如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$∠ B=45°$,$BC=10$,过点$A$作$AD// BC$,且点$D$在点$A$的右侧.点$P$从点$A$出发沿射线$AD$方向以每秒1个单位的速度运动,同时点$Q$从点$C$出发沿射线$CB$方向以每秒2个单位的速度运动,在线段$QC$上取点$E$,使得$QE=2$,连结$PE$,设点$P$的运动时间为$t$秒.
任务一:若$PE⊥ BC$,求$BQ$的长.
任务二:请问是否存在$t$的值,使以$A,B,E,P$为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出$t$的值;若不存在,请说明理由.

任务一:如图,过点A作AM⊥BC于点M.
∵ ∠BAC=90°,∠B=45°,
∴ ∠C=45°.
∴ ∠B=∠C=45°.
∴ AB=AC.
∴ BM=CM.
∴ $AM=\frac{1}{2}BC=5$.
∵ AD//BC,
∴ ∠PAN=∠C=45°.
∵ PE⊥BC,
∴ PE=AM=5,PE⊥AD.
∴ △APN和△CEN均为等腰直角三角形.
∴ PN=AP=t,CE=NE=5-t.
又
∵ CE=CQ-QE=2t-2,
∴ $5-t=2t-2$,解得 $t=\frac{7}{3}$.
∴ $BQ=BC-CQ=10-2×\frac{7}{3}=\frac{16}{3}$.
任务二:存在.
当t的值为4或12时,以A,B,E,P为顶点的四边形为平行四边形.