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3. 如图，图(1)是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图(单位:cm)，其中长方形ABCD是由白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分CDEF为长方形旗面。如图(2)，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆顶端到地面的高度为220 cm。在无风的天气，彩旗自然下垂，则彩旗下垂时最低处离地面的高度h为(
A.130 cm
B.100 cm
C.80 cm
D.70 cm
D
)A.130 cm
B.100 cm
C.80 cm
D.70 cm
答案
3. D
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确：无风时彩旗自然下垂，最低处距离旗杆顶端的长度等于旗面（长方形CDEF）的对角线长度，因为长方形内最长的线段就是对角线，这是解题的核心隐含条件。接下来只需用勾股定理计算出旗面对角线的长度，再用旗杆顶端到地面的总高度减去对角线长度，即可求出最低处离地面的高度h。
【解析】
已知旗面CDEF为长方形，长$DE=120\mathrm{cm}$，宽$EF=90\mathrm{cm}$。
根据勾股定理，旗面对角线的长度为：
$\sqrt{DE^2+EF^2}=\sqrt{120^2+90^2}=\sqrt{14400+8100}=\sqrt{22500}=150\mathrm{cm}$
又已知旗杆顶端到地面的高度为$220\mathrm{cm}$，因此彩旗下垂时最低处离地面的高度：
$h=220-150=70\mathrm{cm}$
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，长方形的性质
【点评】
本题是勾股定理结合生活实际的应用题，解题关键是准确找到“彩旗下垂最大长度对应旗面对角线长度”这个隐含条件，将实际问题转化为几何计算问题即可求解。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要明确：无风时彩旗自然下垂，最低处距离旗杆顶端的长度等于旗面（长方形CDEF）的对角线长度，因为长方形内最长的线段就是对角线，这是解题的核心隐含条件。接下来只需用勾股定理计算出旗面对角线的长度，再用旗杆顶端到地面的总高度减去对角线长度，即可求出最低处离地面的高度h。
【解析】
已知旗面CDEF为长方形，长$DE=120\mathrm{cm}$，宽$EF=90\mathrm{cm}$。
根据勾股定理，旗面对角线的长度为：
$\sqrt{DE^2+EF^2}=\sqrt{120^2+90^2}=\sqrt{14400+8100}=\sqrt{22500}=150\mathrm{cm}$
又已知旗杆顶端到地面的高度为$220\mathrm{cm}$，因此彩旗下垂时最低处离地面的高度：
$h=220-150=70\mathrm{cm}$
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，长方形的性质
【点评】
本题是勾股定理结合生活实际的应用题，解题关键是准确找到“彩旗下垂最大长度对应旗面对角线长度”这个隐含条件，将实际问题转化为几何计算问题即可求解。
【难度系数】
0.7
4.如图，圆柱形玻璃杯的高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜。此时一只蚂蚁正好在杯外壁、离杯上沿3 cm且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为
20
cm(杯壁厚度不计)。答案
4. 20
解析
【分析】
本题属于圆柱表面最短路径问题，解题时首先要将圆柱侧面展开为平面长方形，把立体路径转化为平面上的线段长度求解。由于蚂蚁在杯外壁、蜂蜜在杯内壁，需要先将点A关于杯口对应的直线作对称，再根据“两点之间线段最短”确定最短路径为对称点到B的线段，最后利用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
1. 把圆柱的侧面沿过点A的高展开，得到长为底面周长32cm、高为14cm的长方形。
2. 因为A和B在圆柱上相对，所以两点在展开图中的水平距离为底面周长的一半：$32÷2=16\ \mathrm{cm}$。
3. 作点A关于展开图中杯口所在直线的对称点$A'$，计算$A'$到B的竖直距离：A离杯上沿3cm，B离杯底5cm，因此竖直总长度为$3+(14-5)=12\ \mathrm{cm}$。
4. 根据勾股定理，最短路径$A'B$的长度为：
$A'B=\sqrt{16^2+12^2}=\sqrt{256+144}=\sqrt{400}=20\ \mathrm{cm}$
【答案】
20
【知识点】
圆柱侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理
【点评】
本题的解题关键是掌握立体图形转平面图形的思路，注意外壁到内壁的路径需要通过对称转化为同侧两点的连线，易错点是误将水平距离取为整个底面周长，或错误计算竖直方向的距离。
【难度系数】
0.6
本题属于圆柱表面最短路径问题，解题时首先要将圆柱侧面展开为平面长方形，把立体路径转化为平面上的线段长度求解。由于蚂蚁在杯外壁、蜂蜜在杯内壁，需要先将点A关于杯口对应的直线作对称，再根据“两点之间线段最短”确定最短路径为对称点到B的线段，最后利用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
1. 把圆柱的侧面沿过点A的高展开，得到长为底面周长32cm、高为14cm的长方形。
2. 因为A和B在圆柱上相对，所以两点在展开图中的水平距离为底面周长的一半：$32÷2=16\ \mathrm{cm}$。
3. 作点A关于展开图中杯口所在直线的对称点$A'$，计算$A'$到B的竖直距离：A离杯上沿3cm，B离杯底5cm，因此竖直总长度为$3+(14-5)=12\ \mathrm{cm}$。
4. 根据勾股定理，最短路径$A'B$的长度为：
$A'B=\sqrt{16^2+12^2}=\sqrt{256+144}=\sqrt{400}=20\ \mathrm{cm}$
【答案】
20
【知识点】
圆柱侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理
【点评】
本题的解题关键是掌握立体图形转平面图形的思路，注意外壁到内壁的路径需要通过对称转化为同侧两点的连线，易错点是误将水平距离取为整个底面周长，或错误计算竖直方向的距离。
【难度系数】
0.6
5.某无盖圆柱形杯子的展开图如图所示，将
一根长为20 cm 的细木筷斜放在该杯子内，则木筷露在杯子外面的部分至少长
一根长为20 cm 的细木筷斜放在该杯子内，则木筷露在杯子外面的部分至少长
5
cm。答案
5. 5
解析
【分析】
要得到木筷露在杯子外面的最短长度，首先要明确：当木筷在杯子内部的长度最长时，露在外面的部分最短。无盖圆柱内部最长的线段是沿高和底面直径切开所得长方形截面的对角线，这条对角线和圆柱的高、底面直径构成直角三角形，我们先确定直角边的长度，再用勾股定理算出对角线（即杯内木筷最长长度），最后用木筷总长度减去杯内最长长度，就能得到所求的最短外露长度。
【解析】
解：由展开图可得，该圆柱形杯子的高为12cm，底面直径为9cm。
当木筷在杯内长度最长时，外露部分最短，此时杯内木筷的长度等于以底面直径、圆柱高为直角边的直角三角形的斜边长。
根据勾股定理，杯内木筷的最长长度为：
$\sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$（cm）
因此露在杯子外面的部分至少长：$20 - 15 = 5$（cm）
【答案】
5
【知识点】
勾股定理，圆柱的特征，最值分析
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用题目，解题核心是理解“外露最短对应杯内长度最长”，准确找到构成直角三角形的两条直角边即可计算，侧重对逻辑分析能力的考查。
【难度系数】
0.7
要得到木筷露在杯子外面的最短长度，首先要明确：当木筷在杯子内部的长度最长时，露在外面的部分最短。无盖圆柱内部最长的线段是沿高和底面直径切开所得长方形截面的对角线，这条对角线和圆柱的高、底面直径构成直角三角形，我们先确定直角边的长度，再用勾股定理算出对角线（即杯内木筷最长长度），最后用木筷总长度减去杯内最长长度，就能得到所求的最短外露长度。
【解析】
解：由展开图可得，该圆柱形杯子的高为12cm，底面直径为9cm。
当木筷在杯内长度最长时，外露部分最短，此时杯内木筷的长度等于以底面直径、圆柱高为直角边的直角三角形的斜边长。
根据勾股定理，杯内木筷的最长长度为：
$\sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$（cm）
因此露在杯子外面的部分至少长：$20 - 15 = 5$（cm）
【答案】
5
【知识点】
勾股定理，圆柱的特征，最值分析
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用题目，解题核心是理解“外露最短对应杯内长度最长”，准确找到构成直角三角形的两条直角边即可计算，侧重对逻辑分析能力的考查。
【难度系数】
0.7
6.如图,一架云梯长25 m,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7 m。如果梯子的顶端下滑了4 m,那么梯子的底部在水平方向上滑动了
8 m
。答案
6. 8 m
解析
【分析】
这道题是勾股定理在实际场景中的应用，解题时要抓住梯子长度始终不变这个核心条件。首先我们可以将墙、地面、梯子构成的图形看作直角三角形，梯子是斜边。第一步先计算梯子顶端初始的高度，第二步计算顶端下滑4m后新的直角三角形的水平直角边长度，最后用新的水平长度减去原来的水平长度，就能得到梯子底部水平滑动的距离。
【解析】
已知墙与地面垂直，因此梯子、墙、地面构成直角三角形，梯子长度为直角三角形的斜边。
① 计算初始状态下梯子顶端的高度：
设初始时梯子顶端距离地面的高度为$h_1$，根据勾股定理：
$h_1^2 + 7^2 = 25^2$
$h_1^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$
因为长度为正数，所以$h_1 = \sqrt{576} = 24\ \mathrm{m}$。
② 计算顶端下滑4m后梯子底端离墙的距离：
顶端下滑4m后，新的高度$h_2 = 24 - 4 = 20\ \mathrm{m}$，设此时梯子底端离墙的距离为$x$，梯子长度仍为25m，根据勾股定理：
$x^2 + 20^2 = 25^2$
$x^2 = 25^2 - 20^2 = 625 - 400 = 225$
因为长度为正数，所以$x = \sqrt{225} = 15\ \mathrm{m}$。
③ 计算水平滑动的距离：
滑动距离 = 新的水平距离 - 初始水平距离 = $15 - 7 = 8\ \mathrm{m}$。
【答案】
8 m
【知识点】
勾股定理；实际问题几何建模
【点评】
本题是勾股定理的典型实际应用题，解题的关键是明确梯子长度为定值这一不变条件，通过两次运用勾股定理分别求解对应边长即可得到结果，注意不要默认下滑距离和水平滑动距离相等，需通过严谨计算得到结论。
【难度系数】
0.7
这道题是勾股定理在实际场景中的应用，解题时要抓住梯子长度始终不变这个核心条件。首先我们可以将墙、地面、梯子构成的图形看作直角三角形，梯子是斜边。第一步先计算梯子顶端初始的高度，第二步计算顶端下滑4m后新的直角三角形的水平直角边长度，最后用新的水平长度减去原来的水平长度，就能得到梯子底部水平滑动的距离。
【解析】
已知墙与地面垂直，因此梯子、墙、地面构成直角三角形，梯子长度为直角三角形的斜边。
① 计算初始状态下梯子顶端的高度：
设初始时梯子顶端距离地面的高度为$h_1$，根据勾股定理：
$h_1^2 + 7^2 = 25^2$
$h_1^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$
因为长度为正数，所以$h_1 = \sqrt{576} = 24\ \mathrm{m}$。
② 计算顶端下滑4m后梯子底端离墙的距离：
顶端下滑4m后，新的高度$h_2 = 24 - 4 = 20\ \mathrm{m}$，设此时梯子底端离墙的距离为$x$，梯子长度仍为25m，根据勾股定理：
$x^2 + 20^2 = 25^2$
$x^2 = 25^2 - 20^2 = 625 - 400 = 225$
因为长度为正数，所以$x = \sqrt{225} = 15\ \mathrm{m}$。
③ 计算水平滑动的距离：
滑动距离 = 新的水平距离 - 初始水平距离 = $15 - 7 = 8\ \mathrm{m}$。
【答案】
8 m
【知识点】
勾股定理；实际问题几何建模
【点评】
本题是勾股定理的典型实际应用题，解题的关键是明确梯子长度为定值这一不变条件，通过两次运用勾股定理分别求解对应边长即可得到结果，注意不要默认下滑距离和水平滑动距离相等，需通过严谨计算得到结论。
【难度系数】
0.7
7.如图是一副秋千架,图(1)是从正面看,当秋千绳子自然下垂时,踏板离地面0.5 m(踏板厚度忽略不计);图(2)是从侧面看,当秋千踏板荡起至点B位置时,点B离地面的垂直高度BC为1 m,离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5 m(不考虑支柱的直径)。求秋千支柱AD的高。
答案
7. 解:设$AD=x\ \mathrm{m}$，
则$AB=(x-0.5)\mathrm{m},AE=(x-1)\mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ABE$中,$AE^2+BE^2=AB^2$，
即$(x-1)^2+1.5^2=(x-0.5)^2$，
解得$x=3$，
故秋千支柱AD的高为3 m。
则$AB=(x-0.5)\mathrm{m},AE=(x-1)\mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ABE$中,$AE^2+BE^2=AB^2$，
即$(x-1)^2+1.5^2=(x-0.5)^2$，
解得$x=3$，
故秋千支柱AD的高为3 m。
解析
【分析】
要计算秋千支柱AD的高度，可通过设未知数列方程求解。首先明确秋千绳子长度是固定的：自然下垂时绳子长度等于AD减去踏板离地面的高度0.5m；当踏板荡到B点时，$△ ABE$是直角三角形，其中水平距离$BE=1.5\mathrm{m}$，竖直边$AE$的长度等于AD减去B点离地面的高度1m，斜边AB就是绳子的长度，我们可以利用勾股定理建立关于AD高度的方程，进而求解。
【解析】
解：设秋千支柱AD的高为$x\ \mathrm{m}$。
由题意得，秋千绳子长度固定，因此$AB=(x-0.5)\mathrm{m}$；
当踏板在B点时，$AE=AD-BC=(x-1)\mathrm{m}$，$BE=1.5\mathrm{m}$，且$△ ABE$为直角三角形，$∠ AEB=90°$。
根据勾股定理$AE^2+BE^2=AB^2$，代入边长可得：
$(x-1)^2+1.5^2=(x-0.5)^2$
展开计算：
$x^2-2x+1+2.25=x^2-x+0.25$
移项合并同类项：
$-x=-3$
解得$x=3$
【答案】
3 m
【知识点】
勾股定理的应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题是勾股定理结合方程的实际应用问题，解题的关键是抓住绳子长度不变这一隐含条件，将实际场景转化为直角三角形的边长计算问题，建立方程即可求解，考查了学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
要计算秋千支柱AD的高度，可通过设未知数列方程求解。首先明确秋千绳子长度是固定的：自然下垂时绳子长度等于AD减去踏板离地面的高度0.5m；当踏板荡到B点时，$△ ABE$是直角三角形，其中水平距离$BE=1.5\mathrm{m}$，竖直边$AE$的长度等于AD减去B点离地面的高度1m，斜边AB就是绳子的长度，我们可以利用勾股定理建立关于AD高度的方程，进而求解。
【解析】
解：设秋千支柱AD的高为$x\ \mathrm{m}$。
由题意得，秋千绳子长度固定，因此$AB=(x-0.5)\mathrm{m}$；
当踏板在B点时，$AE=AD-BC=(x-1)\mathrm{m}$，$BE=1.5\mathrm{m}$，且$△ ABE$为直角三角形，$∠ AEB=90°$。
根据勾股定理$AE^2+BE^2=AB^2$，代入边长可得：
$(x-1)^2+1.5^2=(x-0.5)^2$
展开计算：
$x^2-2x+1+2.25=x^2-x+0.25$
移项合并同类项：
$-x=-3$
解得$x=3$
【答案】
3 m
【知识点】
勾股定理的应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题是勾股定理结合方程的实际应用问题，解题的关键是抓住绳子长度不变这一隐含条件，将实际场景转化为直角三角形的边长计算问题，建立方程即可求解，考查了学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
