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7. 已知圆柱的底面直径是 $ 60 \, \mathrm{mm} $，高为 $ 100 \, \mathrm{mm} $，圆锥的底面直径是 $ 120 \, \mathrm{mm} $，且圆柱的体积比圆锥的体积多一半，求圆锥的高。
答案
7. 解：设圆锥的高为x mm。
由题意可列方程
$\frac{1}{3}π(\frac{120}{2})^{2}×x×(1 + \frac{1}{2}) = π(\frac{60}{2})^{2}×100$，
解得$x = 50$。
因此，圆锥的高为50 mm。
由题意可列方程
$\frac{1}{3}π(\frac{120}{2})^{2}×x×(1 + \frac{1}{2}) = π(\frac{60}{2})^{2}×100$，
解得$x = 50$。
因此，圆锥的高为50 mm。
解析
【分析】
这是圆柱与圆锥体积结合的应用题，我们可以按清晰的思路逐步求解：1. 题目要求圆锥的高，未知量明确，优先选择设未知数列方程的方法，逻辑更清晰不易出错。2. 先整理已知条件：分别得到圆柱、圆锥的底面直径，换算出两者的底面半径，圆柱的高是已知的100mm。3. 找准核心等量关系：“圆柱的体积比圆锥的体积多一半”的含义是圆柱体积 = 圆锥体积×(1+1/2)，注意不要把比较的基准搞反，避免颠倒两者的倍数关系。4. 代入圆柱、圆锥的体积公式，把对应数值代入等量关系得到方程，等式两边的π可以直接约去，大幅简化计算，最终解出未知数就得到圆锥的高。
【解析】
解：设圆锥的高为$ x \, \mathrm{mm} $。
先计算两个几何体的底面半径：
圆柱底面半径$ r_1 = \frac{60}{2} = 30 \, \mathrm{mm} $，圆锥底面半径$ r_2 = \frac{120}{2} = 60 \, \mathrm{mm} $。
根据题意，圆柱体积是圆锥体积的$ 1+\frac{1}{2} = \frac{3}{2} $倍，结合圆柱体积公式$ V_{\mathrm{柱}}=π r_1^2 h_1 $、圆锥体积公式$ V_{\mathrm{锥}}=\frac{1}{3}π r_2^2 h_2 $，可列方程：
$\frac{1}{3}π(\frac{120}{2})^2 · x · (1+\frac{1}{2}) = π(\frac{60}{2})^2 × 100$
约去等式两边的公共项$ π $，化简计算：
左边化简得：$ \frac{1}{3} × 3600 × x × \frac{3}{2} = 1800x $
右边化简得：$ 900 × 100 = 90000 $
解得$ x = 50 $。
【答案】圆锥的高为50 mm
【知识点】圆柱体积计算，圆锥体积计算，一元一次方程应用
【点评】本题的核心易错点是对“比圆锥体积多一半”的语义理解，很多同学会误把圆锥体积当成圆柱的1.5倍，导致结果完全错误；计算时直接约去公共的π项，不需要代入π的近似值，能有效降低运算出错的概率。
【难度系数】0.6
这是圆柱与圆锥体积结合的应用题，我们可以按清晰的思路逐步求解：1. 题目要求圆锥的高，未知量明确，优先选择设未知数列方程的方法，逻辑更清晰不易出错。2. 先整理已知条件：分别得到圆柱、圆锥的底面直径，换算出两者的底面半径，圆柱的高是已知的100mm。3. 找准核心等量关系：“圆柱的体积比圆锥的体积多一半”的含义是圆柱体积 = 圆锥体积×(1+1/2)，注意不要把比较的基准搞反，避免颠倒两者的倍数关系。4. 代入圆柱、圆锥的体积公式，把对应数值代入等量关系得到方程，等式两边的π可以直接约去，大幅简化计算，最终解出未知数就得到圆锥的高。
【解析】
解：设圆锥的高为$ x \, \mathrm{mm} $。
先计算两个几何体的底面半径：
圆柱底面半径$ r_1 = \frac{60}{2} = 30 \, \mathrm{mm} $，圆锥底面半径$ r_2 = \frac{120}{2} = 60 \, \mathrm{mm} $。
根据题意，圆柱体积是圆锥体积的$ 1+\frac{1}{2} = \frac{3}{2} $倍，结合圆柱体积公式$ V_{\mathrm{柱}}=π r_1^2 h_1 $、圆锥体积公式$ V_{\mathrm{锥}}=\frac{1}{3}π r_2^2 h_2 $，可列方程：
$\frac{1}{3}π(\frac{120}{2})^2 · x · (1+\frac{1}{2}) = π(\frac{60}{2})^2 × 100$
约去等式两边的公共项$ π $，化简计算：
左边化简得：$ \frac{1}{3} × 3600 × x × \frac{3}{2} = 1800x $
右边化简得：$ 900 × 100 = 90000 $
解得$ x = 50 $。
【答案】圆锥的高为50 mm
【知识点】圆柱体积计算，圆锥体积计算，一元一次方程应用
【点评】本题的核心易错点是对“比圆锥体积多一半”的语义理解，很多同学会误把圆锥体积当成圆柱的1.5倍，导致结果完全错误；计算时直接约去公共的π项，不需要代入π的近似值，能有效降低运算出错的概率。
【难度系数】0.6
8. 现有长、宽分别为 $ 30 \, \mathrm{cm} $ 和 $ 20 \, \mathrm{cm} $ 的长方形硬纸板若干张。
(1)如图，将该长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的小正方形，再折叠成一个没有盖子的长方体形盒子。
当长方体形盒子的底面周长为 $ 60 \, \mathrm{cm} $ 时，求剪去的小正方形的边长是多少。
(2)若用该长方形硬纸板做三棱柱形盒子，每个盒子由 3 个正方形侧面和 2 个等边三角形底面组成(如图)。硬纸板以如图两种方式裁剪(裁剪后边角料不再利用)：
现有 21 张硬纸板，裁剪时 $ x $ 张用 A 方法，其余用 B 方法。
① 用含 $ x $ 的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数：侧面个数
② 若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则能做多少个盒子？
(1)如图，将该长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的小正方形，再折叠成一个没有盖子的长方体形盒子。
当长方体形盒子的底面周长为 $ 60 \, \mathrm{cm} $ 时，求剪去的小正方形的边长是多少。
(2)若用该长方形硬纸板做三棱柱形盒子，每个盒子由 3 个正方形侧面和 2 个等边三角形底面组成(如图)。硬纸板以如图两种方式裁剪(裁剪后边角料不再利用)：
现有 21 张硬纸板，裁剪时 $ x $ 张用 A 方法，其余用 B 方法。
① 用含 $ x $ 的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数：侧面个数
3x + 63
，底面个数105 - 5x
；② 若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则能做多少个盒子？
答案
8. (1) 5 cm。 (2) ①$3x + 63$ $105 - 5x$ ② 30个
解析
(1) 设剪去的小正方形的边长为 $ x \, \mathrm{cm} $，则长方体底面的长为 $ (30 - 2x) \, \mathrm{cm} $，宽为 $ (20 - 2x) \, \mathrm{cm} $。根据底面周长为 $ 60 \, \mathrm{cm} $，可得：
$ 2[(30 - 2x) + (20 - 2x)] = 60 $
化简得：$ 2(50 - 4x) = 60 $
$ 100 - 8x = 60 $
$ 8x = 40 $
解得 $ x = 5 $。
答：剪去的小正方形的边长是 $ 5 \, \mathrm{cm} $。
(2) ① 侧面个数：$ 3x + 63 $，底面个数：$ 105 - 5x $。
② 每个盒子需 3 个侧面和 2 个底面，设能做 $ y $ 个盒子，则：
$ 3y = 3x + 63 $，$ 2y = 105 - 5x $
由 $ 3y = 3x + 63 $ 得 $ y = x + 21 $，代入 $ 2y = 105 - 5x $：
$ 2(x + 21) = 105 - 5x $
$ 2x + 42 = 105 - 5x $
$ 7x = 63 $
$ x = 9 $
则 $ y = 9 + 21 = 30 $。
答：能做 30 个盒子。
$ 2[(30 - 2x) + (20 - 2x)] = 60 $
化简得：$ 2(50 - 4x) = 60 $
$ 100 - 8x = 60 $
$ 8x = 40 $
解得 $ x = 5 $。
答：剪去的小正方形的边长是 $ 5 \, \mathrm{cm} $。
(2) ① 侧面个数：$ 3x + 63 $，底面个数：$ 105 - 5x $。
② 每个盒子需 3 个侧面和 2 个底面，设能做 $ y $ 个盒子，则：
$ 3y = 3x + 63 $，$ 2y = 105 - 5x $
由 $ 3y = 3x + 63 $ 得 $ y = x + 21 $，代入 $ 2y = 105 - 5x $：
$ 2(x + 21) = 105 - 5x $
$ 2x + 42 = 105 - 5x $
$ 7x = 63 $
$ x = 9 $
则 $ y = 9 + 21 = 30 $。
答：能做 30 个盒子。
9. 根据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)放入 1 个小球水面升高
(2)如果放入大球、小球共 10 个，要使水面上升到 $ 50 \, \mathrm{cm} $，那么应放入大球、小球各多少个？
(1)放入 1 个小球水面升高
2
$ \mathrm{cm} $，放入 1 个大球水面升高3
$ \mathrm{cm} $；(2)如果放入大球、小球共 10 个，要使水面上升到 $ 50 \, \mathrm{cm} $，那么应放入大球、小球各多少个？
答案
9. 解：(1) 2 3
(2) 设放入大球x个，则放入小球$(10 - x)$个。
由题意，得$3x + 2(10 - x) = 50 - 26$，
解得$x = 4$。
$10 - 4 = 6$(个)。
因此，应放入大球4个，小球6个。
(2) 设放入大球x个，则放入小球$(10 - x)$个。
由题意，得$3x + 2(10 - x) = 50 - 26$，
解得$x = 4$。
$10 - 4 = 6$(个)。
因此，应放入大球4个，小球6个。
解析
【分析】
这道题的解题思路可以分两步走：首先解决第一小问，我们先找到初始水面高度是26cm，放入3个小球后水面升到32cm，先算出3个小球总共让水面上升的高度，因为小球体积完全相同，用总上升高度除以小球数量就能得到单个小球让水面升高的高度；同理放入2个大球后水面也升到32cm，用同样的方法就能算出单个大球对应的水面升高高度。第二小问，先算出要让水面到50cm，总共需要上升的高度是50减去初始的26cm，接着设大球的数量为x，小球数量就是10-x，根据“大球带来的上升总高度+小球带来的上升总高度=需要的总上升高度”这个等量关系列一元一次方程，求解就能得到两种球的数量。
【解析】
(1) 初始水面高度为26cm，放入3个小球后水面高度为32cm，水面总上升高度为：
$32 - 26 = 6\ \mathrm{cm}$
因此放入1个小球水面升高：$6÷3=2\ \mathrm{cm}$
放入2个大球后水面高度同样为32cm，水面总上升高度也为6cm，因此放入1个大球水面升高：
$6÷2=3\ \mathrm{cm}$
(2) 设放入大球$x$个，则放入小球的数量为$(10-x)$个。
要使水面上升到$50\mathrm{cm}$，水面需要总共上升的高度为$50-26=24\ \mathrm{cm}$，根据等量关系列方程：
$3x + 2(10 - x) = 50 - 26$
展开化简得：$3x + 20 - 2x = 24$
解得：$x=4$
小球的数量为：$10 - 4 = 6$（个）
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{3}$；(2) 应放入大球4个，小球6个
【知识点】
一元一次方程应用，排水法求体积
【点评】
本题结合圆柱容器排水的实际场景，先通过算术方法得到单个球对应的水面上升高度，再利用一元一次方程求解球的数量，核心是理清水面上升总高度和球的数量、单球上升高度的等量关系，属于基础的实际应用题型，很容易理解思路。
【难度系数】
0.8
这道题的解题思路可以分两步走：首先解决第一小问，我们先找到初始水面高度是26cm，放入3个小球后水面升到32cm，先算出3个小球总共让水面上升的高度，因为小球体积完全相同，用总上升高度除以小球数量就能得到单个小球让水面升高的高度；同理放入2个大球后水面也升到32cm，用同样的方法就能算出单个大球对应的水面升高高度。第二小问，先算出要让水面到50cm，总共需要上升的高度是50减去初始的26cm，接着设大球的数量为x，小球数量就是10-x，根据“大球带来的上升总高度+小球带来的上升总高度=需要的总上升高度”这个等量关系列一元一次方程，求解就能得到两种球的数量。
【解析】
(1) 初始水面高度为26cm，放入3个小球后水面高度为32cm，水面总上升高度为：
$32 - 26 = 6\ \mathrm{cm}$
因此放入1个小球水面升高：$6÷3=2\ \mathrm{cm}$
放入2个大球后水面高度同样为32cm，水面总上升高度也为6cm，因此放入1个大球水面升高：
$6÷2=3\ \mathrm{cm}$
(2) 设放入大球$x$个，则放入小球的数量为$(10-x)$个。
要使水面上升到$50\mathrm{cm}$，水面需要总共上升的高度为$50-26=24\ \mathrm{cm}$，根据等量关系列方程：
$3x + 2(10 - x) = 50 - 26$
展开化简得：$3x + 20 - 2x = 24$
解得：$x=4$
小球的数量为：$10 - 4 = 6$（个）
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{3}$；(2) 应放入大球4个，小球6个
【知识点】
一元一次方程应用，排水法求体积
【点评】
本题结合圆柱容器排水的实际场景，先通过算术方法得到单个球对应的水面上升高度，再利用一元一次方程求解球的数量，核心是理清水面上升总高度和球的数量、单球上升高度的等量关系，属于基础的实际应用题型，很容易理解思路。
【难度系数】
0.8
