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解一元一次方程的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
1.解下列方程:
(1)$\frac{x-3}{5}-\frac{x-4}{3}=1;$
(2)$\frac{2x-3}{6}=1-\frac{x-1}{2};$
(3)$\frac{x+2}{4}-\frac{2x-1}{6}=1;$
(4)$2.4-\frac{x-4}{2}=\frac{3}{5}x.$
1.解下列方程:
(1)$\frac{x-3}{5}-\frac{x-4}{3}=1;$
(2)$\frac{2x-3}{6}=1-\frac{x-1}{2};$
(3)$\frac{x+2}{4}-\frac{2x-1}{6}=1;$
(4)$2.4-\frac{x-4}{2}=\frac{3}{5}x.$
答案
1. (1) x=-2 (2) x=$\frac{12}{5}$ (3) x=-4 (4) x=4
解析
【分析】
解带分母的一元一次方程，严格遵循解一元一次方程的一般步骤即可：1.先找所有分母的最小公倍数，方程两边同时乘这个最小公倍数去掉分母，注意不含分母的项也要乘，避免漏乘；2.按照去括号法则去掉括号，注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号；3.把含未知数的项移到方程左边，常数项移到右边，移项要变号；4.合并同类项将方程化为$ax=b$（$a≠0$）的形式；5.两边同时除以$a$，将系数化为1得到方程的解。
【解析】
(1) 解方程$\frac{x-3}{5}-\frac{x-4}{3}=1$
去分母，两边同乘15：$3(x-3)-5(x-4)=15$
去括号：$3x-9-5x+20=15$
移项：$3x-5x=15+9-20$
合并同类项：$-2x=4$
系数化为1：$x=-2$
(2) 解方程$\frac{2x-3}{6}=1-\frac{x-1}{2}$
去分母，两边同乘6：$2x-3=6 - 3(x-1)$
去括号：$2x-3=6-3x+3$
移项：$2x+3x=6+3+3$
合并同类项：$5x=12$
系数化为1：$x=\frac{12}{5}$
(3) 解方程$\frac{x+2}{4}-\frac{2x-1}{6}=1$
去分母，两边同乘12：$3(x+2)-2(2x-1)=12$
去括号：$3x+6-4x+2=12$
移项：$3x-4x=12-6-2$
合并同类项：$-x=4$
系数化为1：$x=-4$
(4) 解方程$2.4-\frac{x-4}{2}=\frac{3}{5}x$
去分母，两边同乘10消去小数和分母：$24 - 5(x-4)=6x$
去括号：$24-5x+20=6x$
移项：$-5x-6x=-24-20$
合并同类项：$-11x=-44$
系数化为1：$x=4$
【答案】
(1)$x=-2$；(2)$x=\frac{12}{5}$；(3)$x=-4$；(4)$x=4$
【知识点】
一元一次方程的解法；等式的性质；去括号法则
【点评】
本题是一元一次方程解法的常规训练题，解题过程中需注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项，去括号、移项时要注意符号的变化，熟练掌握解题步骤即可准确求解。
【难度系数】
0.8
解带分母的一元一次方程，严格遵循解一元一次方程的一般步骤即可：1.先找所有分母的最小公倍数，方程两边同时乘这个最小公倍数去掉分母，注意不含分母的项也要乘，避免漏乘；2.按照去括号法则去掉括号，注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号；3.把含未知数的项移到方程左边，常数项移到右边，移项要变号；4.合并同类项将方程化为$ax=b$（$a≠0$）的形式；5.两边同时除以$a$，将系数化为1得到方程的解。
【解析】
(1) 解方程$\frac{x-3}{5}-\frac{x-4}{3}=1$
去分母，两边同乘15：$3(x-3)-5(x-4)=15$
去括号：$3x-9-5x+20=15$
移项：$3x-5x=15+9-20$
合并同类项：$-2x=4$
系数化为1：$x=-2$
(2) 解方程$\frac{2x-3}{6}=1-\frac{x-1}{2}$
去分母，两边同乘6：$2x-3=6 - 3(x-1)$
去括号：$2x-3=6-3x+3$
移项：$2x+3x=6+3+3$
合并同类项：$5x=12$
系数化为1：$x=\frac{12}{5}$
(3) 解方程$\frac{x+2}{4}-\frac{2x-1}{6}=1$
去分母，两边同乘12：$3(x+2)-2(2x-1)=12$
去括号：$3x+6-4x+2=12$
移项：$3x-4x=12-6-2$
合并同类项：$-x=4$
系数化为1：$x=-4$
(4) 解方程$2.4-\frac{x-4}{2}=\frac{3}{5}x$
去分母，两边同乘10消去小数和分母：$24 - 5(x-4)=6x$
去括号：$24-5x+20=6x$
移项：$-5x-6x=-24-20$
合并同类项：$-11x=-44$
系数化为1：$x=4$
【答案】
(1)$x=-2$；(2)$x=\frac{12}{5}$；(3)$x=-4$；(4)$x=4$
【知识点】
一元一次方程的解法；等式的性质；去括号法则
【点评】
本题是一元一次方程解法的常规训练题，解题过程中需注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项，去括号、移项时要注意符号的变化，熟练掌握解题步骤即可准确求解。
【难度系数】
0.8
2.解方程:$3(x+2)-2(x+2)=2x+4.$
答案
2. x=-2
解析
【分析】
本题是一元一次方程求解问题，解题时可先观察方程结构特点：左边两项都含有因式$(x+2)$，可先合并同类项简化计算，也可按照常规去括号的步骤求解；之后通过移项将含未知数的项和常数项分别移到等号两侧，合并同类项后将未知数系数化为1即可得到解，注意移项时要变号。
【解析】
方法一：先合并同类项简化计算
1. 合并左边同类项：
$3(x+2)-2(x+2)=(3-2)(x+2)=x+2$
原方程可化为：$x+2=2x+4$
2. 移项：将含$x$的项移到等号左边，常数项移到等号右边，移项需变号
$x-2x=4-2$
3. 合并同类项：
$-x=2$
4. 系数化为1，两边同时除以$-1$：
$x=-2$
方法二：常规去括号法
1. 去括号：
$3x+6-2x-4=2x+4$
2. 合并等号左侧同类项：
$x+2=2x+4$
后续步骤同方法一，最终解得$x=-2$
【答案】
$x=-2$
【知识点】
一元一次方程的解法，合并同类项，移项
【点评】
本题属于一元一次方程的基础计算题，解题时可先观察方程结构选择更简便的计算方法，需注意移项时符号要改变，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.8
本题是一元一次方程求解问题，解题时可先观察方程结构特点：左边两项都含有因式$(x+2)$，可先合并同类项简化计算，也可按照常规去括号的步骤求解；之后通过移项将含未知数的项和常数项分别移到等号两侧，合并同类项后将未知数系数化为1即可得到解，注意移项时要变号。
【解析】
方法一：先合并同类项简化计算
1. 合并左边同类项：
$3(x+2)-2(x+2)=(3-2)(x+2)=x+2$
原方程可化为：$x+2=2x+4$
2. 移项：将含$x$的项移到等号左边，常数项移到等号右边，移项需变号
$x-2x=4-2$
3. 合并同类项：
$-x=2$
4. 系数化为1，两边同时除以$-1$：
$x=-2$
方法二：常规去括号法
1. 去括号：
$3x+6-2x-4=2x+4$
2. 合并等号左侧同类项：
$x+2=2x+4$
后续步骤同方法一，最终解得$x=-2$
【答案】
$x=-2$
【知识点】
一元一次方程的解法，合并同类项，移项
【点评】
本题属于一元一次方程的基础计算题，解题时可先观察方程结构选择更简便的计算方法，需注意移项时符号要改变，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.8
3.解方程:$2(x+1)-3(x-1)=2(x-1)+\frac{1}{2}(x+1)$
答案
x=$\frac{13}{7}$
解析
【分析】
观察方程可知式子中既含有括号，又含有分数，我们可以先通过去分母消去分数，简化运算；也可以将$(x+1)$和$(x-1)$看作整体先移项合并，再展开计算。常规解题步骤为：先去分母，再去括号，随后移项、合并同类项，最后将系数化为1即可求出x的值，计算过程中注意移项要变号，去括号时不要漏乘项且注意符号变化。
【解析】
解：第一步，去分母，方程两边同时乘以2，得：
$4(x+1)-6(x-1)=4(x-1)+(x+1)$
第二步，移项，将含$(x+1)$的项移到方程左边，含$(x-1)$的项移到方程右边，得：
$4(x+1)-(x+1)=4(x-1)+6(x-1)$
第三步，合并同类项，得：
$3(x+1)=10(x-1)$
第四步，去括号，得：
$3x+3=10x-10$
第五步，移项，得：
$3x-10x=-10-3$
第六步，合并同类项，得：
$-7x=-13$
第七步，系数化为1，两边同时除以$-7$，得：
$x=\frac{13}{7}$
【答案】
$x=\frac{13}{7}$
【知识点】
一元一次方程的解法；去括号法则；移项法则
【点评】
本题是一元一次方程解法的基础训练题，解题时可灵活选择运算顺序，既可以按常规步骤先去分母再计算，也可以将相同的括号整体先合并简化计算，运算过程中要注意符号变化，避免出现移项不变号、去括号漏乘的错误。
【难度系数】
0.7
观察方程可知式子中既含有括号，又含有分数，我们可以先通过去分母消去分数，简化运算；也可以将$(x+1)$和$(x-1)$看作整体先移项合并，再展开计算。常规解题步骤为：先去分母，再去括号，随后移项、合并同类项，最后将系数化为1即可求出x的值，计算过程中注意移项要变号，去括号时不要漏乘项且注意符号变化。
【解析】
解：第一步，去分母，方程两边同时乘以2，得：
$4(x+1)-6(x-1)=4(x-1)+(x+1)$
第二步，移项，将含$(x+1)$的项移到方程左边，含$(x-1)$的项移到方程右边，得：
$4(x+1)-(x+1)=4(x-1)+6(x-1)$
第三步，合并同类项，得：
$3(x+1)=10(x-1)$
第四步，去括号，得：
$3x+3=10x-10$
第五步，移项，得：
$3x-10x=-10-3$
第六步，合并同类项，得：
$-7x=-13$
第七步，系数化为1，两边同时除以$-7$，得：
$x=\frac{13}{7}$
【答案】
$x=\frac{13}{7}$
【知识点】
一元一次方程的解法；去括号法则；移项法则
【点评】
本题是一元一次方程解法的基础训练题，解题时可灵活选择运算顺序，既可以按常规步骤先去分母再计算，也可以将相同的括号整体先合并简化计算，运算过程中要注意符号变化，避免出现移项不变号、去括号漏乘的错误。
【难度系数】
0.7
4.解方程：$2[\dfrac{4}{3}x - (\dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{2})] = \dfrac{3}{4}x.$
答案
x=$-\frac{12}{7}$
解析
【分析】
这是一道带多层括号的一元一次方程求解问题，解题时遵循一元一次方程的常规求解顺序：先去括号，再合并同类项，之后移项，最后系数化为1得到解。去括号时要注意：括号前是负号时，去括号后括号内各项要变号；括号外的系数要乘遍括号内的每一项，避免漏乘。我们可以先去小括号，再合并中括号内的同类项，简化计算。
【解析】
解：
第一步，去小括号：
$2[\dfrac{4}{3}x - \dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{2}] = \dfrac{3}{4}x$
第二步，合并中括号内的同类项：
$2[\dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{2}] = \dfrac{3}{4}x$
第三步，去中括号：
$2×\dfrac{2}{3}x + 2×\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4}x$
化简得：$\dfrac{4}{3}x + 1 = \dfrac{3}{4}x$
第四步，移项：将含x的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，移项要变号
$\dfrac{4}{3}x - \dfrac{3}{4}x = -1$
第五步，合并同类项，通分计算：
$\dfrac{16}{12}x - \dfrac{9}{12}x = -1$
$\dfrac{7}{12}x = -1$
第六步，系数化为1，两边同时乘$\dfrac{12}{7}$：
$x = -1×\dfrac{12}{7} = -\dfrac{12}{7}$
【答案】
$x=-\dfrac{12}{7}$
【知识点】
一元一次方程的解法，去括号法则，移项与合并同类项
【点评】
本题重点考察带括号一元一次方程的求解能力，易错点为去括号时符号处理错误、移项忘记变号以及通分计算失误，熟练掌握解方程的基本步骤，仔细计算即可正确求解。
【难度系数】
0.6
这是一道带多层括号的一元一次方程求解问题，解题时遵循一元一次方程的常规求解顺序：先去括号，再合并同类项，之后移项，最后系数化为1得到解。去括号时要注意：括号前是负号时，去括号后括号内各项要变号；括号外的系数要乘遍括号内的每一项，避免漏乘。我们可以先去小括号，再合并中括号内的同类项，简化计算。
【解析】
解：
第一步，去小括号：
$2[\dfrac{4}{3}x - \dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{2}] = \dfrac{3}{4}x$
第二步，合并中括号内的同类项：
$2[\dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{2}] = \dfrac{3}{4}x$
第三步，去中括号：
$2×\dfrac{2}{3}x + 2×\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4}x$
化简得：$\dfrac{4}{3}x + 1 = \dfrac{3}{4}x$
第四步，移项：将含x的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，移项要变号
$\dfrac{4}{3}x - \dfrac{3}{4}x = -1$
第五步，合并同类项，通分计算：
$\dfrac{16}{12}x - \dfrac{9}{12}x = -1$
$\dfrac{7}{12}x = -1$
第六步，系数化为1，两边同时乘$\dfrac{12}{7}$：
$x = -1×\dfrac{12}{7} = -\dfrac{12}{7}$
【答案】
$x=-\dfrac{12}{7}$
【知识点】
一元一次方程的解法，去括号法则，移项与合并同类项
【点评】
本题重点考察带括号一元一次方程的求解能力，易错点为去括号时符号处理错误、移项忘记变号以及通分计算失误，熟练掌握解方程的基本步骤，仔细计算即可正确求解。
【难度系数】
0.6
5. 解方程：$\frac{1}{2}\{ \frac{1}{2}[ \frac{1}{2}( \frac{1}{2}x -1 )-1 ]-1 \}-1=-1$
答案
5. x=14
解析
【分析】
观察方程可知，方程含有多层分数括号，若直接从内向外去括号，计算步骤繁琐容易出错。我们可以采用从外向内逐层去分母的思路求解：先通过移项化简等号右侧，再每一步将方程两边同时乘2，消去当前最外层的分数系数，同时结合移项化简，逐步去掉所有括号后即可求出x的值，能大幅降低计算量。
【解析】
解：原方程移项，得
$\frac{1}{2}\{ \frac{1}{2}[ \frac{1}{2}( \frac{1}{2}x -1 )-1 ]-1 \} = -1 + 1$
即 $\frac{1}{2}\{ \frac{1}{2}[ \frac{1}{2}( \frac{1}{2}x -1 )-1 ]-1 \} = 0$
两边同时乘2，得
$\frac{1}{2}[ \frac{1}{2}( \frac{1}{2}x -1 )-1 ]-1 = 0$
移项，得
$\frac{1}{2}[ \frac{1}{2}( \frac{1}{2}x -1 )-1 ] = 1$
两边同时乘2，得
$\frac{1}{2}( \frac{1}{2}x -1 )-1 = 2$
移项，得
$\frac{1}{2}( \frac{1}{2}x -1 ) = 3$
两边同时乘2，得
$\frac{1}{2}x -1 = 6$
移项、合并同类项，得
$\frac{1}{2}x = 7$
两边同时乘2，得
$x = 14$
【答案】
x=14
【知识点】
一元一次方程的解法；去分母；移项
【点评】
本题是含多层括号的一元一次方程求解类题目，选择合适的去括号/去分母顺序可有效简化计算，解题时需注意移项要变号，去分母时不要漏乘方程中的常数项。
【难度系数】
0.7
观察方程可知，方程含有多层分数括号，若直接从内向外去括号，计算步骤繁琐容易出错。我们可以采用从外向内逐层去分母的思路求解：先通过移项化简等号右侧，再每一步将方程两边同时乘2，消去当前最外层的分数系数，同时结合移项化简，逐步去掉所有括号后即可求出x的值，能大幅降低计算量。
【解析】
解：原方程移项，得
$\frac{1}{2}\{ \frac{1}{2}[ \frac{1}{2}( \frac{1}{2}x -1 )-1 ]-1 \} = -1 + 1$
即 $\frac{1}{2}\{ \frac{1}{2}[ \frac{1}{2}( \frac{1}{2}x -1 )-1 ]-1 \} = 0$
两边同时乘2，得
$\frac{1}{2}[ \frac{1}{2}( \frac{1}{2}x -1 )-1 ]-1 = 0$
移项，得
$\frac{1}{2}[ \frac{1}{2}( \frac{1}{2}x -1 )-1 ] = 1$
两边同时乘2，得
$\frac{1}{2}( \frac{1}{2}x -1 )-1 = 2$
移项，得
$\frac{1}{2}( \frac{1}{2}x -1 ) = 3$
两边同时乘2，得
$\frac{1}{2}x -1 = 6$
移项、合并同类项，得
$\frac{1}{2}x = 7$
两边同时乘2，得
$x = 14$
【答案】
x=14
【知识点】
一元一次方程的解法；去分母；移项
【点评】
本题是含多层括号的一元一次方程求解类题目，选择合适的去括号/去分母顺序可有效简化计算，解题时需注意移项要变号，去分母时不要漏乘方程中的常数项。
【难度系数】
0.7
