是掌握公因式的确定方法，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】多项式$3a(x-y)-9b(x-y)$中，系数部分：3和9的最大公约数是3；相同因式部分：两项都含有整体$(x-y)$，因此公因式为$3×(x-y)=3(x-y)$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】因式分解-提公因式法
【点评】本题考查提公因式法中公因式的确定，属于因式分解的基础题型，核心是掌握公因式的确定方法，难度较低。
【难度系数】0.8
3. 把$5(a-b)+m(b-a)$提公因式后一个因式是$(a-b)$，则另一个因式是 （）
A.$5-m$
B.$5+m$
C.$m-5$
D.$-m-5$
A.$5-m$
B.$5+m$
C.$m-5$
D.$-m-5$
答案
A
解析
【分析】本题考查因式分解中的提公因式法，解题关键是将式子中互为相反数的项转化为相同的因式，再提取公因式得到另一个因式。
【解析】首先，对式子中的第二项变形：因为$b - a = -(a - b)$，所以$m(b - a) = -m(a - b)$。将其代入原式得：
$5(a - b) + m(b - a) = 5(a - b) - m(a - b)$
接着提取公因式$(a - b)$，可得：
$(a - b)(5 - m)$
因此，提公因式后另一个因式是$5 - m$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】提公因式法、因式分解
【点评】本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式时对互为相反数项的转化，属于基础知识点的应用，难度较低。
【难度系数】0.6
【解析】首先，对式子中的第二项变形：因为$b - a = -(a - b)$，所以$m(b - a) = -m(a - b)$。将其代入原式得：
$5(a - b) + m(b - a) = 5(a - b) - m(a - b)$
接着提取公因式$(a - b)$，可得：
$(a - b)(5 - m)$
因此，提公因式后另一个因式是$5 - m$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】提公因式法、因式分解
【点评】本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式时对互为相反数项的转化，属于基础知识点的应用，难度较低。
【难度系数】0.6
4. 把多项式$a^{2}-4a$分解因式的正确结果是（）
A.$a(a - 4)$
B.$(a + 2)(a - 2)$
C.$a(a + 2)(a - 2)$
D.$(a - 2)^{2}-4$
A.$a(a - 4)$
B.$(a + 2)(a - 2)$
C.$a(a + 2)(a - 2)$
D.$(a - 2)^{2}-4$
答案
A
解析
【分析】
要解决这道因式分解题，首先明确分解因式是将多项式化为几个整式乘积的形式。观察多项式$a^2 - 4a$，先找各项的公因式，再通过提取公因式法分解，最后核对选项排除错误答案。
【解析】
对多项式$a^2 - 4a$分解因式：
1. 确定公因式：多项式$a^2 - 4a$中，各项系数的最大公约数是1，相同字母为$a$，最低次幂是$a^1$，因此公因式为$a$。
2. 提取公因式：将公因式$a$提出，得到$a · a - a · 4 = a(a - 4)$。
3. 核对选项：
A选项：$a(a - 4)$，与分解结果一致，正确；
B选项：$(a + 2)(a - 2)$是$a^2 - 4$的分解结果，与原式不符，错误；
C选项：多乘了因式$(a + 2)$，结果与原式不相等，错误；
D选项：$(a - 2)^2 - 4$是展开式，不是整式乘积形式，不属于因式分解，错误。
【答案】
A
【知识点】
提取公因式法分解因式，因式分解的概念
【点评】
本题考查基础的因式分解方法，需掌握提取公因式法的应用，同时要明确因式分解的本质是化为整式乘积的形式，避免与公式法混淆。
【难度系数】
0.8
要解决这道因式分解题，首先明确分解因式是将多项式化为几个整式乘积的形式。观察多项式$a^2 - 4a$，先找各项的公因式，再通过提取公因式法分解，最后核对选项排除错误答案。
【解析】
对多项式$a^2 - 4a$分解因式：
1. 确定公因式：多项式$a^2 - 4a$中，各项系数的最大公约数是1，相同字母为$a$，最低次幂是$a^1$，因此公因式为$a$。
2. 提取公因式：将公因式$a$提出，得到$a · a - a · 4 = a(a - 4)$。
3. 核对选项：
A选项：$a(a - 4)$，与分解结果一致，正确；
B选项：$(a + 2)(a - 2)$是$a^2 - 4$的分解结果，与原式不符，错误；
C选项：多乘了因式$(a + 2)$，结果与原式不相等，错误；
D选项：$(a - 2)^2 - 4$是展开式，不是整式乘积形式，不属于因式分解，错误。
【答案】
A
【知识点】
提取公因式法分解因式，因式分解的概念
【点评】
本题考查基础的因式分解方法，需掌握提取公因式法的应用，同时要明确因式分解的本质是化为整式乘积的形式，避免与公式法混淆。
【难度系数】
0.8
5. 若$n$为正整数,则下列各数中,一定能整除$(n^2+2n)(n+1)$的是 （）
A.6
B.7
C.8
D.9
A.6
B.7
C.8
D.9
答案
A
解析
【分析】要解决本题，先对原式进行因式分解化简，将其转化为连续整数的乘积形式，再利用连续整数的整除性质判断各选项，也可通过举反例排除错误选项。具体思路：第一步，对原式因式分解，得到三个连续整数的乘积；第二步，利用连续整数的整除特性，判断是否一定能被6整除；第三步，代入特殊值验证其他选项是否不符合要求，最终确定答案。
【解析】先化简原式：
$(n^2+2n)(n+1) = n(n+2)(n+1) = n(n+1)(n+2)$，即三个连续正整数的乘积。
根据数的整除性质：任意三个连续整数中，必有一个是2的倍数，一个是3的倍数，因此它们的乘积一定是$2×3=6$的倍数，即一定能被6整除。
再验证其他选项：取$n=1$时，原式$=1×2×3=6$，6不能被7整除，排除B；6不能被8整除，排除C；6不能被9整除，排除D。
综上，答案为A。
【答案】A
【知识点】因式分解、数的整除性
【点评】本题通过因式分解将原式转化为三个连续整数的乘积，利用连续整数的整除规律快速解题，也可通过举反例排除错误选项，考查学生对因式分解和数的整除知识的掌握。
【难度系数】0.6
【解析】先化简原式：
$(n^2+2n)(n+1) = n(n+2)(n+1) = n(n+1)(n+2)$，即三个连续正整数的乘积。
根据数的整除性质：任意三个连续整数中，必有一个是2的倍数，一个是3的倍数，因此它们的乘积一定是$2×3=6$的倍数，即一定能被6整除。
再验证其他选项：取$n=1$时，原式$=1×2×3=6$，6不能被7整除，排除B；6不能被8整除，排除C；6不能被9整除，排除D。
综上，答案为A。
【答案】A
【知识点】因式分解、数的整除性
【点评】本题通过因式分解将原式转化为三个连续整数的乘积，利用连续整数的整除规律快速解题，也可通过举反例排除错误选项，考查学生对因式分解和数的整除知识的掌握。
【难度系数】0.6
6. 把多项式$6 a^{3} b^{2}-3 a^{2} b^{2}-12 a^{2} b^{3}$分解因式时,应提取的公因式是$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
$3a^2b^2$
解析
【分析】
要确定多项式分解因式时应提取的公因式，需遵循公因式的确定规则：分别提取各项系数的最大公约数，以及各项都含有的相同字母的最低次幂。先分析多项式各项的系数和字母部分，再组合得到公因式。
【解析】
对于多项式$6 a^{3} b^{2}-3 a^{2} b^{2}-12 a^{2} b^{3}$：
1. 系数部分：各项系数为6、-3、-12，它们的最大公约数是3；
2. 字母部分：各项都含有的字母是a和b，a的最低次幂是$a^2$，b的最低次幂是$b^2$；
因此，应提取的公因式是$3a^2b^2$。
【答案】
$3a^2b^2$
【知识点】
公因式的确定、因式分解的公因式提取
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查公因式的确定方法，只要掌握系数最大公约数和相同字母最低次幂的提取规则，即可快速得出结果，难度较低。
【难度系数】
0.9
要确定多项式分解因式时应提取的公因式，需遵循公因式的确定规则：分别提取各项系数的最大公约数，以及各项都含有的相同字母的最低次幂。先分析多项式各项的系数和字母部分，再组合得到公因式。
【解析】
对于多项式$6 a^{3} b^{2}-3 a^{2} b^{2}-12 a^{2} b^{3}$：
1. 系数部分：各项系数为6、-3、-12，它们的最大公约数是3；
2. 字母部分：各项都含有的字母是a和b，a的最低次幂是$a^2$，b的最低次幂是$b^2$；
因此，应提取的公因式是$3a^2b^2$。
【答案】
$3a^2b^2$
【知识点】
公因式的确定、因式分解的公因式提取
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查公因式的确定方法，只要掌握系数最大公约数和相同字母最低次幂的提取规则，即可快速得出结果，难度较低。
【难度系数】
0.9
7. 把多项式 $4xy^2z - 8x^2y^2z - 6xyz^2$ 分解因式时,应提取的公因式是________.
答案
2xyz
解析
【分析】
要确定多项式分解因式时应提取的公因式，需遵循公因式的确定规则：先找各项系数的最大公约数，再提取各项都含有的相同字母，最后取相同字母的最低次幂，将这几部分相乘即可得到公因式。
【解析】
对于多项式$4xy^2z - 8x^2y^2z - 6xyz^2$：
1. 系数部分：各项系数为4、-8、-6，它们的最大公约数是2；
2. 字母部分：各项都含有的字母是x、y、z，其中x的最低次幂为1，y的最低次幂为1，z的最低次幂为1；
3. 因此，该多项式应提取的公因式为$2 × x × y × z = 2xyz$。
【答案】
2xyz
【知识点】
公因式的确定；提公因式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查公因式的确定方法，只要掌握系数最大公约数和相同字母最低次幂的选取规则，即可快速得出结果，属于基础题。
【难度系数】
0.9
要确定多项式分解因式时应提取的公因式，需遵循公因式的确定规则：先找各项系数的最大公约数，再提取各项都含有的相同字母，最后取相同字母的最低次幂，将这几部分相乘即可得到公因式。
【解析】
对于多项式$4xy^2z - 8x^2y^2z - 6xyz^2$：
1. 系数部分：各项系数为4、-8、-6，它们的最大公约数是2；
2. 字母部分：各项都含有的字母是x、y、z，其中x的最低次幂为1，y的最低次幂为1，z的最低次幂为1；
3. 因此，该多项式应提取的公因式为$2 × x × y × z = 2xyz$。
【答案】
2xyz
【知识点】
公因式的确定；提公因式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查公因式的确定方法，只要掌握系数最大公约数和相同字母最低次幂的选取规则，即可快速得出结果，属于基础题。
【难度系数】
0.9
8. $(3a+2b)(3x-2y)+a(2y-3x)$因式分解的最终结果是________.
答案
$2(3x-2y)(a+b)$
解析
【分析】首先观察原式的两项，发现第二项中的(2y-3x)与第一项中的(3x-2y)互为相反数，将其变形为-(3x-2y)，使两项产生公因式(3x-2y)；接着提取公因式(3x-2y)，合并剩余项后，对剩余的多项式再次提取公因式2，即可完成因式分解。
【解析】原式 = (3a+2b)(3x-2y) + a·[-(3x-2y)]
= (3a+2b)(3x-2y) - a(3x-2y)
= (3x-2y)(3a + 2b - a)
= (3x-2y)(2a + 2b)
= (3x-2y)·2(a + b)
= 2(3x - 2y)(a + b)
【答案】2(3x-2y)(a+b)
【知识点】因式分解 提公因式法
【点评】本题考查因式分解的提公因式法，解题关键是通过变形构造出公因式，分解过程需注意彻底性，属于基础题型。
【难度系数】0.5
【解析】原式 = (3a+2b)(3x-2y) + a·[-(3x-2y)]
= (3a+2b)(3x-2y) - a(3x-2y)
= (3x-2y)(3a + 2b - a)
= (3x-2y)(2a + 2b)
= (3x-2y)·2(a + b)
= 2(3x - 2y)(a + b)
【答案】2(3x-2y)(a+b)
【知识点】因式分解 提公因式法
【点评】本题考查因式分解的提公因式法，解题关键是通过变形构造出公因式，分解过程需注意彻底性，属于基础题型。
【难度系数】0.5
三、解答题
9. 因式分解:$(a+b)(x-y)+(a-b)· (y-x).$
9. 因式分解:$(a+b)(x-y)+(a-b)· (y-x).$
答案
$2b(x-y)$
解析
【分析】首先观察式子中两项的结构，发现$(y-x)$与$(x-y)$互为相反数，可将第二项的$(y-x)$变形为$-(x-y)$，使两项产生相同的公因式，再通过提取公因式法进行因式分解，最后化简得到结果。
【解析】原式=$(a+b)(x-y)+(a-b)· [-(x-y)]$
$=(a+b)(x-y)-(a-b)(x-y)$
提取公因式$(x-y)$，得：
$=(x-y)[(a+b)-(a-b)]$
化简括号内的式子：
$(a+b)-(a-b)=a+b -a +b=2b$
所以原式$=2b(x-y)$
【答案】$2b(x-y)$
【知识点】因式分解、提公因式法
【点评】本题属于基础因式分解题，核心是利用互为相反数的项变形得到公因式，再用提公因式法分解，需注意符号的处理，避免计算错误，适合巩固因式分解的基本方法。
【难度系数】0.6
【解析】原式=$(a+b)(x-y)+(a-b)· [-(x-y)]$
$=(a+b)(x-y)-(a-b)(x-y)$
提取公因式$(x-y)$，得：
$=(x-y)[(a+b)-(a-b)]$
化简括号内的式子：
$(a+b)-(a-b)=a+b -a +b=2b$
所以原式$=2b(x-y)$
【答案】$2b(x-y)$
【知识点】因式分解、提公因式法
【点评】本题属于基础因式分解题，核心是利用互为相反数的项变形得到公因式，再用提公因式法分解，需注意符号的处理，避免计算错误，适合巩固因式分解的基本方法。
【难度系数】0.6
10. 先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题.
$\begin{aligned}&1+x+x(x+1)+x(x+1)^2 \\=&(1+x)[1+x+x(x+1)] \\=&(1+x)^2(1+x) \\=&(1+x)^3.\end{aligned}$
（1）上述分解因式的方法是________，共应用了________次；
（2）因式分解：$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2 + x(x + 1)^3 + x(x + 1)^4 + x(x + 1)^5$；
（3）若分解$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2 + \dots + x(x + 1)^n$，则需要应用上述方法________次，结果是________（$n$为正整数）.
$\begin{aligned}&1+x+x(x+1)+x(x+1)^2 \\=&(1+x)[1+x+x(x+1)] \\=&(1+x)^2(1+x) \\=&(1+x)^3.\end{aligned}$
（1）上述分解因式的方法是________，共应用了________次；
（2）因式分解：$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2 + x(x + 1)^3 + x(x + 1)^4 + x(x + 1)^5$；
（3）若分解$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^2 + \dots + x(x + 1)^n$，则需要应用上述方法________次，结果是________（$n$为正整数）.
答案
（1）提公因式法；$2$
（2）$\boldsymbol{(1+x)^6}$
（3）$n$；$\boldsymbol{(1+x)^{n+1}}$
（2）$\boldsymbol{(1+x)^6}$
（3）$n$；$\boldsymbol{(1+x)^{n+1}}$
解析
【分析】
首先观察题目给出的因式分解过程，发现每一步均提取公因式$(1+x)$，属于提公因式法。第（1）问需数清提取公因式的次数；第（2）问仿照例子逐步提取公因式，每次提取后括号内式子仍符合原结构，最终化简；第（3）问通过前两问的规律，归纳一般式的提取次数和结果。
【解析】
（1）观察分解过程：第一步提取公因式$(1+x)$，第二步再次提取括号内的公因式$(1+x)$，因此方法是提公因式法，共应用了2次。
（2）对原式逐步提取公因式$(1+x)$：
原式 $=(1+x)[1 + x + x(x+1) + x(x+1)^2 + x(x+1)^3 + x(x+1)^4]$
继续提取公因式，每次提取后括号内式子的最高次幂降低1次，共提取5次后，最终结果为$(1+x)^6$。
（3）对于一般式$1 + x + x(x+1) + \dots + x(x+1)^n$，按照上述方法，每次提取公因式$(1+x)$，需要提取$n$次，最终化简结果为$(1+x)^{n+1}$。
【答案】
（1）提公因式法；2
（2）$(1+x)^6$
（3）$n$；$(1+x)^{n+1}$
【知识点】
提公因式法因式分解
【点评】
本题通过具体实例引导学生掌握提公因式法的应用，培养归纳总结规律的能力，属于基础题型，理解例子结构即可顺利解答。
【难度系数】
0.6
首先观察题目给出的因式分解过程，发现每一步均提取公因式$(1+x)$，属于提公因式法。第（1）问需数清提取公因式的次数；第（2）问仿照例子逐步提取公因式，每次提取后括号内式子仍符合原结构，最终化简；第（3）问通过前两问的规律，归纳一般式的提取次数和结果。
【解析】
（1）观察分解过程：第一步提取公因式$(1+x)$，第二步再次提取括号内的公因式$(1+x)$，因此方法是提公因式法，共应用了2次。
（2）对原式逐步提取公因式$(1+x)$：
原式 $=(1+x)[1 + x + x(x+1) + x(x+1)^2 + x(x+1)^3 + x(x+1)^4]$
继续提取公因式，每次提取后括号内式子的最高次幂降低1次，共提取5次后，最终结果为$(1+x)^6$。
（3）对于一般式$1 + x + x(x+1) + \dots + x(x+1)^n$，按照上述方法，每次提取公因式$(1+x)$，需要提取$n$次，最终化简结果为$(1+x)^{n+1}$。
【答案】
（1）提公因式法；2
（2）$(1+x)^6$
（3）$n$；$(1+x)^{n+1}$
【知识点】
提公因式法因式分解
【点评】
本题通过具体实例引导学生掌握提公因式法的应用，培养归纳总结规律的能力，属于基础题型，理解例子结构即可顺利解答。
【难度系数】
0.6
