7. 如图 15，依次连接一个边长为 1 的正方形各边的中点，得到第二个正方形，再依次连接第二个正方形各边的中点，得到第三个正方形，按此方法继续下去，则第六个正方形的面积是______.

$\frac{1}{32}$

8. 如图 16，等边三角形 $AEF$ 的顶点 $E$，$F$ 在矩形 $ABCD$ 的边 $BC$，$CD$ 上，且 $\angle CEF = 45^{\circ}$. 求证：矩形 $ABCD$ 是正方形.

【解析】：
- 因为四边形$ABCD$是矩形，所以$\angle B=\angle D=\angle C = 90^{\circ}$。
- 因为$\triangle AEF$是等边三角形，所以$AE = AF$，$\angle AEF=\angle AFE = 60^{\circ}$。
- 又因为$\angle CEF = 45^{\circ}$，所以$\angle CFE=\angle CEF = 45^{\circ}$。
- 那么$\angle AFD=\angle AEB = 180^{\circ}-45^{\circ}-60^{\circ}=75^{\circ}$。
- 在$\triangle ABE$和$\triangle ADF$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle B=\angle D\\\angle AEB=\angle AFD\\AE = AF\end{array}\right.$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABE\cong\triangle ADF$。
所以$AB = AD$。
- 因为四边形$ABCD$是矩形且$AB = AD$，根据正方形的判定定理（有一组邻边相等的矩形是正方形），所以矩形$ABCD$是正方形。
【答案】：矩形$ABCD$是正方形。