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1. 如图28－2－5，直线l是正方形ABCD的一条对称轴，l与AB，CD分别交于点M，N，AN，BC的延长线相交于点P，连接BN。下列三角形中，与△NCP成中心对称的是(
A.△NCB
B.△BMN
C.△AMN
D.△NDA
图28－2－5 图28－2－6 图28－2－7 图28－2－8
D
)A.△NCB
B.△BMN
C.△AMN
D.△NDA
图28－2－5 图28－2－6 图28－2－7 图28－2－8
答案
1.D
解析
【分析】
要判断与△NCP成中心对称的三角形，首先回忆中心对称的定义：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点中心对称。解题时先结合正方形对称轴的性质，得出N为CD中点，再利用正方形对边平行的性质推导边、角的等量关系，找到各对应点的对称关系，即可判断符合要求的三角形。
【解析】
∵直线l是正方形ABCD的对称轴，l与CD交于点N，
∴N是CD的中点，即DN=CN，且AD//BC（正方形对边互相平行）。
∵AD//BC，P在BC的延长线上，
∴∠DAN=∠CPN，∠ADN=∠PCN=90°。
在△ADN和△PCN中：
$\{\begin{array}{l}∠ DAN=∠ CPN\\ ∠ ADN=∠ PCN\\ DN=CN\end{array} $
∴△ADN≌△PCN（AAS），
∴AN=PN，即点A与点P关于点N对称，点D与点C关于点N对称，点N为公共对称点。
将△NCP绕点N旋转180°后，能与△NDA完全重合，因此△NCP与△NDA成中心对称。
其余选项中的三角形旋转180°后均无法与△NCP重合，故不符合要求。
【答案】
D
【知识点】
中心对称的判定；正方形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题重点考查中心对称的识别，解题的核心是结合正方形的性质找到两个三角形对应点的对称关系，熟练掌握中心对称的定义是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.7
要判断与△NCP成中心对称的三角形，首先回忆中心对称的定义：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点中心对称。解题时先结合正方形对称轴的性质，得出N为CD中点，再利用正方形对边平行的性质推导边、角的等量关系，找到各对应点的对称关系，即可判断符合要求的三角形。
【解析】
∵直线l是正方形ABCD的对称轴，l与CD交于点N，
∴N是CD的中点，即DN=CN，且AD//BC（正方形对边互相平行）。
∵AD//BC，P在BC的延长线上，
∴∠DAN=∠CPN，∠ADN=∠PCN=90°。
在△ADN和△PCN中：
$\{\begin{array}{l}∠ DAN=∠ CPN\\ ∠ ADN=∠ PCN\\ DN=CN\end{array} $
∴△ADN≌△PCN（AAS），
∴AN=PN，即点A与点P关于点N对称，点D与点C关于点N对称，点N为公共对称点。
将△NCP绕点N旋转180°后，能与△NDA完全重合，因此△NCP与△NDA成中心对称。
其余选项中的三角形旋转180°后均无法与△NCP重合，故不符合要求。
【答案】
D
【知识点】
中心对称的判定；正方形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题重点考查中心对称的识别，解题的核心是结合正方形的性质找到两个三角形对应点的对称关系，熟练掌握中心对称的定义是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.7
2.如图28-2-6，BO是等腰三角形ABC的底边上的中线，AC=2，BO=$\sqrt{15}$，△PQC与△BOC关于点C成中心对称，连接AP，则AP=
$2\sqrt{6}$
。答案
2.$2\sqrt{6}$
解析
【分析】
首先，看到等腰三角形底边上的中线，先想到等腰三角形“三线合一”的性质，可得BO垂直于AC，且O是AC中点，能算出OC的长度；再结合中心对称的性质：关于某点中心对称的两个图形全等，对应点的连线经过对称中心且被对称中心平分，我们可以通过建立平面直角坐标系，把各点的坐标清晰表示出来，最后用两点间距离公式就能算出AP的长度。
【解析】
解：
∵BO是等腰△ABC底边上的中线，AC=2
∴根据等腰三角形三线合一的性质，得：$AO=OC=\frac{1}{2}AC=1$，且$BO⊥ AC$
以点C为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系：
则点A坐标为$(-2,0)$，点O坐标为$(-1,0)$
∵$BO=\sqrt{15}$，$BO⊥ AC$
∴点B坐标为$(-1,\sqrt{15})$
∵△PQC与△BOC关于点C成中心对称
∴点P是点B关于点C的对称点，关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，因此点P的坐标为$(1,-\sqrt{15})$
根据两点间距离公式：
$AP=\sqrt{[1-(-2)]^2+(-\sqrt{15}-0)^2}=\sqrt{3^2+(\sqrt{15})^2}=\sqrt{9+15}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$
【答案】
$2\sqrt{6}$
【知识点】
等腰三角形的性质；中心对称的性质；两点间距离公式
【点评】
本题将等腰三角形性质和中心对称性质结合考查，解题的关键是合理建立平面直角坐标系，将几何线段长度计算转化为代数坐标运算，能有效降低解题难度。
【难度系数】
0.7
首先，看到等腰三角形底边上的中线，先想到等腰三角形“三线合一”的性质，可得BO垂直于AC，且O是AC中点，能算出OC的长度；再结合中心对称的性质：关于某点中心对称的两个图形全等，对应点的连线经过对称中心且被对称中心平分，我们可以通过建立平面直角坐标系，把各点的坐标清晰表示出来，最后用两点间距离公式就能算出AP的长度。
【解析】
解：
∵BO是等腰△ABC底边上的中线，AC=2
∴根据等腰三角形三线合一的性质，得：$AO=OC=\frac{1}{2}AC=1$，且$BO⊥ AC$
以点C为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系：
则点A坐标为$(-2,0)$，点O坐标为$(-1,0)$
∵$BO=\sqrt{15}$，$BO⊥ AC$
∴点B坐标为$(-1,\sqrt{15})$
∵△PQC与△BOC关于点C成中心对称
∴点P是点B关于点C的对称点，关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，因此点P的坐标为$(1,-\sqrt{15})$
根据两点间距离公式：
$AP=\sqrt{[1-(-2)]^2+(-\sqrt{15}-0)^2}=\sqrt{3^2+(\sqrt{15})^2}=\sqrt{9+15}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$
【答案】
$2\sqrt{6}$
【知识点】
等腰三角形的性质；中心对称的性质；两点间距离公式
【点评】
本题将等腰三角形性质和中心对称性质结合考查，解题的关键是合理建立平面直角坐标系，将几何线段长度计算转化为代数坐标运算，能有效降低解题难度。
【难度系数】
0.7
3.如图28-2-7，在平面直角坐标系中，若$△ ABC$与$△ A_{1}B_{1}C_{1}$关于$E$点成中心对称，则对称中心$E$点的坐标是
$(3,-1)$
。答案
3.$(3,-1)$
点拨:对称中心 E 为对称点所连线段的中点, 由 $AA_1$ 的中点 $(3,-1)$ 可知对称中心 E 点的坐标为 $(3,-1)$。
点拨:对称中心 E 为对称点所连线段的中点, 由 $AA_1$ 的中点 $(3,-1)$ 可知对称中心 E 点的坐标为 $(3,-1)$。
解析
【分析】
解题时先回忆中心对称的核心性质：成中心对称的两个图形中，对称点的连线都经过对称中心，且对称中心是所有对称点连线的公共中点。因此要求对称中心E的坐标，只需要找到任意一组对应对称点，利用中点坐标公式计算它们连线的中点坐标即可。本题可选取对应点A和A₁，计算其连线的中点就能得到E点坐标。
【解析】
根据中心对称的性质可知，成中心对称的两个图形的对称中心是任意一对对称点所连线段的中点。
选取对应点A和$A_1$，根据中点坐标公式：若两点坐标分别为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则它们连线的中点坐标为$( \frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2} )$。
代入A、$A_1$的坐标计算，可得线段$AA_1$的中点坐标为$(3,-1)$，因此对称中心E点的坐标为$(3,-1)$。
【答案】
$(3,-1)$
【知识点】
1.中心对称的性质 2.中点坐标公式
【点评】
本题是中心对称性质的基础应用，解题的关键是明确对称中心与对称点连线的关系，结合中点坐标公式即可快速得出结果，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆中心对称的核心性质：成中心对称的两个图形中，对称点的连线都经过对称中心，且对称中心是所有对称点连线的公共中点。因此要求对称中心E的坐标，只需要找到任意一组对应对称点，利用中点坐标公式计算它们连线的中点坐标即可。本题可选取对应点A和A₁，计算其连线的中点就能得到E点坐标。
【解析】
根据中心对称的性质可知，成中心对称的两个图形的对称中心是任意一对对称点所连线段的中点。
选取对应点A和$A_1$，根据中点坐标公式：若两点坐标分别为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则它们连线的中点坐标为$( \frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2} )$。
代入A、$A_1$的坐标计算，可得线段$AA_1$的中点坐标为$(3,-1)$，因此对称中心E点的坐标为$(3,-1)$。
【答案】
$(3,-1)$
【知识点】
1.中心对称的性质 2.中点坐标公式
【点评】
本题是中心对称性质的基础应用，解题的关键是明确对称中心与对称点连线的关系，结合中点坐标公式即可快速得出结果，难度较低。
【难度系数】
0.8
4.如图28-2-8,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,BC=2 cm,如果以AC的中点O为旋转中心,将这个图形旋转180°,点B落在点B'处,那么点B'与点B之间的距离为
$2\sqrt{5}$
cm.答案
4.$2\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题时先结合旋转180°的特点，判断该变换为中心对称，根据中心对称的性质可知对称中心O是线段BB'的中点，因此要求BB'的长度，只需先求出OB的长度再乘2即可。首先利用等腰直角三角形的性质得到AC的长度，进而得到OC的长度，再在Rt△BCO中用勾股定理求出OB的长度，最终计算出BB'的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴AC=BC=2cm，
∵O是AC的中点，
∴OC = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}×2=1$cm，
在Rt△OCB中，由勾股定理得：
OB = $\sqrt{OC^2 + BC^2}$ = $\sqrt{1^2 + 2^2}$ = $\sqrt{5}$ cm，
∵将图形以O为旋转中心旋转180°，点B落在B'处，
∴O是BB'的中点（中心对称的性质：对称点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分），
∴BB' = 2OB = $2\sqrt{5}$ cm。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
中心对称的性质；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是熟练掌握中心对称的性质，将未知线段长度转化为可通过勾股定理计算的线段长度，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
解题时先结合旋转180°的特点，判断该变换为中心对称，根据中心对称的性质可知对称中心O是线段BB'的中点，因此要求BB'的长度，只需先求出OB的长度再乘2即可。首先利用等腰直角三角形的性质得到AC的长度，进而得到OC的长度，再在Rt△BCO中用勾股定理求出OB的长度，最终计算出BB'的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴AC=BC=2cm，
∵O是AC的中点，
∴OC = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}×2=1$cm，
在Rt△OCB中，由勾股定理得：
OB = $\sqrt{OC^2 + BC^2}$ = $\sqrt{1^2 + 2^2}$ = $\sqrt{5}$ cm，
∵将图形以O为旋转中心旋转180°，点B落在B'处，
∴O是BB'的中点（中心对称的性质：对称点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分），
∴BB' = 2OB = $2\sqrt{5}$ cm。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
中心对称的性质；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是熟练掌握中心对称的性质，将未知线段长度转化为可通过勾股定理计算的线段长度，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
1. 如图28－2－9①，已知石头A和石头B相距80 cm，且关于竹竿$l$对称，一只电动青蛙在距竹竿30 cm，距石头A 60 cm的$P_1$处，按图28－2－9②所示的顺序循环跳跃：
(1)请你在图28－2－9①中画出电动青蛙跳跃的路径(画图工具不作限制)；
(2)电动青蛙跳跃25次后停下，此时它与石头A相距
(1)请你在图28－2－9①中画出电动青蛙跳跃的路径(画图工具不作限制)；
(2)电动青蛙跳跃25次后停下，此时它与石头A相距
60
cm，与竹竿$l$相距50
cm.答案
1.解:(1)如答图28－2－2所示。
(2)60 50
点拨:命题很有创意,作图过程相对简单。
在电动青蛙跳 25 次后停在点 $P_2$ 处,此时
$P_1A=P_2A=60\ \mathrm{cm}$,它与竹竿 $l$ 的距离是
$40× 2-30=50(\mathrm{cm})$。
解析
【分析】
（1）画图需按照跳跃规则依次确定各点：①以A为对称中心，作$P_1$的对称点$P_2$；②以$l$为对称轴，作$P_2$的对称点$P_3$；③以B为对称中心，作$P_3$的对称点$P_4$；④以$l$为对称轴，作$P_4$的对称点回到$P_1$，顺次连接各点即可得到跳跃路径。
（2）首先观察跳跃规律：每跳跃4次就回到初始位置$P_1$，即跳跃周期为4。计算25除以4的余数，即可确定跳跃25次后停留的位置，再结合中心对称、轴对称的性质计算对应距离即可。
【解析】
(1) 按照如下步骤画图：
① 连接$P_1A$并延长至$P_2$，使$AP_2=AP_1$，得$P_2$点；
② 过$P_2$作$l$的垂线，垂足为O，延长$P_2O$至$P_3$，使$OP_3=OP_2$，得$P_3$点；
③ 连接$P_3B$并延长至$P_4$，使$BP_4=BP_3$，得$P_4$点；
④ 过$P_4$作$l$的垂线，垂足为$O'$，延长$P_4O'$至$P_1$，使$O'P_1=O'P_4$，顺次连接$P_1→P_2→P_3→P_4→P_1$即为跳跃路径。
(2) 由跳跃规则可知：每跳跃4次回到$P_1$点，即跳跃周期为4。
$25÷4=6……1$，即跳跃25次后，停留的位置与跳跃1次后位置相同，为$P_2$点。
① 因为$P_1$与$P_2$关于A中心对称，根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，所以$P_2A=P_1A=60\mathrm{cm}$；
② 已知A、B关于$l$对称，$AB=80\mathrm{cm}$，因此A到$l$的距离为$80÷2=40\mathrm{cm}$。
又已知$P_1$到$l$的距离为$30\mathrm{cm}$，所以$P_1$与A在垂直于$l$方向的距离为$40-30=10\mathrm{cm}$。
因为A是$P_1P_2$的中点，所以$P_2$与A在垂直于$l$方向的距离也为$10\mathrm{cm}$，且$P_2$在A远离$l$的一侧，因此$P_2$到$l$的距离为$40+10=50\mathrm{cm}$。
【答案】
(1)
(2) 60；50
【知识点】
中心对称的性质，轴对称的性质，周期规律探究
【点评】
本题以趣味跳跃为情境，将对称性质与规律探究结合，既考查了基础作图能力，又考查了对对称性质的灵活运用以及周期规律的归纳能力，命题形式新颖。
【难度系数】
0.7
（1）画图需按照跳跃规则依次确定各点：①以A为对称中心，作$P_1$的对称点$P_2$；②以$l$为对称轴，作$P_2$的对称点$P_3$；③以B为对称中心，作$P_3$的对称点$P_4$；④以$l$为对称轴，作$P_4$的对称点回到$P_1$，顺次连接各点即可得到跳跃路径。
（2）首先观察跳跃规律：每跳跃4次就回到初始位置$P_1$，即跳跃周期为4。计算25除以4的余数，即可确定跳跃25次后停留的位置，再结合中心对称、轴对称的性质计算对应距离即可。
【解析】
(1) 按照如下步骤画图：
① 连接$P_1A$并延长至$P_2$，使$AP_2=AP_1$，得$P_2$点；
② 过$P_2$作$l$的垂线，垂足为O，延长$P_2O$至$P_3$，使$OP_3=OP_2$，得$P_3$点；
③ 连接$P_3B$并延长至$P_4$，使$BP_4=BP_3$，得$P_4$点；
④ 过$P_4$作$l$的垂线，垂足为$O'$，延长$P_4O'$至$P_1$，使$O'P_1=O'P_4$，顺次连接$P_1→P_2→P_3→P_4→P_1$即为跳跃路径。
(2) 由跳跃规则可知：每跳跃4次回到$P_1$点，即跳跃周期为4。
$25÷4=6……1$，即跳跃25次后，停留的位置与跳跃1次后位置相同，为$P_2$点。
① 因为$P_1$与$P_2$关于A中心对称，根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，所以$P_2A=P_1A=60\mathrm{cm}$；
② 已知A、B关于$l$对称，$AB=80\mathrm{cm}$，因此A到$l$的距离为$80÷2=40\mathrm{cm}$。
又已知$P_1$到$l$的距离为$30\mathrm{cm}$，所以$P_1$与A在垂直于$l$方向的距离为$40-30=10\mathrm{cm}$。
因为A是$P_1P_2$的中点，所以$P_2$与A在垂直于$l$方向的距离也为$10\mathrm{cm}$，且$P_2$在A远离$l$的一侧，因此$P_2$到$l$的距离为$40+10=50\mathrm{cm}$。
【答案】
(1)
(2) 60；50
【知识点】
中心对称的性质，轴对称的性质，周期规律探究
【点评】
本题以趣味跳跃为情境，将对称性质与规律探究结合，既考查了基础作图能力，又考查了对对称性质的灵活运用以及周期规律的归纳能力，命题形式新颖。
【难度系数】
0.7
2.已知一次函数$y=\frac{1}{2}x+2$的图象与$x$轴交于点$A$，与$y$轴交于点$B$，若将该一次函数的图象绕着原点$O$旋转$180°$后得到一个新的一次函数的图象，求新一次函数的解析式.
答案
2.解:$\because y=\frac{1}{2}x+2$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于点
$A$,点 $B$,
$\therefore$ 令 $y=0$,则 $\frac{1}{2}x+2=0$.
$\therefore x=-4,\therefore A(-4,0)$.
令 $x=0$,则 $y=2,\therefore B(0,2)$.
$\because$ 两直线关于原点成中心对称,
$\therefore$ 两直线上的对称点也关于原点对称.
设 $B$ 点关于原点对称的点为 $C$ 点, $A$ 点关于原点对称的点为 $D$ 点.
如答图 28-2-3 所示, $\therefore D(4,0),C(0,-2)$.
设新一次函数的解析式为 $y=kx+b(k≠ 0)$,
将 $D(4,0),C(0,-2)$ 的坐标分别代入 $y=kx+b$,
得$\begin{cases} 0=4k+b,\\ -2=b. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=\frac{1}{2},\\ b=-2. \end{cases}$
$\therefore$ 新一次函数的解析式为 $y=\frac{1}{2}x-2$.
点拨:将一次函数的图象绕原点 $O$ 旋转$180°$得到新的一次函数的图象,则两直线关于原点 $O$ 成中心对称,两直线上的对称点也关于原点对称.
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确一次函数图象绕原点旋转180°，本质是新图象与原图象关于原点成中心对称，根据中心对称的性质，原直线上的点旋转后均为其关于原点的对称点。我们可以先求出原一次函数与坐标轴的两个交点坐标，再得到这两个点的中心对称点，最后利用两点确定一条直线，用待定系数法即可求出新一次函数的解析式。
【解析】
解：$\because$ 一次函数$y=\frac{1}{2}x+2$与x轴、y轴分别交于点A、点B，
$\therefore$ 令$y=0$，则$\frac{1}{2}x+2=0$，解得$x=-4$，即$A(-4,0)$；
令$x=0$，则$y=2$，即$B(0,2)$。
$\because$ 图象绕原点旋转$180°$后，两直线关于原点成中心对称，直线上的对应点也关于原点对称，
$\therefore$ 点A关于原点的对称点$D(4,0)$，点B关于原点的对称点$C(0,-2)$，新直线过点D和点C。
设新一次函数的解析式为$y=kx+b(k≠ 0)$，
将$D(4,0)$、$C(0,-2)$的坐标分别代入解析式，得：
$\begin{cases} 0=4k+b \\ -2=b \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=\frac{1}{2} \\ b=-2 \end{cases}$
【答案】
新一次函数的解析式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x-2}$
【知识点】
1. 中心对称的性质
2. 待定系数法求一次函数解析式
3. 一次函数的图象与性质
【点评】
本题结合一次函数图象变换与中心对称知识考查，解题关键是理解绕原点旋转180°等价于图形关于原点中心对称，利用对称点横、纵坐标均互为相反数的特征得到新直线上的两点，再通过待定系数法求解即可，是对基础知识点的综合应用考查。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需明确一次函数图象绕原点旋转180°，本质是新图象与原图象关于原点成中心对称，根据中心对称的性质，原直线上的点旋转后均为其关于原点的对称点。我们可以先求出原一次函数与坐标轴的两个交点坐标，再得到这两个点的中心对称点，最后利用两点确定一条直线，用待定系数法即可求出新一次函数的解析式。
【解析】
解：$\because$ 一次函数$y=\frac{1}{2}x+2$与x轴、y轴分别交于点A、点B，
$\therefore$ 令$y=0$，则$\frac{1}{2}x+2=0$，解得$x=-4$，即$A(-4,0)$；
令$x=0$，则$y=2$，即$B(0,2)$。
$\because$ 图象绕原点旋转$180°$后，两直线关于原点成中心对称，直线上的对应点也关于原点对称，
$\therefore$ 点A关于原点的对称点$D(4,0)$，点B关于原点的对称点$C(0,-2)$，新直线过点D和点C。
设新一次函数的解析式为$y=kx+b(k≠ 0)$，
将$D(4,0)$、$C(0,-2)$的坐标分别代入解析式，得：
$\begin{cases} 0=4k+b \\ -2=b \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=\frac{1}{2} \\ b=-2 \end{cases}$
【答案】
新一次函数的解析式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x-2}$
【知识点】
1. 中心对称的性质
2. 待定系数法求一次函数解析式
3. 一次函数的图象与性质
【点评】
本题结合一次函数图象变换与中心对称知识考查，解题关键是理解绕原点旋转180°等价于图形关于原点中心对称，利用对称点横、纵坐标均互为相反数的特征得到新直线上的两点，再通过待定系数法求解即可，是对基础知识点的综合应用考查。
【难度系数】
0.7
