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18. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，点$D$在$BC$边上，$∠ ADC=2∠ B$，$AD=5$，则$BC$的长为（）
A.7
B.8
C.9
D.10
A.7
B.8
C.9
D.10
答案
C
解析
1. 在$Rt△ ACD$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$AD=5$，根据勾股定理可得：$CD=\sqrt{AD^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
2. 根据三角形外角性质，$∠ ADC=∠ B+∠ BAD$，已知$∠ ADC=2∠ B$，代入得$2∠ B=∠ B+∠ BAD$，推出$∠ BAD=∠ B$，由等角对等边得$BD=AD=5$。
3. 因此$BC=CD+BD=4+5=9$。
2. 根据三角形外角性质，$∠ ADC=∠ B+∠ BAD$，已知$∠ ADC=2∠ B$，代入得$2∠ B=∠ B+∠ BAD$，推出$∠ BAD=∠ B$，由等角对等边得$BD=AD=5$。
3. 因此$BC=CD+BD=4+5=9$。
19. 如图，在边长为1的立方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着立方体的外表面爬到顶点B的最短路径长度是（）
A.3
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{2}+1$
D.1
A.3
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{2}+1$
D.1
答案
B
解析
将立方体包含顶点A、B的两个相邻外表面展开为一个长方形，该长方形的长为1+1=2，宽为1。根据两点之间线段最短，结合勾股定理计算得最短路径长度为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
20.在平面直角坐标系中，O为原点，已知点$A(-2,4)$，点$B(1,0)$，则线段AB的长度是（）
A.3
B.4
C.5
D.6
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
C
解析
根据平面直角坐标系两点间距离公式，若两点坐标为$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$。将$A(-2,4)$、$B(1,0)$代入，得$x_2-x_1=1-(-2)=3$，$y_2-y_1=0-4=-4$，因此$AB=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。
21.定义:对角线互相垂直的四边形叫作“垂直四边形”.如图,四边形ABCD为“垂直四边形”,对角线AC,BD交于点O,若AO=1,BO=2,CO=3,DO=4,则$AB^2 + CD^2$的值为（）
A.20
B.25
C.30
D.35
A.20
B.25
C.30
D.35
答案
C
解析
∵四边形ABCD是“垂直四边形”，∴AC⊥BD，即∠AOB=∠COD=90°。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：$AB^2 = AO^2 + BO^2 = 1^2 + 2^2 = 5$。
在Rt△COD中，由勾股定理得：$CD^2 = CO^2 + DO^2 = 3^2 + 4^2 = 25$。
∴$AB^2 + CD^2 = 5 + 25 = 30$。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：$AB^2 = AO^2 + BO^2 = 1^2 + 2^2 = 5$。
在Rt△COD中，由勾股定理得：$CD^2 = CO^2 + DO^2 = 3^2 + 4^2 = 25$。
∴$AB^2 + CD^2 = 5 + 25 = 30$。
22. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$∠ A = 30°$，$∠ A$的对边长$a = 3$，则斜边长$c=\_\_\_\_\_\_$，$∠ B$的对边长$b=\_\_\_\_\_\_$。
答案
$c=\boldsymbol{6}$，$b=\boldsymbol{3\sqrt{3}}$。
解析
解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because ∠ A=30°$，$∠ A$的对边长$a=3$，
$\therefore$ 由直角三角形中$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，得斜边长$c=2a=2×3=6$。
由勾股定理得：
$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
最终
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because ∠ A=30°$，$∠ A$的对边长$a=3$，
$\therefore$ 由直角三角形中$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，得斜边长$c=2a=2×3=6$。
由勾股定理得：
$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。
最终
23.若一个等腰直角三角形的直角边长为$\sqrt{2}$，则它的斜边长为，面积为。
答案
斜边长为$\boldsymbol{2}$，面积为$\boldsymbol{1}$。
解析
解：
由勾股定理得，斜边长为：
$\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$
三角形面积为：
$\frac{1}{2} × \sqrt{2} × \sqrt{2} = \frac{1}{2} × 2 = 1$
由勾股定理得，斜边长为：
$\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$
三角形面积为：
$\frac{1}{2} × \sqrt{2} × \sqrt{2} = \frac{1}{2} × 2 = 1$
24. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=60°$，$BC=4$，则$AB=$，$AC=$。
答案
$AB=\boldsymbol{8}$，$AC=\boldsymbol{4\sqrt{3}}$。
解析
解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=60°$，
$\therefore ∠ A = 90° - ∠ B = 30°$。
根据直角三角形中$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，$∠ A$的对边为$BC$，
$\therefore AB = 2BC = 2×4 = 8$。
由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$。
最终
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=60°$，
$\therefore ∠ A = 90° - ∠ B = 30°$。
根据直角三角形中$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，$∠ A$的对边为$BC$，
$\therefore AB = 2BC = 2×4 = 8$。
由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$。
最终
