1. 如图,在$\triangle ABC$中,$CD为\triangle ABC$的高,$\angle B= \angle ACB$,$CE平分\angle ACD$.求$\angle BCE$的度数.

解:设$∠B=∠ACB=α$，
则$∠A=180^{\circ }-2α$。
$\because CD⊥AB$，
$\therefore ∠ACD=2α-90^{\circ },∠BCD=90^{\circ }-α$。
$\because CE$平分$∠ACD$，
$\therefore ∠DCE=α-45^{\circ }$，
$\therefore ∠BCE=(α-45^{\circ })+(90^{\circ }-α)=$
$45^{\circ }$。

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B= \angle C= 45^{\circ}$,点$D在BC$边上,点$E在AC$边上,且$\angle ADE= \angle AED$.试写出$\angle BAD与\angle CDE$的数量关系,并说明理由.

解:$∠CDE=\frac {1}{2}∠BAD$。理由如下:
设$∠BAD=x$，
$\because ∠ADC$是$△ABD$的外角，
$\therefore ∠ADC=∠B+∠BAD=45^{\circ }+x$。
$\because ∠AED$是$△CDE$的外角，
$\therefore ∠AED=∠C+∠CDE$。
$\because ∠B=∠C,∠ADE=∠AED$，
$\therefore ∠ADC-∠CDE=∠C+∠CDE$，
即$45^{\circ }+x-∠CDE=45^{\circ }+∠CDE$，
$\therefore ∠CDE=\frac {1}{2}x$，
即$∠CDE=\frac {1}{2}∠BAD$。

3. (教材变式)如图,在$\triangle ABC$中,$D为BC$上一点,$\angle DAC的平分线交BC于点E$,试探究$\angle ADB$,$\angle C与\angle AEB$之间的数量关系.

解:$\because AE$平分$∠DAC$，
$\therefore ∠DAE=∠CAE$。
设$∠DAE=∠CAE=x,∠C=y$，
则$∠AEB=∠CAE+∠C=x+y$，
$∠ADB=∠DAC+∠C=2x+y$，
$\therefore ∠ADB+∠C=2x+y+y$
$=2x+2y=2∠AEB$。

4. 如图,$AD$,$BC交于点O$,$E为CD$延长线上的点,$\angle BCD和\angle ADE的角平分线CP$,$DP交于点P$,试探究$\angle P与\angle A$,$\angle B$之间的数量关系.

解:设$∠PCD=x,∠EDP=y$。
$\because CP,DP$分别平分$∠BCD,∠ADE$，
$\therefore ∠BCD=2x,∠ADE=2y$。
$\because ∠P=∠PDE-∠PCD=y-x$，
$∠COD=∠ODE-∠BCD=2y-2x$，
$\therefore ∠AOB=∠COD=2∠P$。
$\because ∠AOB+∠A+∠B=180^{\circ }$，
$\therefore 2∠P+∠A+∠B=180^{\circ }$，
$\therefore ∠P=90^{\circ }-\frac {1}{2}(∠A+∠B)$。