6. 如图,AD= BC,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,且AE= CF,则图中相等的角(直角除外)有( )

A.3对
B.4对
C.5对
D.6对
]

D

∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=∠AED=∠CFB=90°。
在Rt△AEB和Rt△CFD中，AD=BC，AE=CF，
∴Rt△AEB≌Rt△CFD（HL），
∴∠ABE=∠CDF，∠BAE=∠DCF，BE=DF。
∵BE=DF，
∴BE+EF=DF+EF，即BF=DE。
在Rt△AED和Rt△CFB中，AE=CF，DE=BF，
∴Rt△AED≌Rt△CFB（HL），
∴∠ADE=∠CBF，∠DAE=∠BCF。
∵∠BAE+∠DAE=∠BAD，∠DCF+∠BCF=∠BCD，∠BAE=∠DCF，∠DAE=∠BCF，
∴∠BAD=∠BCD。
∵∠ABE+∠CBF=∠ABC，∠CDF+∠ADE=∠ADC，∠ABE=∠CDF，∠CBF=∠ADE，
∴∠ABC=∠ADC。
综上，相等的角（直角除外）有∠ABE=∠CDF，∠BAE=∠DCF，∠ADE=∠CBF，∠DAE=∠BCF，∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，共6对。
D

7. 如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE= DG,△ADG,△AED的面积分别为50,39,则△DEF的面积为( )

A.11
B.5.5
C.7
D.3.5
]

B　解析:如图,在AC上截取AM=AE,连接DM,过点D作DN⊥AC于点N.由△AED≌△AMD(SAS),得DE=DM,S△AED=S△AMD=39,
∴S△MDG=S△ADG - S△ADM=50 - 39=11.由Rt△DMN≌Rt△DGN(HL)，得S△DMN=S△DGN=5.5.由△AFD≌△AND(AAS)，得S△AFD=S△AND，
∴S△AFD - S△AED=S△AND - S△AMD，
∴S△DEF=S△DMN=5.5.

8. 如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,AC= 20,BC= 10,PQ= AB,P,Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动,且点P不与点A,C重合. 当CP的长为______时,Rt△ABC≌Rt△QPA.
]

10

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=10，AX⊥AC，PQ=AB。
要使Rt△ABC≌Rt△QPA，分两种情况：
1. 当BC=AP，AC=AQ时，BC=10，所以AP=10，CP=AC-AP=20-10=10。
2. 当BC=AQ，AC=AP时，AC=20，所以AP=20，此时点P与点C重合，不符合题意，舍去。
综上，CP的长为10。

9. 如图,AD是△ABC的高,AD= BD,BE= AC,∠BAC= 70°,则∠DBE的度数为______.
]

25°

∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD=∠BAD=45°．
∵∠BAC=70°，
∴∠DAC=∠BAC - ∠BAD=70° - 45°=25°．
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
∵BD=AD，BE=AC，
∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL），
∴∠DBE=∠DAC=25°．
25°

10. 如图,AB= AD,CB⊥AB,CD⊥AD,E,F分别是BC,DC的中点,连接AE,AF. 求证：AE= AF.
]

连接AC.
∵CB⊥AB,CD⊥AD,
∴∠B=∠D=90°,
∴△ABC和△ADC均是直角三角形.在Rt△ABC和Rt△ADC中，AC=AC，AB=AD，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，
∴BC=DC.
∵E,F分别是BC,DC的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC，DF=$\frac{1}{2}$DC，
∴BE=DF.在△ABE和△ADF中，AB=AD，∠B=∠D，BE=DF，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴AE=AF

11. (新考法·过程性学习)我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简称‘HL’定理)”是判定直角三角形全等的特有方法.
(1)如图①,在△ABC中,∠BAC= 90°,AB= AC,点D,E分别在边AC,AB上. 若CE= BD,则线段AE和线段AD之间的数量关系是______.
(2)如图②,在△ABC中,90°＜∠BAC＜180°,AB= AC,点D,E分别在边AC,AB上. 若CE= BD,则线段AE与线段AD相等吗？如果相等,请给出证明；如果不相等,请说明理由.
]

(1)AE=AD　
(2)相等　如图,过点C作CM⊥BA交BA的延长线于点M,过点B作BN⊥CA交CA的延长线于点N,则∠M=∠N=90°.在△CAM和△BAN中，∠M=∠N，∠CAM=∠BAN，CA=BA，
∴△CAM≌△BAN(AAS)，
∴CM=BN，AM=AN.在Rt△CME和Rt△BND中，CE=BD，CM=BN，
∴Rt△CME≌Rt△BND(HL)，
∴EM=DN，
∴EM - AM=DN - AN，即AE=AD