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1. 将多项式$-a^2 + a^3 - a + 1$按字母$a$的升幂排列，正确的是（
A.$a^3 - a^2 - a + 1$
B.$-a - a^2 + a^3 + 1$
C.$1 - a - a^2 + a^3$
D.$-1 + a - a^2 + a^3$
C
）。A.$a^3 - a^2 - a + 1$
B.$-a - a^2 + a^3 + 1$
C.$1 - a - a^2 + a^3$
D.$-1 + a - a^2 + a^3$
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先要明确升幂排列的定义：按指定字母的指数从小到大排列多项式的各项。思考步骤如下：第一步拆分多项式的所有项，注意每一项要连同它前面的符号一起拆分，不能遗漏符号；第二步分别确定每一项中字母a的指数，其中不含a的常数项的a的指数为0；第三步按照a的指数从小到大的顺序重新排列各项，排列时每一项的符号保持不变，最终对应选项即可。
【解析】
首先，拆分多项式$-a^2 + a^3 - a + 1$的所有项，分别为：$-a^2$、$+a^3$、$-a$、$+1$。
其次确定每一项中a的指数：
$+1$是常数项，a的指数为0；
$-a$中a的指数为1；
$-a^2$中a的指数为2；
$+a^3$中a的指数为3。
按照a的升幂排列（即指数从小到大排列），结果为$1 - a - a^2 + a^3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
多项式升幂排列、单项式的次数、多项式的项
【点评】
本题是基础概念题，解题的易错点在于排列各项时容易遗漏项前面的符号，要注意移动多项式的项时，项的符号需要和项一起移动，不能随意改变。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确升幂排列的定义：按指定字母的指数从小到大排列多项式的各项。思考步骤如下：第一步拆分多项式的所有项，注意每一项要连同它前面的符号一起拆分，不能遗漏符号；第二步分别确定每一项中字母a的指数，其中不含a的常数项的a的指数为0；第三步按照a的指数从小到大的顺序重新排列各项，排列时每一项的符号保持不变，最终对应选项即可。
【解析】
首先，拆分多项式$-a^2 + a^3 - a + 1$的所有项，分别为：$-a^2$、$+a^3$、$-a$、$+1$。
其次确定每一项中a的指数：
$+1$是常数项，a的指数为0；
$-a$中a的指数为1；
$-a^2$中a的指数为2；
$+a^3$中a的指数为3。
按照a的升幂排列（即指数从小到大排列），结果为$1 - a - a^2 + a^3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
多项式升幂排列、单项式的次数、多项式的项
【点评】
本题是基础概念题，解题的易错点在于排列各项时容易遗漏项前面的符号，要注意移动多项式的项时，项的符号需要和项一起移动，不能随意改变。
【难度系数】
0.8
2. 若代数式$(2x^2 + ax - y + 6) - (2bx^2 - 3x - 5y - 1)$的值与字母$x$的取值无关（$a$，$b$为常数），则代数式$a + 2b$的值为（
A.1
B.$-1$
C.5
D.$-5$
B
）。A.1
B.$-1$
C.5
D.$-5$
答案
2. B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确“代数式的值与字母x的取值无关”的含义：即代数式中所有含x的项的系数都为0。解题思路为：第一步先对给出的代数式去括号、合并同类项，整理为按x的降幂排列的形式；第二步令所有含x的项的系数等于0，列方程求出a、b的值；第三步将a、b代入a+2b计算即可得到结果。
【解析】
先对代数式进行化简：
$\begin{aligned}&(2x^2 + ax - y + 6) - (2bx^2 - 3x - 5y - 1)\\=&2x^2 + ax - y + 6 - 2bx^2 + 3x + 5y + 1\\=&(2 - 2b)x^2 + (a + 3)x + (-y + 5y) + (6 + 1)\\=&(2 - 2b)x^2 + (a + 3)x + 4y + 7\end{aligned}$
因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即：
$2 - 2b = 0$，解得$b = 1$
$a + 3 = 0$，解得$a = -3$
将a=-3，b=1代入$a + 2b$得：
$a + 2b = -3 + 2×1 = -1$
【答案】
B
【知识点】
整式的加减，合并同类项，代数式取值无关条件
【点评】
本题核心是理解“代数式的值与某字母取值无关”的本质是该字母所有次项的系数均为0，解题时要熟练掌握去括号、合并同类项的运算规则，注意去括号时的符号变化，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先要明确“代数式的值与字母x的取值无关”的含义：即代数式中所有含x的项的系数都为0。解题思路为：第一步先对给出的代数式去括号、合并同类项，整理为按x的降幂排列的形式；第二步令所有含x的项的系数等于0，列方程求出a、b的值；第三步将a、b代入a+2b计算即可得到结果。
【解析】
先对代数式进行化简：
$\begin{aligned}&(2x^2 + ax - y + 6) - (2bx^2 - 3x - 5y - 1)\\=&2x^2 + ax - y + 6 - 2bx^2 + 3x + 5y + 1\\=&(2 - 2b)x^2 + (a + 3)x + (-y + 5y) + (6 + 1)\\=&(2 - 2b)x^2 + (a + 3)x + 4y + 7\end{aligned}$
因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即：
$2 - 2b = 0$，解得$b = 1$
$a + 3 = 0$，解得$a = -3$
将a=-3，b=1代入$a + 2b$得：
$a + 2b = -3 + 2×1 = -1$
【答案】
B
【知识点】
整式的加减，合并同类项，代数式取值无关条件
【点评】
本题核心是理解“代数式的值与某字母取值无关”的本质是该字母所有次项的系数均为0，解题时要熟练掌握去括号、合并同类项的运算规则，注意去括号时的符号变化，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
3. 将多项式$a^3b - a^2 + 3ab^2 - 4a^5 + 3$按字母$a$的降幂排列的结果为
$-4a^5 + a^3b - a^2 + 3ab^2 + 3$
.答案
3. $-4a^5 + a^3b - a^2 + 3ab^2 + 3$
解析
【分析】
要解决按字母a的降幂排列的问题，首先要明确降幂排列的规则：将多项式的所有项按照指定字母的指数从大到小的顺序排列。解题步骤为：①先拆分原多项式的所有项，注意每项要带上前面的符号；②逐一确定每一项中字母a的指数；③按照a的指数从高到低重新排列各项，其中常数项不含a，a的指数视为0，排在最后。
【解析】
首先列出原多项式的所有项及对应a的指数：
1. $-4a^5$：a的指数为5
2. $a^3b$：a的指数为3
3. $-a^2$：a的指数为2
4. $3ab^2$：a的指数为1
5. $3$：a的指数为0
按照a的指数从大到小排列各项，得到：$-4a^5 + a^3b - a^2 + 3ab^2 + 3$
【答案】
$-4a^5 + a^3b - a^2 + 3ab^2 + 3$
【知识点】
多项式的降幂排列；单项式的次数；多项式的项
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查多项式按指定字母降幂排列的规则，解题时需注意移动项时要保留项前面的符号，不要漏写符号导致出错。
【难度系数】
0.9
要解决按字母a的降幂排列的问题，首先要明确降幂排列的规则：将多项式的所有项按照指定字母的指数从大到小的顺序排列。解题步骤为：①先拆分原多项式的所有项，注意每项要带上前面的符号；②逐一确定每一项中字母a的指数；③按照a的指数从高到低重新排列各项，其中常数项不含a，a的指数视为0，排在最后。
【解析】
首先列出原多项式的所有项及对应a的指数：
1. $-4a^5$：a的指数为5
2. $a^3b$：a的指数为3
3. $-a^2$：a的指数为2
4. $3ab^2$：a的指数为1
5. $3$：a的指数为0
按照a的指数从大到小排列各项，得到：$-4a^5 + a^3b - a^2 + 3ab^2 + 3$
【答案】
$-4a^5 + a^3b - a^2 + 3ab^2 + 3$
【知识点】
多项式的降幂排列；单项式的次数；多项式的项
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查多项式按指定字母降幂排列的规则，解题时需注意移动项时要保留项前面的符号，不要漏写符号导致出错。
【难度系数】
0.9
若$P=a^2 + 3ab + b^2, Q=a^2 - 3ab + b^2$, 则代数式$2P - (P - Q) =$
$2a^2 + 2b^2$
答案
4. $2a^2 + 2b^2$
解析
【分析】
解题时可先对待求代数式$2P-(P-Q)$进行化简，避免直接代入P、Q计算导致运算繁琐。首先根据去括号法则去掉代数式中的括号，再合并同类项得到化简结果，最后将P、Q的表达式代入化简后的式子，再次合并同类项即可得到最终结果。去括号时需注意括号前是减号时，括号内各项要变号，合并同类项时只有所含字母相同、相同字母的指数也相同的项才能合并。
【解析】
第一步：化简待求代数式
$\begin{aligned}2P-(P-Q)&=2P-P+Q\\&=P+Q\end{aligned}$
第二步：将$P=a^2 + 3ab + b^2$，$Q=a^2 - 3ab + b^2$代入化简后的式子
$\begin{aligned}P+Q&=(a^2 + 3ab + b^2)+(a^2 - 3ab + b^2)\\&=a^2 + 3ab + b^2 + a^2 - 3ab + b^2\\&=(a^2+a^2)+(3ab-3ab)+(b^2+b^2)\\&=2a^2+0+2b^2\\&=2a^2+2b^2\end{aligned}$
【答案】
$2a^2 + 2b^2$
【知识点】
整式的加减运算、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，优先化简待求式可有效减少计算量，降低出错概率，解题的关键是准确掌握去括号的符号规则和合并同类项的方法。
【难度系数】
0.8
解题时可先对待求代数式$2P-(P-Q)$进行化简，避免直接代入P、Q计算导致运算繁琐。首先根据去括号法则去掉代数式中的括号，再合并同类项得到化简结果，最后将P、Q的表达式代入化简后的式子，再次合并同类项即可得到最终结果。去括号时需注意括号前是减号时，括号内各项要变号，合并同类项时只有所含字母相同、相同字母的指数也相同的项才能合并。
【解析】
第一步：化简待求代数式
$\begin{aligned}2P-(P-Q)&=2P-P+Q\\&=P+Q\end{aligned}$
第二步：将$P=a^2 + 3ab + b^2$，$Q=a^2 - 3ab + b^2$代入化简后的式子
$\begin{aligned}P+Q&=(a^2 + 3ab + b^2)+(a^2 - 3ab + b^2)\\&=a^2 + 3ab + b^2 + a^2 - 3ab + b^2\\&=(a^2+a^2)+(3ab-3ab)+(b^2+b^2)\\&=2a^2+0+2b^2\\&=2a^2+2b^2\end{aligned}$
【答案】
$2a^2 + 2b^2$
【知识点】
整式的加减运算、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，优先化简待求式可有效减少计算量，降低出错概率，解题的关键是准确掌握去括号的符号规则和合并同类项的方法。
【难度系数】
0.8
5. 若 $ a - b = 5 $，$ ab = 3 $，则 $ (7a + 4b + ab) - 6( \frac{5}{6}b + a - ab ) = $
26
。答案
5. 26
解析
【分析】
本题是整式的化简求值题，解题时不需要单独求出a、b的具体数值，先对所求代数式进行去括号、合并同类项化简，将其转化为含有已知条件$a-b$和$ab$的形式，再整体代入已知数值计算即可。解题时要注意去括号时的符号变化，以及括号外的系数要乘遍括号内的每一项。
【解析】
先对代数式进行化简：
$\begin{aligned}&\quad(7a + 4b + ab) - 6( \frac{5}{6}b + a - ab )\\&=7a + 4b + ab - 6×\frac{5}{6}b -6× a +6× ab\\&=7a + 4b + ab -5b -6a +6ab\\&=(7a-6a)+(4b-5b)+(ab+6ab)\\&=a - b +7ab\end{aligned}$
已知$a-b=5$，$ab=3$，将其代入化简后的式子：
原式$=5 +7×3=5+21=26$
【答案】
26
【知识点】
整式化简求值，去括号法则，整体代入法
【点评】
本题核心考查整式的运算与整体代入求值的思想，通过化简代数式将未知转化为已知条件的形式，可大幅简化计算过程，解题时需格外注意去括号时的符号及系数运算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
本题是整式的化简求值题，解题时不需要单独求出a、b的具体数值，先对所求代数式进行去括号、合并同类项化简，将其转化为含有已知条件$a-b$和$ab$的形式，再整体代入已知数值计算即可。解题时要注意去括号时的符号变化，以及括号外的系数要乘遍括号内的每一项。
【解析】
先对代数式进行化简：
$\begin{aligned}&\quad(7a + 4b + ab) - 6( \frac{5}{6}b + a - ab )\\&=7a + 4b + ab - 6×\frac{5}{6}b -6× a +6× ab\\&=7a + 4b + ab -5b -6a +6ab\\&=(7a-6a)+(4b-5b)+(ab+6ab)\\&=a - b +7ab\end{aligned}$
已知$a-b=5$，$ab=3$，将其代入化简后的式子：
原式$=5 +7×3=5+21=26$
【答案】
26
【知识点】
整式化简求值，去括号法则，整体代入法
【点评】
本题核心考查整式的运算与整体代入求值的思想，通过化简代数式将未知转化为已知条件的形式，可大幅简化计算过程，解题时需格外注意去括号时的符号及系数运算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
三、解答题
6. 先化简，再求值：
(1) $-a^2 + (-4a + 3a^2) - (5a^2 + 2a - 1)$，其中 $a=-\dfrac{2}{3}$；
(2) $3xy + \dfrac{1}{2}(4xy + 8x^2y^2) - 2(3xy + 2x^2y^2 + 1)$，其中 $x=-1, y=3$。
6. 先化简，再求值：
(1) $-a^2 + (-4a + 3a^2) - (5a^2 + 2a - 1)$，其中 $a=-\dfrac{2}{3}$；
(2) $3xy + \dfrac{1}{2}(4xy + 8x^2y^2) - 2(3xy + 2x^2y^2 + 1)$，其中 $x=-1, y=3$。
答案
6. (1) $-3a^2 -6a +1$ $\dfrac{11}{3}$ (2) $-xy -2$ 1
解析
【分析】
整式化简求值类题目遵循“先化简，再求值”的原则，可降低运算量、减少出错：①去括号：括号前为正号时，去括号后括号内各项符号不变；括号前为负号时，去括号后括号内各项均要变号；括号前带系数时，需将系数乘到括号内每一项。②合并同类项：将同类项的系数相加减，字母及字母的指数保持不变。③将给定的字母取值代入化简后的式子，按有理数运算法则计算最终结果即可。
【解析】
(1) 先化简式子：
$\begin{aligned}原式&=-a^2 -4a + 3a^2 -5a^2 -2a +1\\&=(-a^2+3a^2-5a^2)+(-4a-2a)+1\\&=-3a^2 -6a +1\end{aligned}$
将$a=-\dfrac{2}{3}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=-3× (-\dfrac{2}{3})^2 -6× (-\dfrac{2}{3}) +1\\&=-3× \dfrac{4}{9} +4 +1\\&=-\dfrac{4}{3} +5\\&=\dfrac{11}{3}\end{aligned}$
(2) 先化简式子：
$\begin{aligned}原式&=3xy + 2xy +4x^2y^2 -6xy -4x^2y^2 -2\\&=(3xy+2xy-6xy)+(4x^2y^2-4x^2y^2)-2\\&=-xy -2\end{aligned}$
将$x=-1,y=3$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=-(-1)× 3 -2\\&=3-2\\&=1\end{aligned}$
【答案】
(1) 化简结果为$-3a^2 -6a +1$，值为$\dfrac{11}{3}$；
(2) 化简结果为$-xy -2$，值为$1$
【知识点】
去括号法则；合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题是整式加减的基础题型，核心考查去括号和合并同类项的运算规则，熟练掌握运算顺序和符号变化规律即可快速解题，先化简再求值的思路能大幅提升运算正确率。
【难度系数】
0.8
整式化简求值类题目遵循“先化简，再求值”的原则，可降低运算量、减少出错：①去括号：括号前为正号时，去括号后括号内各项符号不变；括号前为负号时，去括号后括号内各项均要变号；括号前带系数时，需将系数乘到括号内每一项。②合并同类项：将同类项的系数相加减，字母及字母的指数保持不变。③将给定的字母取值代入化简后的式子，按有理数运算法则计算最终结果即可。
【解析】
(1) 先化简式子：
$\begin{aligned}原式&=-a^2 -4a + 3a^2 -5a^2 -2a +1\\&=(-a^2+3a^2-5a^2)+(-4a-2a)+1\\&=-3a^2 -6a +1\end{aligned}$
将$a=-\dfrac{2}{3}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=-3× (-\dfrac{2}{3})^2 -6× (-\dfrac{2}{3}) +1\\&=-3× \dfrac{4}{9} +4 +1\\&=-\dfrac{4}{3} +5\\&=\dfrac{11}{3}\end{aligned}$
(2) 先化简式子：
$\begin{aligned}原式&=3xy + 2xy +4x^2y^2 -6xy -4x^2y^2 -2\\&=(3xy+2xy-6xy)+(4x^2y^2-4x^2y^2)-2\\&=-xy -2\end{aligned}$
将$x=-1,y=3$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=-(-1)× 3 -2\\&=3-2\\&=1\end{aligned}$
【答案】
(1) 化简结果为$-3a^2 -6a +1$，值为$\dfrac{11}{3}$；
(2) 化简结果为$-xy -2$，值为$1$
【知识点】
去括号法则；合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题是整式加减的基础题型，核心考查去括号和合并同类项的运算规则，熟练掌握运算顺序和符号变化规律即可快速解题，先化简再求值的思路能大幅提升运算正确率。
【难度系数】
0.8
7. 已知A，B都是关于y的多项式，一同学在计算多项式$2A - B$结果的时候，不小心把表示A的多项式弄脏了，现在只知道$B = 2y^2 + 3ay + 2y - 3$，$2A - B = -4y^2 - ay - 2y + 1$。
（1）请根据仅有的信息求出A表示的多项式；
（2）若多项式$A + 2B$中不含y的一次项，求a的值。
（1）请根据仅有的信息求出A表示的多项式；
（2）若多项式$A + 2B$中不含y的一次项，求a的值。
答案
(1) $A=-y^2 + ay -1$ (2) $a=-\dfrac{4}{7}$
解析
【分析】
（1）要求多项式A，我们可以利用已知的等式$2A - B = -4y^2 - ay - 2y + 1$变形得到$2A = B + (-4y^2 - ay - 2y + 1)$，先代入B的表达式，合并同类项后再除以2就能求出A。
（2）先将（1）中求出的A和已知的B代入$A+2B$，通过去括号、合并同类项整理式子，题目说不含y的一次项，说明y的一次项的系数为0，据此列方程求解即可得到a的值。
【解析】
（1）已知$2A - B = -4y^2 - ay - 2y + 1$，移项可得：
$2A = B + (-4y^2 - ay - 2y + 1)$
将$B = 2y^2 + 3ay + 2y - 3$代入上式：
$\begin{aligned}2A&=2y^2 + 3ay + 2y - 3 -4y^2 - ay - 2y + 1\\&=(2y^2-4y^2)+(3ay-ay)+(2y-2y)+(-3+1)\\&=-2y^2 + 2ay -2\end{aligned}$
两边同时除以2得：
$A=-y^2 + ay -1$
（2）将$A=-y^2 + ay -1$，$B = 2y^2 + 3ay + 2y - 3$代入$A+2B$：
$\begin{aligned}A+2B&=(-y^2 + ay -1)+2×(2y^2 + 3ay + 2y - 3)\\&=-y^2 + ay -1 +4y^2 +6ay +4y -6\\&=(-y^2+4y^2)+(ay+6ay+4y)+(-1-6)\\&=3y^2 + (7a+4)y -7\end{aligned}$
因为多项式$A+2B$中不含y的一次项，所以y的一次项系数为0，即：
$7a + 4 = 0$
解得：$a=-\dfrac{4}{7}$
【答案】
(1) $A=-y^2 + ay -1$ (2) $a=-\dfrac{4}{7}$
【知识点】
整式的加减运算，多项式的项与系数，解一元一次方程
【点评】
本题是整式加减的基础常考题，重点考查去括号、合并同类项的运算规则，理解“多项式不含某一项则该项系数为0”是解题的关键，运算时注意符号的变化即可。
【难度系数】
0.75
（1）要求多项式A，我们可以利用已知的等式$2A - B = -4y^2 - ay - 2y + 1$变形得到$2A = B + (-4y^2 - ay - 2y + 1)$，先代入B的表达式，合并同类项后再除以2就能求出A。
（2）先将（1）中求出的A和已知的B代入$A+2B$，通过去括号、合并同类项整理式子，题目说不含y的一次项，说明y的一次项的系数为0，据此列方程求解即可得到a的值。
【解析】
（1）已知$2A - B = -4y^2 - ay - 2y + 1$，移项可得：
$2A = B + (-4y^2 - ay - 2y + 1)$
将$B = 2y^2 + 3ay + 2y - 3$代入上式：
$\begin{aligned}2A&=2y^2 + 3ay + 2y - 3 -4y^2 - ay - 2y + 1\\&=(2y^2-4y^2)+(3ay-ay)+(2y-2y)+(-3+1)\\&=-2y^2 + 2ay -2\end{aligned}$
两边同时除以2得：
$A=-y^2 + ay -1$
（2）将$A=-y^2 + ay -1$，$B = 2y^2 + 3ay + 2y - 3$代入$A+2B$：
$\begin{aligned}A+2B&=(-y^2 + ay -1)+2×(2y^2 + 3ay + 2y - 3)\\&=-y^2 + ay -1 +4y^2 +6ay +4y -6\\&=(-y^2+4y^2)+(ay+6ay+4y)+(-1-6)\\&=3y^2 + (7a+4)y -7\end{aligned}$
因为多项式$A+2B$中不含y的一次项，所以y的一次项系数为0，即：
$7a + 4 = 0$
解得：$a=-\dfrac{4}{7}$
【答案】
(1) $A=-y^2 + ay -1$ (2) $a=-\dfrac{4}{7}$
【知识点】
整式的加减运算，多项式的项与系数，解一元一次方程
【点评】
本题是整式加减的基础常考题，重点考查去括号、合并同类项的运算规则，理解“多项式不含某一项则该项系数为0”是解题的关键，运算时注意符号的变化即可。
【难度系数】
0.75
