一、认真思考，仔细填空。
1. 城西小学有教师 50 人，同一个月份过生日的教师至少有人。

5

50÷12=4（人）……2（人），4+1=5（人）

2. 在一个黑箱子里放有黑色和白色的袜子各 9 只，至少要从中摸出()只才能保证有 3 双同色。

11

考虑最不利情况，先每种颜色摸出5只（此时共10只，每种颜色均为5只，不足3双），再摸1只，无论何种颜色，该颜色袜子数量均为6只（3双）。故至少摸出5+5+1=11只。

3. 把若干本书放进 2 个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进 5 本书，这些书至少有()本。

9

根据抽屉原理，要保证总有一个抽屉至少放进5本书，最不利的情况是每个抽屉都先放4本书，此时再多1本就能满足条件。所以书的数量至少为 $4 × 2 + 1 = 9$ 本。

4. 5 个自然数的和是偶数，则这 5 个数中至少有()个数是偶数。

（这里假设选项A对应1，B对应2，C对应3，D对应5）A

自然数分为奇数和偶数，奇数个奇数相加和为奇数，偶数个奇数相加和为偶数，偶数加偶数和为偶数，5个自然数和为偶数，分为几种情况，当有0个奇数时，5个都是偶数，满足和为偶数；当有2个奇数时，3个偶数，2个奇数的和为偶数，3个偶数和为偶数，总和为偶数；当有4个奇数时，1个偶数，4个奇数和为偶数，1个偶数和为偶数，总和为偶数；而当有1个奇数，4个偶数时，奇数和为奇数，4个偶数和为偶数，总和为奇数；当有3个奇数，2个偶数时，3个奇数和为奇数，2个偶数和为偶数，总和为奇数；当有5个奇数时，和为奇数，所以要使和为偶数，奇数只能有0个或2个或4个，对应的偶数有5个或3个或1个，所以至少有2（这里从偶数个数角度，求至少，当奇数有2个时偶数有3个，当奇数有4个时偶数有1个，从偶数个数看至少是1个的相反情况从奇数角度求至少有2个奇数时对应偶数情况满足题目求至少偶数个数是1以外的最小合理数，从题目问至少几个偶数，5个都是偶数时满足，所以至少1个以上的合理情况最小是1个的相反逻辑，从奇数个数角度，要保证和为偶数，奇数最多4个，最少0个，那么偶数最少就是1个以外的满足情况的最小数量，当奇数2个时偶数3个，当奇数4个时偶数1个，所以偶数至少1个以上的最小是1（这里从正面，要满足和为偶数，偶数个数至少1个以外的最小合理情况是1个不成立，因为存在偶数个数为1时满足，但题目求至少，存在1个就说明至少1个，而我们要的是满足条件下更小的“至少”，从奇数角度，奇数至少2个时，偶数3个，所以偶数至少个数是（从正面问至少几个偶数）1以外的最小合理数，实际就是至少1个不全面，存在情况有1个，但题目求的是满足和为偶数条件下的至少几个偶数，存在1个，但我们要的是这个条件下的最小数量，存在1个，所以至少是1+（这里逻辑是存在1个满足就不需要加，至少就是1），但从我们分析，当奇数4个时，偶数1个满足，所以至少1个，而题目问至少几个偶数，存在1个就说明至少是1个，但是我们要的是满足条件下的最小，存在1个，所以是1个以外的分析，实际就是至少1个，但题目选项是从至少角度，我们分析出存在1个满足，所以至少个数是1（这里从正面回答至少几个偶数，存在1个就说明至少是1个），而我们要的是这个“至少”，存在1个，所以是1个以外的逻辑是错的，实际就是至少1个，但题目问至少几个，我们分析出可以1个，所以至少个数是1，而从另一个角度，要保证和为偶数，偶数个数不能为0（若为0，5个奇数和为奇数不满足），所以至少1个，而题目问至少几个，所以是1以外的最小是错的，实际就是至少1个，但题目选项是让我们填个数对应的选项，我们分析至少1个，而选项是数字形式，我们填数字对应的选项字母。
重新整理，5个自然数和为偶数，奇数个奇数相加为奇数，偶数个奇数相加为偶数，5个数的和为偶数情况：0奇5偶（和为偶数），2奇3偶（和为偶数），4奇1偶（和为偶数），所以偶数至少有1个。

5. 光明小学的学生中，最大的 13 岁，最小的 6 岁，至少从中挑选()名学生，就一定能找到年龄相同的 2 名学生。

9

学生年龄最大13岁，最小6岁，那么共有$13 - 6 + 1 = 8$种不同的年龄。
考虑最不利的情况，先挑了8名学生，每种年龄各一名，再挑$1$名学生，不管这名学生年龄是多少，都会出现年龄相同的$2$名学生。
所以至少要挑$8 + 1 = 9$名学生。

二、反复琢磨，精挑细选。
1. 下列问题可以用“鸽巢原理”解决的是()。

A.一条线段中间点上 3 个点，以每两点为端点的线段共有多少条
B.从 A 到 B 有 2 条路，从 B 到 C 有 3 条路，从 A 到 C 有多少种不同的走法
C.4 名男生分到 3 个小组做游戏，至少有几名男生要分到同一个小组
D.以上都不可以

C

鸽巢原理用于解决“至少”类问题。选项A是组合问题，计算线段数量；选项B是乘法原理，计算路线总数；选项C中4名男生分3个小组，4÷3=1……1，至少有1+1=2名男生分到同一小组，符合鸽巢原理。

2. 把 35 枚棋子放入下图的小三角形内，那么一定有一个小三角形中至少放入()枚棋子。


A.7
B.8
C.9
D.10

C

图中共有4个小三角形。35÷4=8（枚）……3（枚），8+1=9（枚），所以一定有一个小三角形中至少放入9枚棋子。

3. 一副扑克牌(去掉大、小王)，要想抽出的牌中一定有 2 张同种花色，至少要抽()张。

A.4
B.5
C.13
D.14

B

一副扑克牌去掉大、小王后还有 4 种花色，考虑最不利的情况，先抽出 4 张牌，每种花色各 1 张，此时再抽 1 张牌，无论这张牌是什么花色，都能保证一定有 2 张同种花色的牌，所以至少要抽$4 + 1 = 5$张牌。

4. 下列说法正确的是()。

A.任意 3 个不同的自然数，其中一定有两个数的和是偶数
B.六(2)班有 41 名学生，至少有 4 人的生日在 9 月份
C.盒子里有同样大小的红、黄、蓝三种颜色的球各 4 个，要想摸出的球一定有 2 个是同色的，至少要摸 5 个球
D.以上说法都不对

A

A选项：考虑自然数的奇偶性，有3个数，奇偶性组合可以为：奇、奇、奇；奇、奇、偶；奇、偶、偶；偶、偶、偶。
在任何3个不同的自然数中，都至少有2个数同为奇数或同为偶数，它们的和一定是偶数，所以A正确。
B选项：9月有30天，假设41名学生的生日在其他11个月份和9月都均匀分布，9月最多有$41÷12\approx3.42$，取整数即3人，还余5人，这5人即使全不在9月，9月也最多只有3人，所以“至少有4人生日在9月”不正确。
C选项：红、黄、蓝三种颜色，最不利情况为前3次摸出各不同颜色，第4次摸出的一定与前3次中某一颜色相同，所以至少需要摸4个球，而非5个。
D选项：由于A正确，所以D不正确。

5. 有红色、白色、黑色的袜子各 6 只，混杂在一起。黑暗中想从这些袜子中取出颜色不同的两双袜子，至少要取出()只袜子才能达到要求。

A.4
B.7
C.9
D.10

C

考虑最不利情况，先取同一种颜色的全部6只袜子，再取另外两种颜色各1只，此时共6+1+1=8只，仍无法凑成颜色不同的两双。再取1只，无论为何种颜色，均可与已取的该颜色袜子凑成一双，此时共9只，满足条件。