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7. 如图,在纸上画有$∠ AOB$,将两把直尺按图示摆放,直尺边缘的交点$P$在$∠ AOB$的平分线上,则（
A.$d_1$与$d_2$一定相等
B.$d_1$与$d_2$一定不相等
C.$l_1$与$l_2$一定相等
D.$l_1$与$l_2$一定不相等
A
）A.$d_1$与$d_2$一定相等
B.$d_1$与$d_2$一定不相等
C.$l_1$与$l_2$一定相等
D.$l_1$与$l_2$一定不相等
答案
7.A
解析
【分析】
首先回忆角平分线的核心性质：角平分线上的任意一点，到角两边的垂直距离相等。接下来明确题中各量的几何意义：d₁是水平直尺的宽度，本质是点P到∠AOB的边OB的垂直距离；d₂是斜放直尺的宽度，本质是点P到∠AOB的边OA的垂直距离。已知P在角平分线上，结合性质即可判断d₁和d₂的关系，而l₁、l₂不是点到直线的垂直距离，无法通过角平分线性质判断其相等关系，由此可选出正确答案。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
已知点P在∠AOB的平分线上，因此点P到OA的垂直距离等于点P到OB的垂直距离。
由图可知，d₂是斜放直尺的宽度，即点P到OA的垂直距离；d₁是水平直尺的宽度，即点P到OB的垂直距离，因此d₁=d₂。
l₁、l₂不属于点P到角两边的垂直距离，无法判定二者是否相等，因此只有A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题是角平分线性质的实际应用类题目，解题的关键是将直尺的宽度对应为角平分线上的点到角两边的垂直距离，结合性质即可快速得出结论，注重对基础概念的理解和应用考查。
【难度系数】
0.8
首先回忆角平分线的核心性质：角平分线上的任意一点，到角两边的垂直距离相等。接下来明确题中各量的几何意义：d₁是水平直尺的宽度，本质是点P到∠AOB的边OB的垂直距离；d₂是斜放直尺的宽度，本质是点P到∠AOB的边OA的垂直距离。已知P在角平分线上，结合性质即可判断d₁和d₂的关系，而l₁、l₂不是点到直线的垂直距离，无法通过角平分线性质判断其相等关系，由此可选出正确答案。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
已知点P在∠AOB的平分线上，因此点P到OA的垂直距离等于点P到OB的垂直距离。
由图可知，d₂是斜放直尺的宽度，即点P到OA的垂直距离；d₁是水平直尺的宽度，即点P到OB的垂直距离，因此d₁=d₂。
l₁、l₂不属于点P到角两边的垂直距离，无法判定二者是否相等，因此只有A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题是角平分线性质的实际应用类题目，解题的关键是将直尺的宽度对应为角平分线上的点到角两边的垂直距离，结合性质即可快速得出结论，注重对基础概念的理解和应用考查。
【难度系数】
0.8
8. 如图，BD是$△ ABC$的角平分线，$DE⊥ AB$，垂足为E，$△ ABC$的面积为60，$AB=16$，$BC=14$，则DE的长等于________.
答案
8.4
解析
【分析】
解题思路：首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知BD是角平分线，DE⊥AB，我们可以过D作BC的垂线，得到D到BC的距离等于DE，再观察到△ABC的面积等于△ABD与△BCD的面积之和，分别用底和高表示两个小三角形的面积，代入已知数值即可列方程求出DE的长度。
【解析】
过点D作$DF⊥BC$，垂足为F。
∵ BD是$△ABC$的角平分线，$DE⊥AB$，$DF⊥BC$
∴ $DE = DF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∵ $S_{△ABC} = S_{△ABD} + S_{△BCD} = 60$
又
∵ $S_{△ABD} = \frac{1}{2}·AB·DE$，$S_{△BCD} = \frac{1}{2}·BC·DF = \frac{1}{2}·BC·DE$
代入$AB=16$，$BC=14$得：
$\frac{1}{2}×16×DE + \frac{1}{2}×14×DE = 60$
化简得：$8DE + 7DE = 60$
即$15DE = 60$
解得$DE = 4$
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，通过拆分三角形面积建立等量关系求解未知高，解题关键是利用角平分线性质得到两条高相等，要熟练掌握这种面积拆分的解题思路。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知BD是角平分线，DE⊥AB，我们可以过D作BC的垂线，得到D到BC的距离等于DE，再观察到△ABC的面积等于△ABD与△BCD的面积之和，分别用底和高表示两个小三角形的面积，代入已知数值即可列方程求出DE的长度。
【解析】
过点D作$DF⊥BC$，垂足为F。
∵ BD是$△ABC$的角平分线，$DE⊥AB$，$DF⊥BC$
∴ $DE = DF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∵ $S_{△ABC} = S_{△ABD} + S_{△BCD} = 60$
又
∵ $S_{△ABD} = \frac{1}{2}·AB·DE$，$S_{△BCD} = \frac{1}{2}·BC·DF = \frac{1}{2}·BC·DE$
代入$AB=16$，$BC=14$得：
$\frac{1}{2}×16×DE + \frac{1}{2}×14×DE = 60$
化简得：$8DE + 7DE = 60$
即$15DE = 60$
解得$DE = 4$
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，通过拆分三角形面积建立等量关系求解未知高，解题关键是利用角平分线性质得到两条高相等，要熟练掌握这种面积拆分的解题思路。
【难度系数】
0.7
9.(2025·盐城月考)如图，$AB// CD$，$BP$和$CP$分别平分$∠ ABC$和$∠ DCB$，$AD$过点$P$，且与$AB$垂直，若$AD=8\ \mathrm{cm}$，$BC=10\ \mathrm{cm}$，则四边形$ABCD$的面积是$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}^2$。
答案
9.40
解析
【分析】
首先观察题目条件：存在平行线、角平分线和垂直关系，首先想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知AB//CD且AD⊥AB，可得AD也垂直CD，即四边形ABCD是直角梯形。我们过点P作PE⊥BC于E，借助角平分线性质可得PA=PE、PD=PE，进而推出PA=PD=PE，再通过全等三角形可证明AB=BE、CD=CE，因此梯形上下底之和等于BC的长度，最后代入梯形面积公式即可求出结果。
【解析】
过点P作PE⊥BC于点E。
∵$AB// CD$，$AD⊥ AB$，
∴$AD⊥ CD$，$∠ A=∠ D=90°$，四边形ABCD为直角梯形。
∵BP平分$∠ ABC$，$PA⊥ AB$，$PE⊥ BC$，
∴$PA=PE$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在$\mathrm{Rt}△ ABP$和$\mathrm{Rt}△ EBP$中：
$\begin{cases}PB=PB\\PA=PE\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ABP≌\mathrm{Rt}△ EBP(\mathrm{HL})$，得$AB=BE$。
同理，CP平分$∠ DCB$，$PD⊥ CD$，$PE⊥ BC$，
∴$PD=PE$，$\mathrm{Rt}△ CDP≌\mathrm{Rt}△ CEP(\mathrm{HL})$，得$CD=CE$。
∴$PA=PD=PE$，
∵$AD=PA+PD=8\ \mathrm{cm}$，
∴$PA=PD=4\ \mathrm{cm}$，且$AB+CD=BE+CE=BC=10\ \mathrm{cm}$。
∴直角梯形ABCD的面积为：
$S=\frac{1}{2}×(AB+CD)× AD=\frac{1}{2}×10×8=40\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
40
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定、直角梯形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，解题核心是通过作BC的垂线构造辅助线，利用角平分线性质得到相等线段，结合全等三角形将梯形上下底之和转化为已知的BC长度，简化了计算过程，掌握辅助线的构造思路是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
首先观察题目条件：存在平行线、角平分线和垂直关系，首先想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知AB//CD且AD⊥AB，可得AD也垂直CD，即四边形ABCD是直角梯形。我们过点P作PE⊥BC于E，借助角平分线性质可得PA=PE、PD=PE，进而推出PA=PD=PE，再通过全等三角形可证明AB=BE、CD=CE，因此梯形上下底之和等于BC的长度，最后代入梯形面积公式即可求出结果。
【解析】
过点P作PE⊥BC于点E。
∵$AB// CD$，$AD⊥ AB$，
∴$AD⊥ CD$，$∠ A=∠ D=90°$，四边形ABCD为直角梯形。
∵BP平分$∠ ABC$，$PA⊥ AB$，$PE⊥ BC$，
∴$PA=PE$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在$\mathrm{Rt}△ ABP$和$\mathrm{Rt}△ EBP$中：
$\begin{cases}PB=PB\\PA=PE\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ABP≌\mathrm{Rt}△ EBP(\mathrm{HL})$，得$AB=BE$。
同理，CP平分$∠ DCB$，$PD⊥ CD$，$PE⊥ BC$，
∴$PD=PE$，$\mathrm{Rt}△ CDP≌\mathrm{Rt}△ CEP(\mathrm{HL})$，得$CD=CE$。
∴$PA=PD=PE$，
∵$AD=PA+PD=8\ \mathrm{cm}$，
∴$PA=PD=4\ \mathrm{cm}$，且$AB+CD=BE+CE=BC=10\ \mathrm{cm}$。
∴直角梯形ABCD的面积为：
$S=\frac{1}{2}×(AB+CD)× AD=\frac{1}{2}×10×8=40\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
40
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定、直角梯形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，解题核心是通过作BC的垂线构造辅助线，利用角平分线性质得到相等线段，结合全等三角形将梯形上下底之和转化为已知的BC长度，简化了计算过程，掌握辅助线的构造思路是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线相交于点$P$,且$PE⊥ AB$,$PF⊥ AC$,垂足分别为$E,F$,连接$AP$.
(1)求证:$PE=PF$;
(2)若$∠ BAC=60°$,求$∠ EAP$的度数.
(1)求证:$PE=PF$;
(2)若$∠ BAC=60°$,求$∠ EAP$的度数.
答案
10.(1)证明:如答图,过点 P 作 PD⊥BC 于点 D.
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P,且PE⊥AB,PF⊥AC,
∴PD=PE,PD=PF,
∴PE=PF.
(2)解:
∵PE=PF,PE⊥AB,PF⊥AC,
∴AP平分∠BAC.
∵∠BAC=60°,
∴∠EAP=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°.
解析
【分析】
(1)要证明PE=PF，可利用角平分线的性质推导：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先过点P作PD⊥BC于点D，点P在∠ABC的平分线上，到AB、BC的距离相等，可得PE=PD；同时点P也在∠ACB的平分线上，到AC、BC的距离相等，可得PF=PD，通过等量代换即可证得PE=PF。
(2)已知PE⊥AB、PF⊥AC，且已证PE=PF，根据角平分线的判定：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可得AP平分∠BAC，结合已知∠BAC的度数，直接计算即可得到∠EAP的度数。
【解析】
(1)证明：如答图，过点P作PD⊥BC于点D。
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，
∴PD=PE，PD=PF，
∴PE=PF。
(2)解：
∵PE=PF，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴AP平分∠BAC，
∵∠BAC=60°，
∴∠EAP=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°。
【答案】
(1)证明成立；(2)∠EAP=30°
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题侧重考查角平分线性质与判定的综合应用，解题关键是合理添加辅助线，通过角平分线性质实现线段等量代换，再利用判定定理得到AP是角平分线，是对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
(1)要证明PE=PF，可利用角平分线的性质推导：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先过点P作PD⊥BC于点D，点P在∠ABC的平分线上，到AB、BC的距离相等，可得PE=PD；同时点P也在∠ACB的平分线上，到AC、BC的距离相等，可得PF=PD，通过等量代换即可证得PE=PF。
(2)已知PE⊥AB、PF⊥AC，且已证PE=PF，根据角平分线的判定：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可得AP平分∠BAC，结合已知∠BAC的度数，直接计算即可得到∠EAP的度数。
【解析】
(1)证明：如答图，过点P作PD⊥BC于点D。
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，
∴PD=PE，PD=PF，
∴PE=PF。
(2)解：
∵PE=PF，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴AP平分∠BAC，
∵∠BAC=60°，
∴∠EAP=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°。
【答案】
(1)证明成立；(2)∠EAP=30°
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题侧重考查角平分线性质与判定的综合应用，解题关键是合理添加辅助线，通过角平分线性质实现线段等量代换，再利用判定定理得到AP是角平分线，是对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
11. 如图,在∠AOB的两边OA,OB上分别取点M,N,连接MN.若MP平分∠AMN,NP平分∠MNB,作射线OP.
(1)求证:OP平分∠AOB;
(2)若MN=8,且△PMN与△OMN的面积分别是16和24,求线段OM与ON的长度之和.
(1)求证:OP平分∠AOB;
(2)若MN=8,且△PMN与△OMN的面积分别是16和24,求线段OM与ON的长度之和.
答案
11.(1)证明:如答图,过点 P 作 PC⊥OA,垂足为 C,过点 P作 PD⊥MN,垂足为 D,过点 P 作 PE⊥OB,垂足为 E.
∵MP平分∠AMN,PC⊥OA,PD⊥MN,
∴PC=PD.
∵NP平分∠MNB,PD⊥MN,PE⊥OB,
∴PD=PE,
∴PC=PE,
∴OP平分∠AOB.
(2)解:
∵△PMN的面积是16,MN=8,
∴$\frac{1}{2}MN·PD=16$,
即$\frac{1}{2}×8·PD=16$,
∴PD=4,
∴PD=PC=PE=4.
∵△OMN的面积是24,
∴$S_{四边形MONP}=S_{△PMN}+S_{△OMN}=16+24=40$,
∴$S_{△POM}+S_{△PON}=40$,
∴$\frac{1}{2}OM·PC+\frac{1}{2}ON·PE=40$,
∴$\frac{1}{2}OM×4+\frac{1}{2}ON×4=40$,
∴OM+ON=20,
∴线段OM与ON的长度之和为20.
解析
【分析】
(1) 要证明OP平分∠AOB，根据角平分线的判定定理，只需证明点P到OA、OB两边的距离相等即可。我们可以过点P分别向OA、MN、OB作垂线，结合已知MP、NP是角平分线，利用角平分线的性质，即可推导出P到OA和OB的距离相等。
(2) 先利用△PMN的面积和MN的边长求出PD的长度，由角平分线性质可知PC、PE都与PD相等。再将四边形MONP的面积拆分为△POM和△PON的面积之和，结合两个三角形的高均为4，代入面积公式即可求出OM与ON的长度和。
【解析】
(1) 证明：如答图，过点P作PC⊥OA，垂足为C，过点P作PD⊥MN，垂足为D，过点P作PE⊥OB，垂足为E。
∵MP平分∠AMN，PC⊥OA，PD⊥MN，
∴PC=PD。
∵NP平分∠MNB，PD⊥MN，PE⊥OB，
∴PD=PE，
∴PC=PE，
∴OP平分∠AOB。
(2) 解：
∵△PMN的面积是16，MN=8，
∴$\frac{1}{2}MN·PD=16$，
即$\frac{1}{2}×8·PD=16$，
∴PD=4，
∴PD=PC=PE=4。
∵△OMN的面积是24，
∴$S_{四边形MONP}=S_{△PMN}+S_{△OMN}=16+24=40$，
∴$S_{△POM}+S_{△PON}=40$，
∴$\frac{1}{2}OM·PC+\frac{1}{2}ON·PE=40$，
∴$\frac{1}{2}OM×4+\frac{1}{2}ON×4=40$，
∴OM+ON=20。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 线段OM与ON的长度之和为20。
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定；面积法计算
【点评】
本题综合考查角平分线的性质、判定与三角形面积的应用，作辅助线构造点到直线的距离是解决第一问的关键，第二问通过拆分面积将面积关系转化为线段长度关系，体现了转化思想的应用，是角平分线相关考点的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明OP平分∠AOB，根据角平分线的判定定理，只需证明点P到OA、OB两边的距离相等即可。我们可以过点P分别向OA、MN、OB作垂线，结合已知MP、NP是角平分线，利用角平分线的性质，即可推导出P到OA和OB的距离相等。
(2) 先利用△PMN的面积和MN的边长求出PD的长度，由角平分线性质可知PC、PE都与PD相等。再将四边形MONP的面积拆分为△POM和△PON的面积之和，结合两个三角形的高均为4，代入面积公式即可求出OM与ON的长度和。
【解析】
(1) 证明：如答图，过点P作PC⊥OA，垂足为C，过点P作PD⊥MN，垂足为D，过点P作PE⊥OB，垂足为E。
∵MP平分∠AMN，PC⊥OA，PD⊥MN，
∴PC=PD。
∵NP平分∠MNB，PD⊥MN，PE⊥OB，
∴PD=PE，
∴PC=PE，
∴OP平分∠AOB。
(2) 解：
∵△PMN的面积是16，MN=8，
∴$\frac{1}{2}MN·PD=16$，
即$\frac{1}{2}×8·PD=16$，
∴PD=4，
∴PD=PC=PE=4。
∵△OMN的面积是24，
∴$S_{四边形MONP}=S_{△PMN}+S_{△OMN}=16+24=40$，
∴$S_{△POM}+S_{△PON}=40$，
∴$\frac{1}{2}OM·PC+\frac{1}{2}ON·PE=40$，
∴$\frac{1}{2}OM×4+\frac{1}{2}ON×4=40$，
∴OM+ON=20。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 线段OM与ON的长度之和为20。
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定；面积法计算
【点评】
本题综合考查角平分线的性质、判定与三角形面积的应用，作辅助线构造点到直线的距离是解决第一问的关键，第二问通过拆分面积将面积关系转化为线段长度关系，体现了转化思想的应用，是角平分线相关考点的典型题型。
【难度系数】
0.7
