7. 用配方法解方程$\frac{1}{2}x^2 + x - \frac{5}{2} = 0$，得$\frac{1}{2}[(x+1)^2 + k] = 0$，则$k=$______．

$-6$

8. 将代数式 $2x^2 + 8x - 7$ 化成 $a(x + m)^2 + n$ 的形式为 ______．

$2(x + 2)^{2}-15$

9. 方程$2x(x+4)=1$的解为$\underline{\hspace{10cm}}$．

$x_{1}=\frac{3\sqrt{2}}{2}-2，$$x_{2}=-\frac{3\sqrt{2}}{2}-2$

10. 定义 $ a * b = \frac{a + 2b}{2} $，则方程 $ (x * x^2) - (x^2 * x) = 2 $ 的解为 $\underline{\hspace{10cm}}$。

$x_{1}=\frac{1+\sqrt{17}}{2}，$$x_{2}=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$

11. 把方程 $2x^2 + 8x - 1 = 0$ 化成 $(x + m)^2 = n$ 的形式，则 $\sqrt{mn}$ 的值是 ______．

3

12. 解下列方程.
(1)$2x^2 - 7x + 6 = 0$;
(2)$3x^2 = 6x - 2$.

解：​$x^2-\frac {7}{2}x+3=0$​​$x^2-\frac {7}{2}x+\frac {49}{16}=-3+\frac {49}{16}$​​$(x-\frac {7}{4})^2=\frac {1}{16}$​​$x-\frac {7}{4}=±\frac {1}{4}$​​$x_{1}=2 ，$​​$x_{2}=\frac {3}{2}$​ ; 解：​$3x^2-6x=-2$​​$x^2-2x=-\frac {2}{3}$​​$ x^2-2x + 1=-\frac {2}{3}+1$​​$ (x - 1)^2=\frac {1}{3}$​​$ x - 1=\pm \frac {\sqrt {3}}{3}$​​$ x_{1}=\frac {3+\sqrt {3}}{3}，$​​$x_{2}=\frac {3-\sqrt {3}}{3}$​

13. 下面是小明解一元二次方程的过程,请认真阅读并解决后面的问题.
解方程:$3x^{2}+12x-9=0.$
解:二次项系数化为 1,得$x^{2}+4x-3=0$,…………第一步
移项,得$x^{2}+4x=3$,…………第二步
配方,得$x^{2}+4x+16=3+16$,即$(x+4)^{2}=19$,…………第三步
由此可得$x+4=\pm \sqrt {19}$,…………第四步
所以$x_{1}=\sqrt {19}-4,x_{2}=-\sqrt {19}-4$.…………第五步
(1)小明同学的解法是运用“配方法”将一元二次方程转化为两个一元一次方程,此过程所体现的数学思想是________(填“消元”或“降次”),其中,“配方法”所依据的数学公式是________(填“完全平方公式”或“平方差公式”).
(2)“第二步”变形的数学依据是________.
(3)小明同学的解题过程从第________步开始出现错误.
(4)帮小明用配方法正确解方程$3x^{2}+12x-9=0.$

降次
; 完全平方公式
; 等式的基本性质
; 三
; 解：​$(4)$​二次项系数化为​$1，$​得​$x^2+4x - 3 = 0$​ 移项，得​$x^2+4x = 3$​ 配方，得​$x^2+4x + 4 = 3+4，$​即​$(x + 2)^2=7$​​$ $​由此可得​$x + 2=\pm \sqrt 7$​​$ $​所以​$x_{1}=\sqrt 7-2，$​​$x_{2}=-\sqrt 7-2$​