角的平分线的判定:角的内部到角两边距离的点在角的平分线上。

相等

【分析】
本题是对角平分线判定定理的直接考查，解题思路非常清晰，只需要准确回忆教材中角平分线判定的核心内容即可。角平分线的性质是角平分线上的点到角两边距离相等，而判定是性质的逆用，核心条件就是角内部的点到角两边的距离满足相等要求时，该点就在角的平分线上，直接对应空缺内容填写即可。
【解析】
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，因此空缺处应填写“相等”。
【答案】
相等
【知识点】
角平分线的判定
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对教材基础定理的记忆掌握程度，属于送分题，只要熟记相关定理内容就能快速作答。
【难度系数】
0.9

1.(新知回顾)如图，$PM ⊥ AC$于点M，$PN ⊥ AB$于点N，$PM=2$.当$PN=$时，点P在$∠ BAC$的平分线上.

1.2

【分析】
解题时首先回忆角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。首先明确本题中点P在∠BAC的内部，PM是点P到边AC的距离，PN是点P到边AB的距离，要使点P在∠BAC的平分线上，只需满足两个距离相等，即PN=PM，代入PM的数值即可求出PN的长度。
【解析】
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
已知PM⊥AC，PN⊥AB，因此PM是点P到AC的距离，PN是点P到AB的距离。
若点P在∠BAC的平分线上，则需满足PM=PN，
又已知PM=2，因此PN=2。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的判定；点到直线的距离
【点评】
本题是角平分线判定定理的基础应用，解题的核心是抓住角平分线判定的核心条件：角内部的点到两边的距离相等，找到对应距离做等量代换即可求解，属于对基础概念的考查。
【难度系数】
0.9

2. [2026安庆期末]如图，将两个完全相同的直角三角板按如图所示方式放置，使得顶点C重合，∠OEC=∠OFC=90°，若∠AOB=50°，则∠AOC的度数是。

2.25°

【分析】
首先梳理已知条件：两个完全相同的直角三角板顶点C重合，可得对应边CE=CF；又∠OEC=∠OFC=90°，说明CE是点C到OA的距离，CF是点C到OB的距离。根据角平分线的判定定理，可推出OC是∠AOB的角平分线，因此∠AOC等于∠AOB的一半，代入角度计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵两个直角三角板完全相同，
∴CE=CF，
∵∠OEC=∠OFC=90°，
∴CE⊥OA，CF⊥OB，即点C到∠AOB两边OA、OB的距离相等，
根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得OC平分∠AOB，
∴∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AOB，
∵∠AOB=50°，
∴∠AOC = $\frac{1}{2}$×50° = 25°。
【答案】
25°
【知识点】
角平分线的判定；角的运算；全等图形的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查角平分线判定定理的应用，解题的关键是结合三角板全等的性质得到点C到角两边的距离相等，进而判断OC为角平分线，熟练掌握角平分线的判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8

3.如图，$PC ⊥ OA$于点$C$，$PD ⊥ OB$于点$D$，$PC=PD$. $Q$是$OP$上一点，$QE ⊥ OA$于点$E$，$QF ⊥ OB$于点$F$. 求证:$QE=QF$.

证明：
∵ $PC⊥OA$，$PD⊥OB$，$PC=PD$，
∴ 点$P$在$∠AOB$的平分线上，即$OP$平分$∠AOB$。
又∵ $Q$是$OP$上一点，$QE⊥OA$，$QF⊥OB$，
∴ $QE=QF$。

【分析】
要证明QE=QF，可利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此只需证明点Q在∠AOB的角平分线上即可。已知PC⊥OA，PD⊥OB且PC=PD，符合角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此可先推出OP是∠AOB的角平分线，再结合Q在OP上的条件，即可利用角平分线的性质得出结论。
【解析】
证明：
∵ $PC⊥OA$，$PD⊥OB$，$PC=PD$，
∴ 点$P$在$∠AOB$的平分线上，即$OP$平分$∠AOB$。
又
∵ $Q$是$OP$上一点，$QE⊥OA$，$QF⊥OB$，
∴ 根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$QE=QF$。
【答案】
证明：
∵ $PC⊥OA$，$PD⊥OB$，$PC=PD$，
∴ 点$P$在$∠AOB$的平分线上，即$OP$平分$∠AOB$。
又
∵ $Q$是$OP$上一点，$QE⊥OA$，$QF⊥OB$，
∴ $QE=QF$。
【知识点】
角平分线的判定定理，角平分线的性质定理
【点评】
本题是角平分线相关定理的基础应用题目，解题时需要先根据判定定理确定角平分线，再利用性质定理推导线段相等，熟练掌握两个定理的适用条件是解题的关键。
【难度系数】
0.8

4. [2026蚌埠期中]如图，已知$BE ⊥ AC$，$CF ⊥ AB$，垂足分别为$E$，$F$，$BE$，$CF$相交于点$D$，连接$AD$.若$BD = CD$.求证：$AD$平分$∠ BAC$.

证明：
∵ $BE⊥AC$，$CF⊥AB$，
∴ $∠BFD = ∠CED = 90°$。
在$△ BFD$和$△ CED$中，
$\{\begin{array}{l}∠BFD = ∠CED \\∠BDF = ∠CDE \\BD = CD\end{array} $
∴ $△ BFD ≌ △ CED$（AAS）。
∴ $DF = DE$。
又∵ $DF⊥AB$，$DE⊥AC$，
∴ 点$D$在$∠BAC$的平分线上，即$AD$平分$∠BAC$。

【分析】
要证明AD平分∠BAC，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到AB、AC两边的距离相等，即DF=DE。结合已知条件：BD=CD，BE⊥AC、CF⊥AB可得∠BFD=∠CED=90°，再加上对顶角∠BDF=∠CDE，可通过AAS证明△BFD和△CED全等，利用全等三角形对应边相等即可得到DF=DE，进而推出结论。
【解析】
证明：
∵ $BE⊥AC$，$CF⊥AB$，
∴ $∠BFD = ∠CED = 90°$。
在$△ BFD$和$△ CED$中，
$\{\begin{array}{l}∠BFD = ∠CED \\∠BDF = ∠CDE \\BD = CD\end{array} $
∴ $△ BFD ≌ △ CED$（AAS）。
∴ $DF = DE$。
又
∵ $DF⊥AB$，$DE⊥AC$，
∴ 点$D$在$∠BAC$的平分线上，即$AD$平分$∠BAC$。
【答案】
AD平分$∠BAC$，证明过程如上。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理
【点评】
本题属于基础证明题，解题核心是将证明角平分线的问题转化为证明点到角两边的距离相等，通过全等三角形得到对应边相等是解题的关键，需要熟练掌握全等三角形的判定方法和角平分线的判定定理。
【难度系数】
0.75

5. 立德树人·科学精神 在航空航天领域，卫星地面接收站的信号覆盖范围需要精准设计.某地面接收站的三个信号塔构成了$△ ABC$，工程师需要找到一个到$△ ABC$的三条边距离相等的中心点，这个点是$△ ABC$的 （）

A.三条中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条高所在直线的交点
D.以上均不对

5.B

【分析】
解题时先明确题干要求：找到到△ABC三条边距离相等的点，再逐一回忆三角形各特殊线段交点的性质，将题干要求和各交点的性质匹配即可得到正确答案。首先依次回忆中线交点、角平分线交点、高线交点的性质，排除不符合要求的选项即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 三角形三条中线的交点是重心，重心的性质是分每条中线的长度为2:1，不满足到三条边距离相等，故A错误；
B. 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此三角形三条角平分线的交点，到三角形的三条边距离都相等，符合题干要求，故B正确；
C. 三角形三条高所在直线的交点是垂心，仅满足高线与对应边垂直的性质，不满足到三边距离相等，故C错误；
D. 由上述分析可知B选项正确，故D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；三角形特殊线段交点的性质
【点评】
本题结合航空航天的实际场景考查基础概念，解题的关键是熟记三角形不同特殊线段交点的性质，能够根据题干要求快速匹配对应的点。
【难度系数】
0.8

6.如图①，O是△ABC内一点，且点O到三边AB，BC，CA的距离OF，OD，OE相等，若∠BAC=70°，则∠BOC=°。

6.125

【分析】
首先根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，结合点O到△ABC三边的距离相等，可推出O是△ABC三条角平分线的交点，即BO平分∠ABC，CO平分∠ACB。接下来利用三角形内角和为180°，先求出∠ABC与∠ACB的度数和，再求出∠OBC与∠OCB的度数和，最后代入三角形内角和公式即可算出∠BOC的度数。
【解析】
∵ 点O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，
∴ 根据角平分线的判定定理，得BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴ $∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB = \frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，$∠ BAC=70°$，
∴ $∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ BAC = 180° - 70° = 110°$，
∴ $∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}×110° = 55°$。
在△BOC中，
$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - 55° = 125°$。
【答案】
125
【知识点】
角平分线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题属于角平分线相关的基础计算题，解题的核心是先根据点到三边距离相等判断出点是三角形角平分线的交点，再结合三角形内角和定理逐步推导计算，是角平分线章节的典型常考题。
【难度系数】
0.75

【变式·转化思想】如图②，$△ ABC$ 的外角$∠ CBD$ 和$∠ BCE$ 的平分线相交于点 $F$，连接 $AF$.若$∠ BAC=56°$,则$∠ BAF=$$°$.

28

【分析】
要求∠BAF的度数，可先判断AF与∠BAC的关系。已知F是△ABC两个外角∠CBD、∠BCE的角平分线交点，我们可以利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，过F向∠BAC的两边及BC作垂线段，推导出F到∠BAC两边的距离相等，再根据角平分线的判定定理，得出AF是∠BAC的角平分线，即可求出∠BAF的度数。
【解析】
过点F作FG⊥AE于点G，FH⊥BC于点H，FI⊥AD于点I。
∵ CF平分∠BCE，FG⊥AE，FH⊥BC，
∴ FG = FH（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ BF平分∠CBD，FH⊥BC，FI⊥AD，
∴ FH = FI（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴ FG = FI，
又
∵ FG⊥AE，FI⊥AD，
∴ 点F在∠BAC的角平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），即AF平分∠BAC。
∴ ∠BAF = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×56° = 28°。
【答案】
28
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题考查角平分线的性质与判定的综合应用，解题的关键是通过作辅助线，将外角平分线的条件转化为点到角两边的距离相等，进而判断AF为∠BAC的平分线，解题过程体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7