【例 3】 计算:$\frac{a^{3}}{a-1}-a^{2}-a$。
解:$\frac{a^{3}}{a-1}-a^{2}-a=\frac{a^{3}}{a-1}-(a^{2}+a)=\frac{a^{3}}{a-1}-\frac{(a^{2}+a)(a-1)}{a-1}=\frac{a^{3}}{a-1}-\frac{a^{3}-a}{a-1}=$$\frac{a}{a-1}$。
【评析】 (1)对于分式和整式相加减,可将整式进行整理后,看成分母是1的式子,然后再通分进行加减运算。(2)当化成同分母后,进行分子的加减时,注意符号问题,如本题中的$a^{3}-(a^{3}-a)$,不要写成$a^{3}-a^{3}-a$。

解：
$\frac{a^{3}}{a-1}-a^{2}-a$
$=\frac{a^{3}}{a-1}-(a^{2}+a)$
$=\frac{a^{3}}{a-1}-\frac{(a^{2}+a)(a-1)}{a-1}$
$=\frac{a^{3}}{a-1}-\frac{a^{3}-a}{a-1}$
$=\frac{a^{3}-(a^{3}-a)}{a-1}$
$=\frac{a^{3}-a^{3}+a}{a-1}$
$=\frac{a}{a-1}$

【例 4】 计算:$\frac{2x^{2}-18}{4-4x+x^{2}}÷[(x+3)·\frac{3-x}{(x-2)(x+3)}]$。
解:原式$=\frac{2(x+3)(x-3)}{(x-2)^{2}}÷\frac{-(x-3)}{x-2}=\frac{2(x+3)(x-3)}{(x-2)^{2}}·\frac{x-2}{-(x-3)}=$$-\frac{2x+6}{x-2}$。
【评析】 (1)在混合运算中要先做高级运算,再做低级运算,有括号先算括号里的运算,同级运算按从左到右的顺序计算。(2)在进行运算时,能约分的要先约分,以简化运算;约分时,要注意符号问题,如本题中的$(x-3)$与$(3-x)$约分的结果是-1,而不是1。(3)当分子、分母中有多项式时,能因式分解的要先因式分解。(4)计算结果要化简到最简分式或整式。

解：原式$=\frac{2(x+3)(x-3)}{(x-2)^{2}}÷[(x+3)·\frac{3-x}{(x-2)(x+3)}]$
$=\frac{2(x+3)(x-3)}{(x-2)^{2}}÷\frac{-(x-3)}{x-2}$
$=\frac{2(x+3)(x-3)}{(x-2)^{2}}·\frac{x-2}{-(x-3)}$
$=-\frac{2x+6}{x-2}$

【例 5】 当 m 为何值时,方程$\frac{2}{x-2}+\frac{mx}{x^{2}-4}=0$会产生增根？
解:原方程去分母,得$2(x+2)+mx=0$。 ①
因为方程会产生增根,所以$x=2$或$x=-2$。
分别代入方程①中,得$m=-4$或$m=0$。
但当$m=0$时,原方程为$\frac{2}{x-2}=0$,方程无解,不会产生增根,所以$m=-4$。
【评析】 所有能使任何一个分母为零的值都可能是方程的增根,“已知增根,求未知数”的一般解题步骤:先去分母,再将所有可能的增根代入化简后的整式方程,求出未知数的值,最后检验,舍去不可能的未知数的值。

解：
原方程去分母，两边同乘$(x+2)(x-2)$，得
$2(x+2)+mx=0$
因为方程会产生增根，所以$x=2$或$x=-2$。
将$x=2$代入$2(x+2)+mx=0$，得
$2×(2+2)+2m=0$
解得$m=-4$
将$x=-2$代入$2(x+2)+mx=0$，得
$2×(-2+2)-2m=0$
解得$m=0$
当$m=0$时，原方程为$\frac{2}{x-2}=0$，方程无解，不会产生增根，故舍去$m=0$。
综上，$m=-4$。