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15. 已知 $ x = \sqrt{7} + \sqrt{5} $，$ y = \sqrt{7} - \sqrt{5} $，求下列各式的值：
(1) $ xy $；(2) $ x^2 - xy + y^2 $。
(1) $ xy $；(2) $ x^2 - xy + y^2 $。
答案
解：
由已知可得：
$x+y=(\sqrt{7}+\sqrt{5})+(\sqrt{7}-\sqrt{5})=2\sqrt{7}$
(1)
$\begin{aligned}xy&=(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})\\&=(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2\\&=7-5\\&=2\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}x^2 - xy + y^2&=x^2 + 2xy + y^2 - 3xy\\&=(x+y)^2 - 3xy\end{aligned}$
将$x+y=2\sqrt{7}$，$xy=2$代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(2\sqrt{7})^2 - 3×2\\&=28 - 6\\&=22\end{aligned}$
由已知可得：
$x+y=(\sqrt{7}+\sqrt{5})+(\sqrt{7}-\sqrt{5})=2\sqrt{7}$
(1)
$\begin{aligned}xy&=(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})\\&=(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2\\&=7-5\\&=2\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}x^2 - xy + y^2&=x^2 + 2xy + y^2 - 3xy\\&=(x+y)^2 - 3xy\end{aligned}$
将$x+y=2\sqrt{7}$，$xy=2$代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(2\sqrt{7})^2 - 3×2\\&=28 - 6\\&=22\end{aligned}$
16. 下列说法正确的是 （）
A.－4 的平方根是±2
B.16 的算术平方根是 4
C.$\sqrt{4}$是最简二次根式
D.27 的立方根是±3
A.－4 的平方根是±2
B.16 的算术平方根是 4
C.$\sqrt{4}$是最简二次根式
D.27 的立方根是±3
答案
B
解析
逐个分析选项：
1. 选项A：负数没有平方根，-4是负数，不存在平方根，该说法错误。
2. 选项B：16的算术平方根为$\sqrt{16}=4$，该说法正确。
3. 选项C：$\sqrt{4}=2$，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，该说法错误。
4. 选项D：正数的立方根是正数，27的立方根是3，不是±3，该说法错误。
综上，正确的是B。
1. 选项A：负数没有平方根，-4是负数，不存在平方根，该说法错误。
2. 选项B：16的算术平方根为$\sqrt{16}=4$，该说法正确。
3. 选项C：$\sqrt{4}=2$，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，该说法错误。
4. 选项D：正数的立方根是正数，27的立方根是3，不是±3，该说法错误。
综上，正确的是B。
17. 把$(1-x)\sqrt{\dfrac{1}{x-1}}$根号外面的因式移到根号内得 （）
A.$\sqrt{1-x}$
B.$\sqrt{x-1}$
C.$-\sqrt{1-x}$
D.$-\sqrt{x-1}$
A.$\sqrt{1-x}$
B.$\sqrt{x-1}$
C.$-\sqrt{1-x}$
D.$-\sqrt{x-1}$
答案
D
解析
由二次根式有意义的条件可知，$\frac{1}{x-1}＞0$，因此$x-1＞0$，可得$1-x＜0$。
将根号外的因式变形：$1-x=-(x-1)$，代入原式得：
$(1-x)\sqrt{\frac{1}{x-1}}=-(x-1)\sqrt{\frac{1}{x-1}}=-\sqrt{(x-1)^2·\frac{1}{x-1}}=-\sqrt{x-1}$
将根号外的因式变形：$1-x=-(x-1)$，代入原式得：
$(1-x)\sqrt{\frac{1}{x-1}}=-(x-1)\sqrt{\frac{1}{x-1}}=-\sqrt{(x-1)^2·\frac{1}{x-1}}=-\sqrt{x-1}$
18.已知实数a在数轴上的对应点的位置如图，则化简$(\sqrt{a-1})^2 - \sqrt{(a-2)^2}$的结果是（）
A.$2a - 3$
B.$-1$
C.$1$
D.$3 - 2a$
A.$2a - 3$
B.$-1$
C.$1$
D.$3 - 2a$
答案
A
解析
由数轴可知$1 ＜ a ＜ 2$，因此可得$a-1＞0$，$a-2＜0$。
根据二次根式的性质：
1. $(\sqrt{a-1})^2 = a-1$
2. $\sqrt{(a-2)^2} = |a-2| = 2-a$
将上述结果代入原式化简：
$\begin{aligned}(\sqrt{a-1})^2 - \sqrt{(a-2)^2}&=(a-1)-(2-a)\\&=a-1-2+a\\&=2a-3\end{aligned}$
根据二次根式的性质：
1. $(\sqrt{a-1})^2 = a-1$
2. $\sqrt{(a-2)^2} = |a-2| = 2-a$
将上述结果代入原式化简：
$\begin{aligned}(\sqrt{a-1})^2 - \sqrt{(a-2)^2}&=(a-1)-(2-a)\\&=a-1-2+a\\&=2a-3\end{aligned}$
