9. 如图，在△ABC与△ACD中，AD=AC=DC=2√3，∠BAC：∠B：∠ACB=1：2：3，则△ABC的外心与△ACD的内心之间的距离为().

A.2
B.$\sqrt{3}+1$
C.$2\sqrt{3}$
D.3

9. A 解析 如图,过点D作$DG⊥ AC$于点G,并延长交AB于点F,在$△ ACD$中,$AD=AC=DC=2\sqrt{3}$,
∴$△ ACD$是等边三角形,G为AC中点.
过点A作AE平分$∠ DAC$交DG于点E,则点E为$△ ACD$的内心,$∠ EAC=30°$.
∵在$△ ABC$中,$∠ BAC:∠ B:∠ ACB=1:2:3$,
∴$∠ BAC=30°,∠ B=60°,∠ ACB=90°$,
∴$BC// EF,∠ EAF=∠ EAC+∠ BAC=60°$,
∴$∠ AFE=∠ B=60°$,
∴$△ AEF$是等边三角形.
∵$AG=CG$,
∴F为AB中点,即点F为$△ ABC$的外心.
∵$AC=2\sqrt{3}$,
∴在$Rt△ ABC$中,$BC^2+AC^2=4BC^2$,
∴$BC=2,AB=4$.
∴$EF=AF=2$.
则$△ ABC$的外心与$△ ACD$的内心之间的距离为2.故选A.

10. 如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$AB$为$\odot O$的直径，$I$为$△ ABC$的内心，连接$OI$，$AI$，$BI$。若$OI ⊥ BI$，$OI = 1$，则$AB$的长为。

10. $2\sqrt{5}$ 解析 如图,延长BI交$\odot O$于点M,连接MA.
在$△ ABM$中,斜边AB经过圆心O,$\therefore ∠ AMB=90°$.
$\because BI⊥ OI,AO=OB$,
∴OI为$△ AMB$的中位线,
$\therefore AM=2OI=2$.
在$△ ABC$中,I为三个角平分线的交点,
$\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ CAB+∠ CBA=90°$,
$\therefore ∠ IAB+∠ IBA=45°$,即$∠ MIA=45°$,
∴$Rt△ MAI$为等腰直角三角形,
$\therefore MA=MI=IB=2$.
根据勾股定理,可得$AB^2=MA^2+MB^2=2^2+4^2=20$,即$AB=2\sqrt{5}$.

11.如图,点I是△ABC的内心,AI的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D.
(1)求证:DB=DI;
(2)如果OI⊥AD,IM⊥AB于M,求证:BC=2AM.

11. 证明 (1)如图,连接BI.
∵点I是$△ ABC$的内心,
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$,$∠ ABI=∠ CBI$,
$\therefore ∠ BAD+∠ ABI=∠ CAD+∠ CBI$.
$\because ∠ CAD=∠ CBD$,
$\therefore ∠ BAD+∠ ABI=∠ CBD+∠ CBI$.
$\because ∠ BID=∠ BAD+∠ ABI$,$∠ IBD=∠ CBD+∠ CBI$,
$\therefore ∠ BID=∠ IBD,\therefore DB=DI$.
(2)如图,连接OD,交BC于点E.
$\because ∠ BAD=∠ CAD$,
$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD},\therefore OD⊥ BC,BE=CE$.
$\because OI⊥ AD,IM⊥ AB$,
$\therefore ∠ BED=∠ AMI=90°,IA=DI$.
$\because DB=DI,\therefore DB=IA$.
$\because ∠ DBE=∠ DAC,∠ IAM=∠ DAC$,
$\therefore ∠ DBE=∠ IAM$.
在$△ DBE$和$△ IAM$中,
$\begin{cases}∠ BED=∠ AMI,\\∠ DBE=∠ IAM,\\DB=IA,\end{cases}$
$\therefore △ DBE≌△ IAM(\mathrm{AAS})$,
$\therefore BE=AM,\therefore 2BE=2AM$.
$\because BC=2BE,\therefore BC=2AM$.

12. 如图，AB是△ABC外接圆⊙O的直径，PA是⊙O的切线，BD//OP，点D在⊙O上.
(1)求证:PD是⊙O的切线.
(2)若△ABC的边AC=6 cm，BC=8 cm，I是△ABC的内心，求IO的长度.

12. (1)证明 如图,连接OD,AD.
∵AB为$\odot O$的直径,$\therefore ∠ ADB=90°$.
$\because BD// OP$,
$\therefore OP⊥ AD$,OP是AD的垂直平分线,
$\therefore PD=PA$.
$\because OP=OP,OD=OA$,
$\therefore △ ODP≌△ OAP(\mathrm{SSS})$,
$\therefore ∠ OAP=∠ ODP$.
∵PA是$\odot O$的切线,$\therefore ∠ OAP=90°$,
$\therefore ∠ ODP=90°$,$\therefore PD$是$\odot O$的切线.
(2)解 过点I分别作$IU⊥ AB$于点U,$IQ⊥ AC$于点Q,$IV⊥ BC$于点V,则$IU=IQ=IV$.
∵AB为$\odot O$的直径,$\therefore ∠ ACB=90°$.
$\because AC=6\ \mathrm{cm},BC=8\ \mathrm{cm}$,
$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10(\mathrm{cm})$,
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×(6+8+10)× IU=\frac{1}{2}×6×8$,
$\therefore IU=2,\therefore IV=IQ=IU=2\ \mathrm{cm}$.
易知四边形IVCQ为正方形,
$\therefore CQ=2\ \mathrm{cm},AQ=AC-CQ=6-2=4(\mathrm{cm})$.
易知$AU=AQ=4\ \mathrm{cm}$.
$\because OB=OA=\frac{1}{2}AB=5\ \mathrm{cm}$,
$\therefore OU=OA-AU=5-4=1(\mathrm{cm})$,
$\therefore IO=\sqrt{OU^2+IU^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}(\mathrm{cm})$.