典例1 计算:
(1)$\frac{1}{a}+\frac{2}{a}$；
(2)$\frac{x^2}{x-2}+\frac{4}{2-x}$；
(3)$\frac{x+2}{x+1}-\frac{x-1}{x+1}+\frac{x-3}{x+1}$。
规律方法 (1)同分母分式相加减,分母不变,分子相加减,若分子是多项式,则先添加括号再加减;(2)分母互为相反数时,提出负号后,转化为同分母分式再进行加减;(3)约分,把结果化为最简分式或整式.

(1) $\frac{1}{a}+\frac{2}{a}=\frac{1+2}{a}=\frac{3}{a}.$
(2) $\frac{x^2}{x-2}+\frac{4}{2-x}=\frac{x^2}{x-2}-\frac{4}{x-2}$
$=\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=x+2.$
(3) $\frac{x+2}{x+1}-\frac{x-1}{x+1}+\frac{x-3}{x+1}$
$=\frac{(x+2)-(x-1)+(x-3)}{x+1}$
$=\frac{x+2 -x +1 +x -3}{x+1}$
$=\frac{x}{x+1}.$

【分析】
这三道题为分式加减的基础运算题，解题思路可按以下步骤梳理：
1. 先观察分式的分母是否相同：若分母互为相反数，可通过提取负号转化为同分母分式；若分母相同，直接运用同分母分式加减法则运算。
2. 分子相加减时，若分子是多项式，要先给分子添加括号再运算，避免符号错误。
3. 运算后若分子分母有公因式，需约分得到最简分式或整式。
具体到每道题：第(1)题是同分母分式加法，直接分母不变分子相加即可；第(2)题先将$\frac{4}{2-x}$变形为$-\frac{4}{x-2}$，转化为同分母运算后，对分子因式分解约分；第(3)题为同分母分式加减混合，给各多项式分子加括号后运算，再合并同类项化简。
【解析】
(1) $\frac{1}{a}+\frac{2}{a}=\frac{1+2}{a}=\frac{3}{a}$
(2) $\frac{x^2}{x-2}+\frac{4}{2-x}=\frac{x^2}{x-2}-\frac{4}{x-2}$
$=\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=x+2$
(3) $\frac{x+2}{x+1}-\frac{x-1}{x+1}+\frac{x-3}{x+1}$
$=\frac{(x+2)-(x-1)+(x-3)}{x+1}$
$=\frac{x+2 -x +1 +x -3}{x+1}$
$=\frac{x}{x+1}$
【答案】
(1) $\frac{3}{a}$；(2) $x+2$；(3) $\frac{x}{x+1}$
【知识点】
同分母分式加减法，分式约分，因式分解
【点评】
本题重点考查分式加减的基础运算规则，易错点为分母互为相反数时的符号处理、多项式分子参与运算时的去括号符号问题，熟练掌握本题的运算方法是后续学习复杂分式运算的核心基础。
【难度系数】
0.7

举一反三 计算：
(1) $\frac{2x+7}{3x+1} - \frac{x+3}{3x+1}$；
(2) $\frac{3c}{c-d} - \frac{3d+c}{d-c}$。

(1) 原式$=\frac{2x+7-x-3}{3x+1}=\frac{x+4}{3x+1}.$
(2) 原式$=\frac{3c+3d+c}{c-d}=\frac{4c+3d}{c-d}.$

【分析】
这两道题属于分式加减法运算，解题思路如下：
(1) 第一题两个分式分母相同，属于同分母分式减法，按照同分母分式减法法则：分母不变，分子相减即可。注意减去的分子是多项式，相减时要给分子加括号，去括号时注意变号，最后合并同类项得到结果。
(2) 第二题两个分式的分母$c-d$和$d-c$互为相反数，先利用分式的符号法则将第二个分式的分母转化为$c-d$，把原式变形为同分母分式的加法，再按照同分母分式加法法则计算，最后合并同类项即可。
【解析】
(1) 按照同分母分式减法法则计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(2x+7)-(x+3)}{3x+1} \\&=\frac{2x+7-x-3}{3x+1} \\&=\frac{x+4}{3x+1}\end{aligned}$
(2) 先统一分母，再按照同分母分式加法法则计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{3c}{c-d} - \frac{3d+c}{-(c-d)} \\&=\frac{3c}{c-d} + \frac{3d+c}{c-d} \\&=\frac{3c + 3d + c}{c-d} \\&=\frac{4c + 3d}{c-d}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{x+4}{3x+1}$；(2) $\frac{4c+3d}{c-d}$
【知识点】
1. 同分母分式加减法 2. 分式符号变形 3. 整式加减运算
【点评】
本题是分式加减的基础题型，重点考查同分母分式的运算规则，以及互为相反数的分母的转化技巧，计算时需注意去括号的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8

典例2 计算：
(1)$\frac{a+b}{ab} - \frac{b+c}{bc}$；
(2)$\frac{x+1}{x-1} - \frac{4x}{x^2 -1}$；
(3)$\frac{xy}{x^2 - y^2} + \frac{x}{2($$+y)} - \frac{y}{2(y - x)}$；
规律方法 异分母分式相加减的步骤：

第1步，通分→将异分母分式转化成同分母分式
第2步，加减→分母不变，分子相加减
第3步，合并→分子去括号，合并同类项
第4步，约分→分子、分母约分，把结果化为最简分式或整式
举一反三 计算：
(1)$\frac{2a}{a^2 -4} + \frac{1}{2 -a}$；

(1) $\frac{a+b}{ab}-\frac{b+c}{bc}=\frac{(a+b)c}{abc}-\frac{(b+c)a}{abc}=\frac{ac+bc -ab -ac}{abc}=\frac{bc -ab}{abc}=\frac{b(c-a)}{abc}=\frac{c-a}{ac}.$
(2) $\frac{x+1}{x-1}-\frac{4x}{x^2 -1}=\frac{(x+1)(x+1)-4x}{(x+1)(x-1)}=\frac{x^2 -2x +1}{(x+1)(x-1)}=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}=\frac{x-1}{x+1}.$
(3) $\frac{xy}{x^2 -y^2}+\frac{x}{2(x+y)}-\frac{y}{2(y-x)}$
$=\frac{xy}{(x+y)(x-y)}+\frac{x}{2(x+y)}+\frac{y}{2(x-y)}$
$=\frac{2xy +x(x-y)+y(x+y)}{2(x+y)(x-y)}$
$=\frac{2xy +x^2 +y^2}{2(x+y)(x-y)}$
$=\frac{(x+y)^2}{2(x+y)(x-y)}$
$=\frac{x+y}{2x -2y}.$
(4) $\frac{2a}{a^2-4}+\frac{1}{2-a}$
$=\frac{2a}{(a+2)(a-2)}-\frac{1}{a-2}$
$=\frac{2a}{(a+2)(a-2)}-\frac{a+2}{(a+2)(a-2)}$
$=\frac{2a-a-2}{(a+2)(a-2)}$
$=\frac{a-2}{(a+2)(a-2)}=\frac{1}{a+2}.$
(5) $\frac{m}{m-n}-\frac{n}{m+n}+\frac{2mn}{m^2-n^2}$
$=\frac{m(m+n)}{(m+n)(m-n)}-\frac{n(m-n)}{(m+n)(m-n)}+\frac{2mn}{(m+n)(m-n)}$
$=\frac{m^2+mn-mn+n^2+2mn}{(m+n)(m-n)}$
$=\frac{(m+n)^2}{(m+n)(m-n)}$
$=\frac{m+n}{m-n}.$

【分析】
这几道题均考查异分母分式的加减运算，解题思路严格遵循异分母分式加减的通用步骤：第一步先对各分母因式分解，找到最简公分母，遇到互为相反数的分母可以先提取负号统一形式，降低通分难度；第二步利用分式的基本性质通分，将异分母分式转化为同分母分式；第三步按照同分母分式加减法则，分母不变，分子相加减，分子去括号时注意符号变化；第四步分子合并同类项后进行因式分解，和分母约去公因式，最终结果化为最简分式或整式。
【解析】
(1) 两个分式的最简公分母为$abc$，通分后计算化简：
$\frac{a+b}{ab}-\frac{b+c}{bc}=\frac{(a+b)c}{abc}-\frac{(b+c)a}{abc}=\frac{ac+bc -ab -ac}{abc}=\frac{bc -ab}{abc}=\frac{b(c-a)}{abc}=\frac{c-a}{ac}$
(2) 先分解$x^2-1=(x+1)(x-1)$，最简公分母为$(x+1)(x-1)$，通分后计算化简：
$\frac{x+1}{x-1}-\frac{4x}{x^2 -1}=\frac{(x+1)(x+1)-4x}{(x+1)(x-1)}=\frac{x^2 -2x +1}{(x+1)(x-1)}=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}=\frac{x-1}{x+1}$
(3) 先分解$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，将$y-x$变形为$-(x-y)$，最简公分母为$2(x+y)(x-y)$，通分后计算化简：
$\frac{xy}{x^2 - y^2}+\frac{x}{2(x+y)}-\frac{y}{2(y-x)}$
$=\frac{xy}{(x+y)(x-y)}+\frac{x}{2(x+y)}+\frac{y}{2(x-y)}$
$=\frac{2xy +x(x-y)+y(x+y)}{2(x+y)(x-y)}$
$=\frac{2xy +x^2 +y^2}{2(x+y)(x-y)}$
$=\frac{(x+y)^2}{2(x+y)(x-y)}$
$=\frac{x+y}{2x -2y}$
(4) 先分解$a^2-4=(a+2)(a-2)$，将$2-a$变形为$-(a-2)$，最简公分母为$(a+2)(a-2)$，通分后计算化简：
$\frac{2a}{a^2-4}+\frac{1}{2-a}$
$=\frac{2a}{(a+2)(a-2)}-\frac{1}{a-2}$
$=\frac{2a}{(a+2)(a-2)}-\frac{a+2}{(a+2)(a-2)}$
$=\frac{2a-a-2}{(a+2)(a-2)}$
$=\frac{a-2}{(a+2)(a-2)}=\frac{1}{a+2}$
【答案】
(1) $\frac{c-a}{ac}$；(2) $\frac{x-1}{x+1}$；(3) $\frac{x+y}{2x-2y}$；(4) $\frac{1}{a+2}$
【知识点】
异分母分式加减法，分式约分，因式分解
【点评】
本题是异分母分式加减的基础常规题型，解题核心是正确确定最简公分母，尤其要注意互为相反数的分母的符号转换，计算过程中需注意分子去括号时的符号变化，最终结果必须化为最简形式，掌握这类题型能为后续分式混合运算筑牢基础。
【难度系数】
0.7