1.菱形、矩形、正方形具有的共同性质是（）

A.邻边相等
B.对角相等
C.对角线互相垂直
D.对角线相等

1.B

【分析】
本题考查菱形、矩形、正方形的性质辨析，可通过两种思路解题：思路一：先明确菱形、矩形、正方形都属于特殊的平行四边形，因此平行四边形的通用性质就是三者的共同性质，再对照选项筛选即可；思路二：逐个分析每个选项，判断是否同时满足三个图形的性质，排除仅符合部分图形性质的选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 邻边相等：只有菱形和正方形满足，矩形邻边不一定相等，故A错误；
B. 对角相等：菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，平行四边形的对角相等，因此三者都满足该性质，故B正确；
C. 对角线互相垂直：只有菱形和正方形满足，矩形的对角线不互相垂直，故C错误；
D. 对角线相等：只有矩形和正方形满足，菱形的对角线不一定相等，故D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，解题的关键是熟练掌握各类特殊平行四边形的共性与独有特性，做题时可通过排除法快速锁定答案，注意不要混淆不同图形的特殊性质。
【难度系数】
0.85

2.如图,边长为3的正方形OBCD的两边与坐标轴正半轴重合,则点C的坐标是 ()

A.(3,-3)
B.(-3,3)
C.(3,3)
D.(-3,-3)

2.C

【分析】
解题时首先结合题干信息明确正方形各边的位置与长度：正方形OBCD边长为3，边OB落在x轴正半轴，OD落在y轴正半轴。再结合平面直角坐标系点坐标的定义：点的横坐标是该点到y轴的距离，纵坐标是该点到x轴的距离，同时第一象限内的点横、纵坐标均为正数，结合上述信息逐步推导即可得到点C的坐标。
【解析】
∵四边形OBCD是边长为3的正方形
∴OB=BC=3，且OB⊥BC，OB在x轴正半轴，BC沿y轴正方向延伸
点C位于第一象限，第一象限内点的横、纵坐标均为正数，点C到y轴的距离等于OB的长度3，到x轴的距离等于BC的长度3
∴点C的坐标为(3,3)
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质；平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，考查正方形性质与平面直角坐标系的结合应用，解题核心是明确不同象限内点的坐标符号特征，结合正方形边长即可快速求解。
【难度系数】
0.9

3.若一个正方形的对角线长为6 cm，则它的面积是（）

A.$18\ \mathrm{cm}^2$
B.$24\ \mathrm{cm}^2$
C.$36\ \mathrm{cm}^2$
D.$72\ \mathrm{cm}^2$

3.A

【分析】
要求正方形的面积，有两种常用解题思路：思路一，正方形是特殊的菱形，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，而正方形两条对角线长度相等，已知对角线长度可直接代入公式计算，步骤更简便；思路二，正方形的对角线和相邻两边构成等腰直角三角形，可设边长为a，借助勾股定理建立边长与对角线的关系，直接求出a²的值，也就是正方形的面积。
【解析】
方法一：
∵正方形属于特殊的菱形，菱形面积公式为$S=\frac{1}{2}d_1d_2$（$d_1、d_2$为菱形两条对角线的长度）
又
∵正方形两条对角线长度相等，均为6cm
∴正方形的面积$S=\frac{1}{2}×6×6=18\ \mathrm{cm}^2$
方法二：
设正方形的边长为$a\ \mathrm{cm}$
∵正方形的对角线与相邻两边构成等腰直角三角形，由勾股定理可得：
$a^2+a^2=6^2$
化简得$2a^2=36$，解得$a^2=18$
∵正方形面积为$a^2$，所以面积为$18\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质、勾股定理、特殊四边形面积计算
【点评】
本题是正方形性质的基础应用题，既可以通过勾股定理推导求解，也可以利用正方形作为特殊菱形的面积公式快速得出结果，做题时可灵活选择简便方法提升解题效率。
【难度系数】
0.9

4. NEW 传统文化·杜岭二号方鼎 如图1所示的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之宝之一，方鼎的口呈正方形(如图2)，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列说法不正确的是 ()

A.$AC⊥ BD$
B.$AD=AO$
C.$DO=CO$
D.$∠ DAO=∠ BAC$

4.B

【分析】
这道题考查正方形性质的应用，解题思路如下：首先回忆正方形的核心性质：四条边长度相等，对角线互相垂直、平分且长度相等，每条对角线平分一组对角，对角线长度是边长的√2倍；接下来结合图形，逐个核对四个选项的描述是否符合上述性质，找到描述错误的选项即可。
【解析】
根据正方形的性质逐一判断选项：
1. 对选项A：正方形的对角线互相垂直，因此$AC⊥BD$，该选项描述正确，不符合题意；
2. 对选项B：设正方形边长$AD=a$，由勾股定理可得对角线$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{2}a$，O是对角线交点，因此$AO=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{2}a}{2}\approx0.707a＜a$，即$AD≠AO$，该选项描述错误，符合题意；
3. 对选项C：正方形的对角线互相平分且相等，因此$DO=\frac{1}{2}BD$，$CO=\frac{1}{2}AC$，又$AC=BD$，故$DO=CO$，该选项描述正确，不符合题意；
4. 对选项D：正方形的对角线平分内角，$∠ DAB=90°$，AC平分$∠ DAB$，因此$∠ DAO=∠ BAC=45°$，该选项描述正确，不符合题意。
综上，说法不正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；勾股定理；角平分线的性质
【点评】
本题结合传统文化素材考查正方形的基础性质，属于基础题型，核心是熟练掌握正方形边、对角线、内角的相关特征，易错点是容易混淆正方形边长与对角线一半的长度关系。
【难度系数】
0.8

5.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点.若EF=2,则AC的长是.

5.4

【分析】
解题思路如下：首先观察图形，E、F分别是AB、AD的中点，可联想到三角形中位线定理，先求出正方形另一条对角线BD的长度，再根据正方形对角线相等的性质，即可得到AC的长度。也可以通过设正方形边长，利用等腰直角三角形的勾股定理计算边长，再推导对角线长度。
【解析】
解法1：连接BD。
∵E是AB的中点，F是AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
根据三角形中位线定理，得$EF=\frac{1}{2}BD$。
已知$EF=2$，代入得$BD=2EF=2×2=4$。
又
∵四边形ABCD是正方形，正方形的两条对角线相等，
∴$AC=BD=4$。
解法2：设正方形ABCD的边长为$a$，
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴$AE=AF=\frac{1}{2}a$，
∵∠BAD=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
由勾股定理得：$EF^2=AE^2+AF^2$，
代入$EF=2$，得$2^2=(\frac{1}{2}a)^2+(\frac{1}{2}a)^2$，
即$4=\frac{1}{2}a^2$，解得$a^2=8$。
正方形对角线AC的长度由勾股定理得：$AC=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=\sqrt{2×8}=4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形中位线定理，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对三角形中位线定理和正方形性质的理解与运用，解题时只要能准确找到线段之间的数量关系，就能快速得出结果，也可以通过勾股定理的方法验证答案，建议熟练掌握两种解题思路。
【难度系数】
0.8

6.(2024·常州)如图,在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于原点O.若点A的坐标是(2,1),则点C的坐标是.

6.(-2,-1)

【分析】
首先回忆正方形的对角线性质：正方形的对角线互相平分，由此可得原点O是线段AC的中点，即点A和点C关于原点O中心对称；再结合关于原点对称的点的坐标规律：横、纵坐标均互为相反数，已知点A的坐标，即可直接推出点C的坐标。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的对角线AC、BD相交于原点O，
根据正方形对角线互相平分的性质，可知O是AC的中点，
∴点A与点C关于原点O成中心对称。
∵关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数，点A的坐标为(2,1)，
∴点C的坐标为(-2,-1)。
【答案】
(-2,-1)
【知识点】
正方形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题解题的关键是结合正方形对角线的性质判断出A、C两点关于原点对称，再结合中心对称的坐标规律求解，熟悉相关性质即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9

7.（2024·兰州）如图，四边形ABCD为正方形，$△ ADE$为等边三角形，$EF ⊥ AB$于点F。若$AD=4$，则$EF=$。

7.2

【分析】
解题时先结合已知的正方形和等边三角形的性质，推导所求线段所在直角三角形的边长和角度关系即可求解。第一步，先由正方形性质得到边长AD=AB，且∠DAB为90°；第二步，由等边三角形性质得到AE=AD，且∠DAE为60°，进而算出∠EAF的度数；第三步，因为EF⊥AB，可得△AEF是含30°角的直角三角形，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质就能求出EF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AD=4，
∴AD=AB=4，∠DAB=90°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE=AD=4，∠DAE=60°，
∴∠EAF = ∠DAB - ∠DAE = 90° - 60° = 30°，
又
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=90°，即△AFE为直角三角形，
在Rt△AFE中，∠EAF=30°，斜边AE=4，
∴EF = $\frac{1}{2}$AE = $\frac{1}{2}$×4 = 2。
【答案】
2
【知识点】
正方形的性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是利用特殊图形的性质推导角度和边长关系，掌握常见特殊图形的基本性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7

8. A教材经典模型·对称模型(2025·浙江)【问题背景】如图所示,某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分),点E在对角线BD上.
【数学理解】
(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成,请写出△ABE≌△CBE的证明过程.
(2)若裁剪过程中满足DE=DA,求“机翼角”∠BAE的度数.

8.解:(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CB,∠ABD=∠CBD.又
∵BE=BE,
∴△ABE≌△CBE(SAS). (2)
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=90°,∠ADB=45°.
∵DE=DA,
∴∠DAE=∠DEA.
∵∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°,
∴∠DAE=∠DEA=67.5°.
∴∠BAE=∠BAD−∠DAE=22.5°.

【分析】
(1)要证明△ABE≌△CBE，可结合正方形的性质寻找全等条件：正方形的四条边相等，对角线BD平分∠ABC，可得AB=CB，∠ABE=∠CBE，再加上公共边BE，即可利用SAS判定两个三角形全等。
(2)求∠BAE的度数时，首先根据正方形性质得到∠BAD=90°、∠ADB=45°，再由DE=DA可知△ADE为等腰三角形，利用三角形内角和算出∠DAE的度数，最后用∠BAD减去∠DAE即可得到所求角度。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABD=∠CBD。
又
∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE(SAS)。
(2)解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，∠ADB=45°。
∵DE=DA，
∴∠DAE=∠DEA。
∵∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°，
∴∠DAE=∠DEA=(180°-45°)÷2=67.5°，
∴∠BAE=∠BAD−∠DAE=90°-67.5°=22.5°。
【答案】
(1)△ABE≌△CBE证明如上；(2)∠BAE的度数为22.5°
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质
【点评】本题围绕正方形的性质展开考察，融合了全等三角形判定、等腰三角形角度计算的知识点，解题时紧扣图形性质推导条件即可得出结果，属于几何基础应用类题目。
【难度系数】
0.8

9.已知正方形ABCD的边长为6，如果P是正方形内一点，且$PB=PD=2\sqrt{5}$，那么AP的长为.

9.$4\sqrt{2}或2\sqrt{2}$

【分析】首先根据PB=PD可知点P在BD的垂直平分线上，结合正方形对角线互相垂直平分的性质，可确定P在对角线AC上。设AC与BD交于点O，先求出正方形对角线、OB与AO的长度，再在Rt△POB中用勾股定理求出PO的长，最后分P靠近A和靠近C两种情况计算AP的长度即可。
【解析】
解：连接AC、BD，交于点O。
∵ 四边形ABCD是正方形，边长为6
∴ AC⊥BD，$AC=BD=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$，$AO=OC=BO=OD=3\sqrt{2}$
∵ $PB=PD$
∴ 点P在BD的垂直平分线上，即点P在AC上
在$Rt△ POB$中，$PB=2\sqrt{5}$，$BO=3\sqrt{2}$
由勾股定理得：$PO^2 + BO^2 = PB^2$
∴ $PO^2 = PB^2 - BO^2 = (2\sqrt{5})^2 - (3\sqrt{2})^2 = 20 - 18 = 2$
∴ $PO=\sqrt{2}$（长度为正）
分两种情况：
① 当点P在线段AO上时，$AP=AO - PO=3\sqrt{2} - \sqrt{2}=2\sqrt{2}$
② 当点P在线段OC上时，$AP=AO + PO=3\sqrt{2} + \sqrt{2}=4\sqrt{2}$
综上，AP的长为$4\sqrt{2}$或$2\sqrt{2}$。
【答案】$4\sqrt{2}或2\sqrt{2}$
【知识点】正方形的性质；勾股定理；垂直平分线的判定
【点评】解题关键是利用到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，判断出点P在正方形对角线AC上，结合勾股定理计算即可，注意要分两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.65