12. 一个圆锥和一个圆柱的高相等，体积比是 1:3，如果圆锥的底面积是 15 平方厘米，圆柱的底面积是()平方厘米；如果圆柱的底面积是 15 平方厘米，圆锥的底面积是()平方厘米。

15；15

设圆锥和圆柱的高为$h$。圆锥体积$V_锥=\frac{1}{3}S_锥h$，圆柱体积$V_柱=S_柱h$。已知$V_锥:V_柱=1:3$，则$\frac{\frac{1}{3}S_锥h}{S_柱h}=\frac{1}{3}$，化简得$S_锥=S_柱$。
当圆锥底面积$S_锥=15$平方厘米时，圆柱底面积$S_柱=15$平方厘米；当圆柱底面积$S_柱=15$平方厘米时，圆锥底面积$S_锥=15$平方厘米。

二、明辨是非。
1. 圆锥的体积等于圆柱体积的$\dfrac{1}{3}$。()
2. 圆柱的侧面展开也可能是一个平行四边形。()
3. 圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。()
4. 求一个圆柱形油桶能装多少升汽油，就是求这个油桶的体积。()
5. 把一个圆柱沿底面半径平均分成若干等份，切开后拼成一个近似的长方体，这个长方体与圆柱相比，体积没有改变。()

×
@@√
@@√
@@×
@@√

圆柱侧面展开时，若沿高剪开是长方形或正方形；若不沿高斜着剪开，则展开图是平行四边形。所以圆柱的侧面展开也可能是一个平行四边形，该说法正确。


圆柱的两个底面之间的距离叫做圆柱的高，圆柱的两个底面之间可以画无数条垂线段，所以圆柱有无数条高；从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，这样的线段只有一条，所以圆锥只有一条高。该说法正确。


求一个圆柱形油桶能装多少升汽油，是求油桶的容积，而体积是指物体所占空间的大小，容积是指容器所能容纳物体的体积，二者概念不同。


把圆柱沿底面半径平均分成若干等份，切开后拼成一个近似的长方体，这个过程中，只是形状发生了改变，所占空间的大小即体积没有变化。

三、精挑细选。
1. 把一个直角三角形沿着其中的一条直角边旋转一周，可得到的图形是()。

A.三角形
B.圆柱
C.圆锥
D.长方体

C

直角三角形绕一条直角边旋转一周，得到的是一个以旋转的直角边为高，另一条直角边为底面半径的圆锥。

2. 如果一个圆柱的侧面展开后正好是一个正方形，那么圆柱的高和它的底面直径的比是()。

A.1:1
B.1:π
C.2:π
D.π:1

D

由题意可知，圆柱的侧面展开是一个正方形，说明圆柱的高$h$等于侧面的周长即底面圆的周长$c$，
即$h = c$，
而圆的周长公式为：
$c = π d$
所以$h = π d$。
那么圆柱的高和底面直径的比为：
$h : d = π d : d= π : 1$，
题目要求的是圆柱的高和底面直径的比，即：
$π : 1$，
也可以写作圆柱的高和它的底面直径的比是$π : 1$。
对比选项发现，这与选项D一致。

3. 右面这个图形旋转后会得到左面的哪个图形？()

B

根据图形旋转知识，平面图形旋转形成立体图形。若原图形由长方形和直角三角形组成（共用旋转轴），长方形旋转成圆柱，直角三角形旋转成圆锥，且圆锥底面与圆柱顶面重合，对应选项B。

4. 观察下图(单位：厘米)，下面说法正确的是()。


A.甲的体积与乙的体积的比是 3:1
B.丁的体积与甲的体积相等
C.丙的体积是乙的体积的$\dfrac{1}{3}$
D.丁的体积是戊的体积的 3 倍

B

甲是圆锥，底面直径9cm（半径4.5cm），高12cm，体积$V_甲=\frac{1}{3}πr²h=\frac{1}{3}π×4.5²×12=π×4.5²×4$。
乙是圆柱，底面直径9cm（半径4.5cm），高12cm，体积$V_乙=π×4.5²×12$，甲、乙体积比为1:3，A错误。
丁是圆柱，底面直径9cm（半径4.5cm），高4cm，体积$V_丁=π×4.5²×4$，与$V_甲$相等，B正确。
丙是圆柱，底面直径3cm（半径1.5cm），高12cm，体积$V_丙=π×1.5²×12$，$V_丙/V_乙=(1.5²)/(4.5²)=1/9$，C错误。
戊是圆柱，底面直径3cm（半径1.5cm），高4cm，体积$V_戊=π×1.5²×4$，$V_丁/V_戊=(4.5²)/(1.5²)=9$，D错误。