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如图，在$△ ABC$中，E，D，F分别是AB，BC，CA的中点。若$AB=6$，$AC=4$，则四边形AEDF的周长是 （
A.10
B.20
C.30
D.40
A
）A.10
B.20
C.30
D.40
答案
1. A
解析
【分析】
看到题目中出现三角形各边中点，首先想到运用三角形中位线定理解题。我们的解题思路是：第一步先根据线段中点的定义，求出四边形AEDF中AE、AF两条边的长度；第二步利用三角形中位线定理，求出另外两条边ED、DF的长度；第三步将四条边的长度相加，即可得到四边形的周长。
【解析】
解：
∵E是AB的中点，AB=6，
∴$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$，
∵F是AC的中点，AC=4，
∴$AF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$，
∵D是BC的中点，E是AB的中点，
∴ED是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得：$ED=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$，
同理，D是BC的中点，F是AC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，$DF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$，
∴四边形AEDF的周长为：$AE+ED+DF+AF=3+2+3+2=10$。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理，线段中点的定义，周长计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形中位线性质的应用，解题的关键是准确识别三角形的中位线，利用“中位线长度等于第三边的一半”快速求出未知边的长度。
【难度系数】
0.8
看到题目中出现三角形各边中点，首先想到运用三角形中位线定理解题。我们的解题思路是：第一步先根据线段中点的定义，求出四边形AEDF中AE、AF两条边的长度；第二步利用三角形中位线定理，求出另外两条边ED、DF的长度；第三步将四条边的长度相加，即可得到四边形的周长。
【解析】
解：
∵E是AB的中点，AB=6，
∴$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$，
∵F是AC的中点，AC=4，
∴$AF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$，
∵D是BC的中点，E是AB的中点，
∴ED是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得：$ED=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$，
同理，D是BC的中点，F是AC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，$DF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$，
∴四边形AEDF的周长为：$AE+ED+DF+AF=3+2+3+2=10$。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理，线段中点的定义，周长计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形中位线性质的应用，解题的关键是准确识别三角形的中位线，利用“中位线长度等于第三边的一半”快速求出未知边的长度。
【难度系数】
0.8
探究1: 如图(1)，BE 的延长线与边 AC 相交于点 D，求证：$EF=\frac{1}{2}(AC-AB)$。
探究2: 如图(2)，在$△ ABC$中，$AB=9$，$AC=5$，求线段 EF 的长。
探究2: 如图(2)，在$△ ABC$中，$AB=9$，$AC=5$，求线段 EF 的长。
答案
探究1 证明略
探究2 EF=2。
探究2 EF=2。
解析
【分析】
探究1：要证明EF与AC、AB的数量关系，针对角平分线+垂线的图形结构，优先考虑延长BE交AC于点D构造全等三角形：先通过角平分线定义和垂直的性质，用ASA证明△ABE≌△ADE，得到AB=AD、E是BD中点；再结合F是BC中点的条件，利用三角形中位线定理可得EF是△BCD的中位线，即$EF=\frac{1}{2}CD$，最后将CD转化为$AC-AD=AC-AB$即可完成证明。
探究2：直接代入AB和AC的长度到探究1所得的数量关系中，计算即可得到EF的长。
【解析】
探究1 证明：
延长BE交AC于点D，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠DAE，
∵BE⊥AE，
∴∠AEB=∠AED=90°，
在△ABE和△ADE中：
$\{\begin{array}{l}∠BAE=∠DAE \\AE=AE \\∠AEB=∠AED\end{array} $
∴△ABE≌△ADE（ASA），
∴AB=AD，BE=DE，即E为BD的中点，
又
∵F为BC的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴$EF=\frac{1}{2}CD$，
∵$CD=AC-AD=AC-AB$，
∴$EF=\frac{1}{2}(AC-AB)$（若AB＞AC，结论为$EF=\frac{1}{2}(AB-AC)$）。
探究2 解：
由探究1得到的线段关系可知，$EF=\frac{1}{2}|AB-AC|$，
将AB=9，AC=5代入得：
$EF=\frac{1}{2}×(9-5)=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
探究1 证明见解析；探究2 $EF=2$
【知识点】
三角形全等的判定；三角形中位线定理；角平分线的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的核心是掌握角平分线加垂线时构造全等三角形的辅助线技巧，结合中位线定理即可快速建立所求线段与已知线段的数量关系。
【难度系数】
0.65
探究1：要证明EF与AC、AB的数量关系，针对角平分线+垂线的图形结构，优先考虑延长BE交AC于点D构造全等三角形：先通过角平分线定义和垂直的性质，用ASA证明△ABE≌△ADE，得到AB=AD、E是BD中点；再结合F是BC中点的条件，利用三角形中位线定理可得EF是△BCD的中位线，即$EF=\frac{1}{2}CD$，最后将CD转化为$AC-AD=AC-AB$即可完成证明。
探究2：直接代入AB和AC的长度到探究1所得的数量关系中，计算即可得到EF的长。
【解析】
探究1 证明：
延长BE交AC于点D，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠DAE，
∵BE⊥AE，
∴∠AEB=∠AED=90°，
在△ABE和△ADE中：
$\{\begin{array}{l}∠BAE=∠DAE \\AE=AE \\∠AEB=∠AED\end{array} $
∴△ABE≌△ADE（ASA），
∴AB=AD，BE=DE，即E为BD的中点，
又
∵F为BC的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴$EF=\frac{1}{2}CD$，
∵$CD=AC-AD=AC-AB$，
∴$EF=\frac{1}{2}(AC-AB)$（若AB＞AC，结论为$EF=\frac{1}{2}(AB-AC)$）。
探究2 解：
由探究1得到的线段关系可知，$EF=\frac{1}{2}|AB-AC|$，
将AB=9，AC=5代入得：
$EF=\frac{1}{2}×(9-5)=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
探究1 证明见解析；探究2 $EF=2$
【知识点】
三角形全等的判定；三角形中位线定理；角平分线的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的核心是掌握角平分线加垂线时构造全等三角形的辅助线技巧，结合中位线定理即可快速建立所求线段与已知线段的数量关系。
【难度系数】
0.65
如图，在$△ ABC$中，$AB=BC=10$，$BD$平分$∠ ABC$，交$AC$于点$D$，点$F$在$BC$上，且$BF=4$，连接$AF$，$E$为$AF$的中点，连接$DE$，则$DE$的长为（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
C
解析
【分析】
首先由已知AB=BC可知△ABC是等腰三角形，结合BD平分∠ABC，根据等腰三角形三线合一的性质可推出D是AC的中点；又已知E是AF的中点，可判断DE是△AFC的中位线，接下来只需要求出FC的长度，再利用三角形中位线的性质即可求出DE的长。
【解析】
解：
∵AB=BC，BD平分∠ABC，
∴根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得D为AC的中点，即AD=DC。
又
∵E是AF的中点，即AE=EF，
∴DE是△AFC的中位线。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，可得DE=$\frac{1}{2}$FC。
已知BC=10，BF=4，
∴FC=BC-BF=10-4=6，
∴DE=$\frac{1}{2}$×6=3。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形中位线定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是结合等腰三角形三线合一的性质确定AC的中点，进而识别出三角形的中位线，熟练掌握相关性质定理即可快速求解，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
首先由已知AB=BC可知△ABC是等腰三角形，结合BD平分∠ABC，根据等腰三角形三线合一的性质可推出D是AC的中点；又已知E是AF的中点，可判断DE是△AFC的中位线，接下来只需要求出FC的长度，再利用三角形中位线的性质即可求出DE的长。
【解析】
解：
∵AB=BC，BD平分∠ABC，
∴根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得D为AC的中点，即AD=DC。
又
∵E是AF的中点，即AE=EF，
∴DE是△AFC的中位线。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，可得DE=$\frac{1}{2}$FC。
已知BC=10，BF=4，
∴FC=BC-BF=10-4=6，
∴DE=$\frac{1}{2}$×6=3。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形中位线定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是结合等腰三角形三线合一的性质确定AC的中点，进而识别出三角形的中位线，熟练掌握相关性质定理即可快速求解，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
