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5. 已知$y=\frac{k+1}{x}+k^2 -1$（k是常数）是反比例函数，则k=。
答案
解：
根据反比例函数的定义，反比例函数的形式为$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数，且$m≠0$），因此可得：
$\begin{cases}k^2 - 1 = 0 \\k + 1 ≠ 0\end{cases}$
由$k^2 - 1 = 0$，解得$k=\pm1$，
由$k + 1 ≠ 0$，得$k≠ -1$，
综上，$k=1$。
根据反比例函数的定义，反比例函数的形式为$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数，且$m≠0$），因此可得：
$\begin{cases}k^2 - 1 = 0 \\k + 1 ≠ 0\end{cases}$
由$k^2 - 1 = 0$，解得$k=\pm1$，
由$k + 1 ≠ 0$，得$k≠ -1$，
综上，$k=1$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确反比例函数的定义特征：反比例函数的标准形式为$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数，且$m≠0$），要求表达式仅含$\frac{1}{x}$项，无额外常数项，且$\frac{1}{x}$的系数不能为0。我们可以根据这两个特征列出对应的方程和不等式：首先常数项$k^2-1$必须等于0，其次$\frac{1}{x}$的系数$k+1$不能为0，先解出方程的根，再结合不等式排除不符合的取值，即可得到k的正确值。
【解析】
根据反比例函数的定义，反比例函数的形式为$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数，且$m≠0$），因此可得：
$\begin{cases}k^2 - 1 = 0 \\k + 1 ≠ 0\end{cases}$
由$k^2 - 1 = 0$，因式分解得$(k-1)(k+1)=0$，解得$k=\pm1$，
由$k + 1 ≠ 0$，得$k≠ -1$，
综上，$k=1$。
【答案】
$\boxed{1}$
【知识点】
反比例函数的定义、一元二次方程求解、不等式求解
【点评】
本题重点考查反比例函数的定义，易错点是容易忽略反比例系数不为0的限制条件，直接得到$k=\pm1$的错误结果，解题时要牢牢把握定义的两个核心限制，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确反比例函数的定义特征：反比例函数的标准形式为$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数，且$m≠0$），要求表达式仅含$\frac{1}{x}$项，无额外常数项，且$\frac{1}{x}$的系数不能为0。我们可以根据这两个特征列出对应的方程和不等式：首先常数项$k^2-1$必须等于0，其次$\frac{1}{x}$的系数$k+1$不能为0，先解出方程的根，再结合不等式排除不符合的取值，即可得到k的正确值。
【解析】
根据反比例函数的定义，反比例函数的形式为$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数，且$m≠0$），因此可得：
$\begin{cases}k^2 - 1 = 0 \\k + 1 ≠ 0\end{cases}$
由$k^2 - 1 = 0$，因式分解得$(k-1)(k+1)=0$，解得$k=\pm1$，
由$k + 1 ≠ 0$，得$k≠ -1$，
综上，$k=1$。
【答案】
$\boxed{1}$
【知识点】
反比例函数的定义、一元二次方程求解、不等式求解
【点评】
本题重点考查反比例函数的定义，易错点是容易忽略反比例系数不为0的限制条件，直接得到$k=\pm1$的错误结果，解题时要牢牢把握定义的两个核心限制，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
6. 用函数表达式表示下列问题中的两个变量之间的关系，其中是反比例函数关系的是（填序号）。
① 长为100 m的绳子剪下a m后，还剩下b m；
② 买单价为10元的笔记本m本，一共用了n元；
③ 在压力为10 N的情况下，物体承重的压强为P Pa，它的受力面积为S m²。
① 长为100 m的绳子剪下a m后，还剩下b m；
② 买单价为10元的笔记本m本，一共用了n元；
③ 在压力为10 N的情况下，物体承重的压强为P Pa，它的受力面积为S m²。
答案
解：
① 根据题意，得 $b = 100 - a$，该函数是一次函数，不是反比例函数；
② 根据题意，得 $n = 10m$，该函数是正比例函数，不是反比例函数；
③ 根据压强公式$P=\frac{F}{S}$，代入$F=10\ \mathrm{N}$，得 $P = \frac{10}{S}$，符合反比例函数的定义，是反比例函数。
综上，是反比例函数关系的是 $\boldsymbol{③}$。
① 根据题意，得 $b = 100 - a$，该函数是一次函数，不是反比例函数；
② 根据题意，得 $n = 10m$，该函数是正比例函数，不是反比例函数；
③ 根据压强公式$P=\frac{F}{S}$，代入$F=10\ \mathrm{N}$，得 $P = \frac{10}{S}$，符合反比例函数的定义，是反比例函数。
综上，是反比例函数关系的是 $\boldsymbol{③}$。
解析
【分析】
解题时首先要明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数叫做反比例函数。接下来我们对三个情境逐一分析：先根据每个情境的等量关系列出两个变量的函数表达式，再对照反比例函数的定义判断是否符合，最终确定符合要求的序号。
【解析】
① 根据“剩下的长度=总长度-剪下的长度”，可得$b = 100 - a$，该函数是一次函数，不符合反比例函数的形式，不是反比例函数；
② 根据“总花费=单价×数量”，可得$n = 10m$，该函数是正比例函数，不符合反比例函数的形式，不是反比例函数；
③ 根据压强公式$P=\frac{F}{S}$，已知压力$F=10\ \mathrm{N}$，代入得$P = \frac{10}{S}$，符合反比例函数的定义，是反比例函数。
综上，是反比例函数关系的是③。
【答案】
$\boldsymbol{③}$
【知识点】
反比例函数的定义；根据实际问题列函数关系式
【点评】
本题重点考查反比例函数的识别，解题的核心是先结合实际情境的等量关系写出函数表达式，再对照反比例函数的标准形式判断即可，要注意区分反比例函数、正比例函数、一次函数的形式差异。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数叫做反比例函数。接下来我们对三个情境逐一分析：先根据每个情境的等量关系列出两个变量的函数表达式，再对照反比例函数的定义判断是否符合，最终确定符合要求的序号。
【解析】
① 根据“剩下的长度=总长度-剪下的长度”，可得$b = 100 - a$，该函数是一次函数，不符合反比例函数的形式，不是反比例函数；
② 根据“总花费=单价×数量”，可得$n = 10m$，该函数是正比例函数，不符合反比例函数的形式，不是反比例函数；
③ 根据压强公式$P=\frac{F}{S}$，已知压力$F=10\ \mathrm{N}$，代入得$P = \frac{10}{S}$，符合反比例函数的定义，是反比例函数。
综上，是反比例函数关系的是③。
【答案】
$\boldsymbol{③}$
【知识点】
反比例函数的定义；根据实际问题列函数关系式
【点评】
本题重点考查反比例函数的识别，解题的核心是先结合实际情境的等量关系写出函数表达式，再对照反比例函数的标准形式判断即可，要注意区分反比例函数、正比例函数、一次函数的形式差异。
【难度系数】
0.8
7. 在面积为定值的一组矩形中，当矩形的一边长为6.5时，它的另一边长为8.
（1）设矩形相邻的两边长分别为$x,y$，求$y$关于$x$的函数表达式.这个函数是反比例函数吗？如果是，指出其中$k$的值.
（2）若其中一个矩形的一条边长为$\sqrt{13}$，求邻边长.
（1）设矩形相邻的两边长分别为$x,y$，求$y$关于$x$的函数表达式.这个函数是反比例函数吗？如果是，指出其中$k$的值.
（2）若其中一个矩形的一条边长为$\sqrt{13}$，求邻边长.
答案
解：
（1）由题意，矩形的面积定值为 $6.5 × 8 = 52$。
根据矩形面积公式可得 $xy = 52$，
变形得y关于x的函数表达式为 $y = \frac{52}{x} \ (x＞0)$。
这个函数是反比例函数，其中k的值为52。
（2）将 $x = \sqrt{13}$ 代入 $y = \frac{52}{x}$，得
$y = \frac{52}{\sqrt{13}} = 4\sqrt{13}$。
答：该矩形的邻边长为 $4\sqrt{13}$。
（1）由题意，矩形的面积定值为 $6.5 × 8 = 52$。
根据矩形面积公式可得 $xy = 52$，
变形得y关于x的函数表达式为 $y = \frac{52}{x} \ (x＞0)$。
这个函数是反比例函数，其中k的值为52。
（2）将 $x = \sqrt{13}$ 代入 $y = \frac{52}{x}$，得
$y = \frac{52}{\sqrt{13}} = 4\sqrt{13}$。
答：该矩形的邻边长为 $4\sqrt{13}$。
解析
【分析】
本题结合矩形面积定值的背景考查反比例函数相关知识，解题思路可分为两部分：①解决第（1）问时，先根据已知的一组邻边长度算出矩形的定值面积，再利用矩形面积公式建立x与y的等量关系，变形得到函数表达式后，对照反比例函数的定义判断函数类型、确定k值即可；②解决第（2）问时，直接将已知边长代入第（1）问得到的函数表达式，通过分母有理化运算就能求出邻边长度。
【解析】
（1）首先计算矩形的定值面积：由题意得，矩形面积$S=6.5×8=52$。
根据矩形面积公式$S=xy$，可得$xy=52$，变形得$y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{52}{x} \ (x＞0)$。
该函数符合反比例函数的形式，是反比例函数，其中$k$的值为52。
（2）将已知边长$x=\sqrt{13}$代入$y=\frac{52}{x}$，得：
$y=\frac{52}{\sqrt{13}}=\frac{52\sqrt{13}}{\sqrt{13}×\sqrt{13}}=4\sqrt{13}$
【答案】
（1）$y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{52}{x} \ (x＞0)$，是反比例函数，$k=52$；
（2）邻边长为$4\sqrt{13}$
【知识点】
反比例函数的概念、矩形面积计算、分母有理化
【点评】
本题属于反比例函数基础应用题，结合几何定值条件建立函数关系，侧重考查对反比例函数定义的理解和代入求值的运算能力，解题时注意自变量的取值范围要符合实际意义。
【难度系数】
0.8
本题结合矩形面积定值的背景考查反比例函数相关知识，解题思路可分为两部分：①解决第（1）问时，先根据已知的一组邻边长度算出矩形的定值面积，再利用矩形面积公式建立x与y的等量关系，变形得到函数表达式后，对照反比例函数的定义判断函数类型、确定k值即可；②解决第（2）问时，直接将已知边长代入第（1）问得到的函数表达式，通过分母有理化运算就能求出邻边长度。
【解析】
（1）首先计算矩形的定值面积：由题意得，矩形面积$S=6.5×8=52$。
根据矩形面积公式$S=xy$，可得$xy=52$，变形得$y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{52}{x} \ (x＞0)$。
该函数符合反比例函数的形式，是反比例函数，其中$k$的值为52。
（2）将已知边长$x=\sqrt{13}$代入$y=\frac{52}{x}$，得：
$y=\frac{52}{\sqrt{13}}=\frac{52\sqrt{13}}{\sqrt{13}×\sqrt{13}}=4\sqrt{13}$
【答案】
（1）$y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{52}{x} \ (x＞0)$，是反比例函数，$k=52$；
（2）邻边长为$4\sqrt{13}$
【知识点】
反比例函数的概念、矩形面积计算、分母有理化
【点评】
本题属于反比例函数基础应用题，结合几何定值条件建立函数关系，侧重考查对反比例函数定义的理解和代入求值的运算能力，解题时注意自变量的取值范围要符合实际意义。
【难度系数】
0.8
8. 已知$y$与$(x-1)$成反比例，当$x=2$时，$y=3$.写出$y$的表达式.
答案
解：
∵ $y$与$(x-1)$成反比例，
∴ 设 $y=\dfrac{k}{x-1}$（$k$为常数，$k≠0$）。
将$x=2$，$y=3$代入上式，得：
$3=\dfrac{k}{2-1}$，
解得 $k=3$。
∴ $y$的表达式为 $\boldsymbol{y=\dfrac{3}{x-1}}$。
∵ $y$与$(x-1)$成反比例，
∴ 设 $y=\dfrac{k}{x-1}$（$k$为常数，$k≠0$）。
将$x=2$，$y=3$代入上式，得：
$3=\dfrac{k}{2-1}$，
解得 $k=3$。
∴ $y$的表达式为 $\boldsymbol{y=\dfrac{3}{x-1}}$。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先根据“y与(x-1)成反比例”的条件，结合反比例关系的定义，先设出含有待定系数k的函数表达式，再将已知的x、y的取值代入表达式，求出待定系数k的值，最后将k代回所设的表达式，即可得到y的最终表达式。
【解析】
∵ y与(x-1)成反比例，
∴ 设 $y=\dfrac{k}{x-1}$（$k$为常数，$k≠0$）。
将$x=2$，$y=3$代入上式，得：
$3=\dfrac{k}{2-1}$，
解得 $k=3$。
∴ $y$的表达式为 $y=\dfrac{3}{x-1}$。
【答案】
$\boldsymbol{y=\dfrac{3}{x-1}}$
【知识点】
1. 反比例关系的定义
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对成反比例关系的理解和待定系数法的运用，掌握相关概念和方法即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先根据“y与(x-1)成反比例”的条件，结合反比例关系的定义，先设出含有待定系数k的函数表达式，再将已知的x、y的取值代入表达式，求出待定系数k的值，最后将k代回所设的表达式，即可得到y的最终表达式。
【解析】
∵ y与(x-1)成反比例，
∴ 设 $y=\dfrac{k}{x-1}$（$k$为常数，$k≠0$）。
将$x=2$，$y=3$代入上式，得：
$3=\dfrac{k}{2-1}$，
解得 $k=3$。
∴ $y$的表达式为 $y=\dfrac{3}{x-1}$。
【答案】
$\boldsymbol{y=\dfrac{3}{x-1}}$
【知识点】
1. 反比例关系的定义
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对成反比例关系的理解和待定系数法的运用，掌握相关概念和方法即可快速求解。
【难度系数】
0.9
