已知AB是⊙O的直径,CD与⊙O相切于点C,AD⊥CD于点D,交⊙O于点E.
(1)(九上$P_{102}T_{12}$改编)如图1,连接AC.若AE=3DE,求tan∠BAC的值;

(2)如图2,连接AC,BD.若$\sin∠CAD=\frac{3}{5}$,求tan∠BDC的值;

(3)(2025内江中考改编)如图3,直线CD与AB的延长线交于点F,连接AC.若$\sin∠CAD=\frac{\sqrt{5}}{5}$,求cosF的值.

(4)如图4,连接AC,OD交于点G.若$\cos∠BAE=\frac{\sqrt{5}}{5}$,求$\frac{DG}{OG}$的值.

(1)1/2；(2)3/8；(3)4/5；(4)(5+√5)/5

(1)设DE=x，则AE=3x，AD=4x。连接OC，由切线性质知OC⊥CD，又AD⊥CD，故OC//AD。设半径为r，过O作OH⊥AD于H，则OH=CD，AH=AE/2=1.5x，DH=OC=r。由AH=AD-DH得1.5x=4x-r，解得r=2.5x。在Rt△AOH中，(1.5x)²+CD²=(2.5x)²，得CD=2x。tan∠BAC=tan∠CAD=CD/AD=2x/4x=1/2。
(2)设CD=3k，AC=5k，则AD=4k。OC//AD，设半径r，由Rt△AOH中(4k-r)²+(3k)²=r²，得r=25k/8。建立坐标系，D(0,0)，C(0,3k)，A(4k,0)，O(25k/8,3k)，B(9k/4,6k)。向量DC=(0,3k)，DB=(9k/4,6k)，tan∠BDC=3/8。
(3)设CD=√5m，AC=5m，AD=2√5m。OC//AD，△FCO∽△FDA，cos∠CAD=2√5/5=AC/AB，得AB=5√5m/2，r=5√5m/4。FC/FD=OC/AD=5/8，设FC=5k，FD=8k，CD=3k=√5m，k=√5m/3。在Rt△FCO中，cosF=FC/OF=4/5。
(4)设AB=5k，AE=√5k，BE=2√5k。OC//AD，△AGD∽△CGO，AD=(5+√5)k/2，OC=5k/2，DG/OG=AD/OC=(5+√5)/5。