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6.如图，$□ ABCD$中，过对角线BD上一点作$EF// BC$，$GH// AB$，图中面积相等的平行四边形有
3
对。答案
6.3
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的基本性质：平行四边形的对角线将其分成两个面积相等的三角形。首先观察图形，BD是大平行四边形ABCD的对角线，同时也是内部两个小平行四边形EBGP、HPFD的对角线，因此可以得到三组面积相等的三角形。再通过面积的和差运算，逐步推导得到面积相等的平行四边形，最后统计所有符合条件的对数即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，BD是对角线
∴$S_{△ ABD}=S_{△ CBD}$
∵$EF// BC$，$GH// AB$
∴四边形EBGP、四边形HPFD都是平行四边形
又
∵BP是平行四边形EBGP的对角线，PD是平行四边形HPFD的对角线
∴$S_{△ EBP}=S_{△ GBP}$，$S_{△ HPD}=S_{△ FPD}$
1. 用两个大三角形面积分别减去对应小三角形面积：
$S_{△ ABD}-S_{△ EBP}-S_{△ HPD}=S_{△ CBD}-S_{△ GBP}-S_{△ FPD}$
即$S_{□ AEPH}=S_{□ PGCF}$，为第1对；
2. 给上述两个相等的面积同时加上$S_{□ EBGP}$：
$S_{□ AEPH}+S_{□ EBGP}=S_{□ PGCF}+S_{□ EBGP}$
即$S_{□ ABGH}=S_{□ BCFE}$，为第2对；
3. 给$S_{□ AEPH}=S_{□ PGCF}$两边同时加上$S_{□ HPFD}$：
$S_{□ AEPH}+S_{□ HPFD}=S_{□ PGCF}+S_{□ HPFD}$
即$S_{□ AEFD}=S_{□ GHCD}$，为第3对。
综上，面积相等的平行四边形共有3对。
【答案】
3
【知识点】
平行四边形的性质，等积变换，面积和差计算
【点评】
本题核心是利用平行四边形对角线平分其面积的性质，通过面积的和差推导等积图形，解题时要注意有序梳理所有可能的组合，避免遗漏或重复计数。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆平行四边形的基本性质：平行四边形的对角线将其分成两个面积相等的三角形。首先观察图形，BD是大平行四边形ABCD的对角线，同时也是内部两个小平行四边形EBGP、HPFD的对角线，因此可以得到三组面积相等的三角形。再通过面积的和差运算，逐步推导得到面积相等的平行四边形，最后统计所有符合条件的对数即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，BD是对角线
∴$S_{△ ABD}=S_{△ CBD}$
∵$EF// BC$，$GH// AB$
∴四边形EBGP、四边形HPFD都是平行四边形
又
∵BP是平行四边形EBGP的对角线，PD是平行四边形HPFD的对角线
∴$S_{△ EBP}=S_{△ GBP}$，$S_{△ HPD}=S_{△ FPD}$
1. 用两个大三角形面积分别减去对应小三角形面积：
$S_{△ ABD}-S_{△ EBP}-S_{△ HPD}=S_{△ CBD}-S_{△ GBP}-S_{△ FPD}$
即$S_{□ AEPH}=S_{□ PGCF}$，为第1对；
2. 给上述两个相等的面积同时加上$S_{□ EBGP}$：
$S_{□ AEPH}+S_{□ EBGP}=S_{□ PGCF}+S_{□ EBGP}$
即$S_{□ ABGH}=S_{□ BCFE}$，为第2对；
3. 给$S_{□ AEPH}=S_{□ PGCF}$两边同时加上$S_{□ HPFD}$：
$S_{□ AEPH}+S_{□ HPFD}=S_{□ PGCF}+S_{□ HPFD}$
即$S_{□ AEFD}=S_{□ GHCD}$，为第3对。
综上，面积相等的平行四边形共有3对。
【答案】
3
【知识点】
平行四边形的性质，等积变换，面积和差计算
【点评】
本题核心是利用平行四边形对角线平分其面积的性质，通过面积的和差推导等积图形，解题时要注意有序梳理所有可能的组合，避免遗漏或重复计数。
【难度系数】
0.6
7.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,E是AD边的中点,连接CE并延长,交BA延长线于点F。若FE=CE,求证:四边形ABCD是平行四边形。
答案
证明:$\because E$是$AD$边的中点,
$\therefore DE=AE$。
在$△ AEF$和$△ DEC$中,
$\begin{cases} AE=DE, \\ ∠ AEF=∠ DEC, \\ FE=CE, \end{cases}$
$\therefore △ DCE≌△ AFE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ DCE=∠ F,\therefore AB// DC$。
$\because AD// BC$,
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形。
$\therefore DE=AE$。
在$△ AEF$和$△ DEC$中,
$\begin{cases} AE=DE, \\ ∠ AEF=∠ DEC, \\ FE=CE, \end{cases}$
$\therefore △ DCE≌△ AFE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ DCE=∠ F,\therefore AB// DC$。
$\because AD// BC$,
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形。
解析
【分析】要证明四边形ABCD是平行四边形，已知条件给出AD//BC，因此只需再证明AB//DC即可。首先根据E是AD中点可得DE=AE，结合已知FE=CE，再加上对顶角∠AEF=∠DEC，可通过SAS判定△AEF≌△DEC，利用全等三角形的对应角相等可得∠DCE=∠F，根据内错角相等两直线平行即可推出AB//DC，最后结合两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可完成证明。
【解析】
证明:$\because E$是$AD$边的中点,
$\therefore DE=AE$。
在$△ AEF$和$△ DEC$中,
$\begin{cases} AE=DE, \\ ∠ AEF=∠ DEC, \\ FE=CE, \end{cases}$
$\therefore △ DCE≌△ AFE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ DCE=∠ F,\therefore AB// DC$。
$\because AD// BC$,
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形。
【答案】
证明:$\because E$是$AD$边的中点,
$\therefore DE=AE$。
在$△ AEF$和$△ DEC$中,
$\begin{cases} AE=DE, \\ ∠ AEF=∠ DEC, \\ FE=CE, \end{cases}$
$\therefore △ DCE≌△ AFE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ DCE=∠ F,\therefore AB// DC$。
$\because AD// BC$,
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的判定；平行四边形的判定
【点评】
本题属于平行四边形判定的基础题型，解题核心是通过证明三角形全等得到角相等，进而推出未知的一组对边平行，熟练掌握全等三角形、平行线及平行四边形的相关判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
【解析】
证明:$\because E$是$AD$边的中点,
$\therefore DE=AE$。
在$△ AEF$和$△ DEC$中,
$\begin{cases} AE=DE, \\ ∠ AEF=∠ DEC, \\ FE=CE, \end{cases}$
$\therefore △ DCE≌△ AFE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ DCE=∠ F,\therefore AB// DC$。
$\because AD// BC$,
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形。
【答案】
证明:$\because E$是$AD$边的中点,
$\therefore DE=AE$。
在$△ AEF$和$△ DEC$中,
$\begin{cases} AE=DE, \\ ∠ AEF=∠ DEC, \\ FE=CE, \end{cases}$
$\therefore △ DCE≌△ AFE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ DCE=∠ F,\therefore AB// DC$。
$\because AD// BC$,
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的判定；平行四边形的判定
【点评】
本题属于平行四边形判定的基础题型，解题核心是通过证明三角形全等得到角相等，进而推出未知的一组对边平行，熟练掌握全等三角形、平行线及平行四边形的相关判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
8. 如图,在由边长为1的小正方形组成的5×6的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,请按要求解决下列问题:
(1)通过计算判断△ABC的形状;
(2)在图中确定一个格点 D,连接 AD,CD,使四边形 ABCD 为平行四边形。
(1)通过计算判断△ABC的形状;
(2)在图中确定一个格点 D,连接 AD,CD,使四边形 ABCD 为平行四边形。
答案
(1)由题意可得,$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$,$AC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$,$BC=\sqrt{3^2+4^2}=5$,
$\because (\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=25=5^2$,即$AB^2+AC^2=BC^2$,
$\therefore △ ABC$是直角三角形。
(2)格点$D$的位置如图
。说明:$AD// BC$,$CD// AB$,或者$AD=BC$,$CD=AB$。
解析
【分析】
(1)要判断格点三角形的形状，首先可以利用勾股定理计算出三角形三边的长度，再通过三边的数量关系结合勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形；
(2)要构造平行四边形ABCD，根据平行四边形“两组对边分别平行且相等”的判定性质，平移AB线段到点C的位置，或者平移BC线段到点A的位置，即可找到符合要求的格点D。
【解析】
(1)设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理分别计算△ABC三边的长度：
AB的横向间隔为2，纵向间隔为1，故$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
AC的横向间隔为2，纵向间隔为4，故$AC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$；
BC的横向间隔为4，纵向间隔为3，故$BC=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
验证三边平方的关系：$AB^2+AC^2=(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=5+20=25$，$BC^2=5^2=25$，因此$AB^2+AC^2=BC^2$。
根据勾股定理的逆定理，可知△ABC是直角三角形。
(2)根据平行四边形两组对边分别平行且相等的判定规则，将线段AB沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到的终点即为格点D，连接AD、CD后，$AD// BC$且$AD=BC$，$CD// AB$且$CD=AB$，四边形ABCD为平行四边形。
【答案】
(1)△ABC是直角三角形；
(2)格点$D$的位置如图。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的判定
【点评】
本题结合网格背景考查几何基础知识点的应用，计算网格中线段长度是解题的基础，掌握勾股定理逆定理和平行四边形的判定规则就能顺利解题，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
(1)要判断格点三角形的形状，首先可以利用勾股定理计算出三角形三边的长度，再通过三边的数量关系结合勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形；
(2)要构造平行四边形ABCD，根据平行四边形“两组对边分别平行且相等”的判定性质，平移AB线段到点C的位置，或者平移BC线段到点A的位置，即可找到符合要求的格点D。
【解析】
(1)设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理分别计算△ABC三边的长度：
AB的横向间隔为2，纵向间隔为1，故$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
AC的横向间隔为2，纵向间隔为4，故$AC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$；
BC的横向间隔为4，纵向间隔为3，故$BC=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
验证三边平方的关系：$AB^2+AC^2=(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=5+20=25$，$BC^2=5^2=25$，因此$AB^2+AC^2=BC^2$。
根据勾股定理的逆定理，可知△ABC是直角三角形。
(2)根据平行四边形两组对边分别平行且相等的判定规则，将线段AB沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到的终点即为格点D，连接AD、CD后，$AD// BC$且$AD=BC$，$CD// AB$且$CD=AB$，四边形ABCD为平行四边形。
【答案】
(1)△ABC是直角三角形；
(2)格点$D$的位置如图
。【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的判定
【点评】
本题结合网格背景考查几何基础知识点的应用，计算网格中线段长度是解题的基础，掌握勾股定理逆定理和平行四边形的判定规则就能顺利解题，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
