7.如图，△ABC中，AB=AC=15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连结DE.若△CDE的周长为24，则BC的长为（）

A.18
B.14
C.12
D.6

A

∵AB=AC，AD平分∠BAC，根据等腰三角形三线合一，可得AD⊥BC，D为BC中点，即∠ADC=90°。
∵点E为AC的中点，在Rt△ADC中，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得DE=AE=EC=1/2 AC。
已知AC=15，因此DE=EC=7.5。
∵△CDE的周长为24，即DE+EC+CD=24，代入得CD=24-7.5-7.5=9。
又∵D是BC中点，∴BC=2CD=18。

8.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,将$BC$沿斜边上的中线$CD$折叠到$CB'$.若$∠ B=50°$,则$∠ ACB'=$.

$\boldsymbol{10°}$

解：
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD$是斜边$AB$的中线，
∴ $CD=BD$（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴ $∠ DCB=∠ B=50°$，
由折叠的性质可得：$∠ B'CD=∠ DCB=50°$，
又∵ $∠ ACB=90°$，
∴ $∠ ACD=∠ ACB-∠ DCB=90°-50°=40°$，
∴ $∠ ACB'=∠ B'CD-∠ ACD=50°-40°=10°$。

9.已知:如图,$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$M$是边$AB$的中点,$CH⊥ AB$于$H$,$CD$平分$∠ ACB$.
(1)求证:$∠ DCH=∠ DCM$.
(2)过点$M$作$AB$的垂线交$CD$延长线于点$E$,求证:$CM=EM$.

证明：(1)
∵ ∠ACB=90°，CD平分∠ACB，
∴ ∠ACD=∠BCD=45°。
∵ 在Rt△ABC中，M是边AB的中点，
∴ CM=AM=BM（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴ ∠MCA=∠A。
∵ CH⊥AB，
∴ ∠CHB=90°，
∴ ∠B+∠BCH=90°。
又∵ ∠A+∠B=90°，
∴ ∠BCH=∠A。
∴ ∠DCH=∠BCD - ∠BCH=45°-∠A，
∠DCM=∠ACD - ∠MCA=45°-∠A，
∴ ∠DCH=∠DCM。
(2)
∵ ME⊥AB，CH⊥AB，
∴ ME//CH，
∴ ∠E=∠DCH（两直线平行，内错角相等）。
由(1)得∠DCH=∠DCM，
∴ ∠E=∠DCM，
∴ CM=EM（等角对等边）。

10.如图,在$△ ABC$中,$AC=BC$,$∠ ACB=90°$,$D$为$AB$的中点.若$E$是$AC$上任意一点,$DF⊥ DE$,交$BC$于点$F$.$G$为$EF$的中点,延长$CG$交$AB$于点$H$.
(1)试说明:$DE=DF$.
(2)试说明:$CG=GH$.

证明：(1) 连接CD
∵ $AC=BC$，$∠ ACB=90°$，D为AB的中点
∴ $CD=AD=BD$，$∠ A=∠ B=45°$，$CD⊥ AB$，CD平分$∠ ACB$
∴ $∠ DCF=\frac{1}{2}∠ ACB=45°$，即$∠ A=∠ DCF$
∵ $∠ ADE+∠ EDC=90°$，$DF⊥ DE$，即$∠ EDF=90°$
∴ $∠ CDF+∠ EDC=90°$
∴ $∠ ADE=∠ CDF$
在$△ ADE$和$△ CDF$中
$\begin{cases}∠ A=∠ DCF \\AD=CD \\∠ ADE=∠ CDF\end{cases}$
∴ $△ ADE≌△ CDF(\mathrm{ASA})$
∴ $DE=DF$
(2) 连接DG
∵ $∠ ACB=90°$，G为EF的中点
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ECF$中，$CG=EG=GF$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
∵ $∠ EDF=90°$，G为EF的中点
∴ 在$\mathrm{Rt}△ EDF$中，$DG=EG=GF$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
∴ $CG=DG$
∴ $∠ GCD=∠ GDC$
∵ $CD⊥ AB$，∴ $∠ CDH=90°$
∴ $∠ GDC+∠ GDH=90°$，$∠ GCD+∠ CHD=90°$
∴ $∠ GDH=∠ GHD$
∴ $DG=GH$
又∵ $CG=DG$
∴ $CG=GH$