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5.如图，$△ AOB$中，$A(-3,6)$，$B(6,4)$，求$△ AOB$的面积.
答案
过点 $A$ 作 $AC ⊥ x$ 轴于 $C$,过点 $B$ 作 $BD ⊥ x$ 轴于 $D$,则 $S_{△ AOB}=S_{梯形ACDB}-S_{△ AOC}-S_{△ BOD}=\frac{1}{2} × (6+4) × 9-\frac{1}{2} × 3 × 6-\frac{1}{2} × 6 × 4=24$.
6.如图，$A(0,1),B(2,0),C(4,3)$。
(1)求$△ ABC$的面积；
(2)若点$P$在$x$轴上，且$△ ABP$与$△ ABC$的面积相等，求点$P$的坐标。
(1)求$△ ABC$的面积；
(2)若点$P$在$x$轴上，且$△ ABP$与$△ ABC$的面积相等，求点$P$的坐标。
答案
(1)过点 $C$ 作 $CD ⊥ x$ 轴,垂足为 $D$.$S_{△ ABC}=S_{梯形AODC}-S_{△ AOB}-S_{△ BCD}=\frac{1}{2} × (1+3) × 4-\frac{1}{2} × 1 × 2-\frac{1}{2} × 2 × 3=4$.
(2)设点 $P$ 的坐标为 $(x,0)$,则 $BP=|x-2|$.$\therefore \frac{1}{2} × 1 × |x-2|=4$.解得 $x=10$ 或 $x=-6$.所以点 $P$ 的坐标为 $(10,0)$ 或 $(-6,0)$.
(2)设点 $P$ 的坐标为 $(x,0)$,则 $BP=|x-2|$.$\therefore \frac{1}{2} × 1 × |x-2|=4$.解得 $x=10$ 或 $x=-6$.所以点 $P$ 的坐标为 $(10,0)$ 或 $(-6,0)$.
7.如图，$A(0,3),B(2,1),C(3,4)$.
(1)求$△ ABC$的面积；
(2)若点$P$在$y$轴上，且$△ POC$的面积为$△ ABC$面积的$2$倍，求点$P$的坐标.
(1)求$△ ABC$的面积；
(2)若点$P$在$y$轴上，且$△ POC$的面积为$△ ABC$面积的$2$倍，求点$P$的坐标.
答案
(1)过点 $B$ 作 $BD ⊥ y$ 轴于点 $D$,过点 $C$ 作 $CE ⊥ y$ 轴于点 $E$,$S_{△ ABC}=S_{梯形BDEC}-S_{△ ABD}-S_{△ ACE}=\frac{1}{2} × (2+3) × 3-\frac{1}{2} × 2 × 2-\frac{1}{2} × 1 × 3=4$.
(2)由(1)得$△ POC$ 的面积为 $4 × 2=8$.$\because$ 点 $P$ 在 $y$ 轴上,$\therefore \frac{1}{2}CE · OP=8$,即 $\frac{1}{2} × 3OP=8$,$\therefore OP=\frac{16}{3}$.$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(0,\frac{16}{3})$ 或 $(0,-\frac{16}{3})$.
(2)由(1)得$△ POC$ 的面积为 $4 × 2=8$.$\because$ 点 $P$ 在 $y$ 轴上,$\therefore \frac{1}{2}CE · OP=8$,即 $\frac{1}{2} × 3OP=8$,$\therefore OP=\frac{16}{3}$.$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(0,\frac{16}{3})$ 或 $(0,-\frac{16}{3})$.
