9.下列各式因式分解中,正确的是 ()

A.$-x^2 + x - \frac{1}{4}=-\frac{1}{4}(2x - 1)^2$
B.$-1 - a - \frac{a^2}{4}=-(\frac{a}{2}-1)^2$
C.$\frac{2}{5}x - x^2 - \frac{1}{25}=(x - \frac{1}{5})^2$
D.$25p^2 - 20pq - 4q^2=(5q - 2p)^2$

A

A选项，原式$-x^2 + x - \frac{1}{4}$，提取$-\frac{1}{4}$得$-\frac{1}{4}(4x^2 - 4x + 1)=-\frac{1}{4}(2x - 1)^2$，所以A正确。
B选项，原式$-1 - a - \frac{a^2}{4}=-\left(\frac{a^2}{4}+a + 1\right)=-\left(\frac{a}{2}+1\right)^2\neq -(\frac{a}{2}-1)^2$，所以B错误。
C选项，原式$\frac{2}{5}x - x^2 - \frac{1}{25}=-(x^2-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25})=-(x - \frac{1}{5})^2\neq(x - \frac{1}{5})^2$，所以C错误。
D选项，在$(5q - 2p)^2 = 25q^2-20pq + 4p^2\neq25p^2 - 20pq - 4q^2$，所以D错误。

10.若多项式$x^2 - mxy + 9y^2$能用完全平方公式因式分解,则$m$的值是 ()

A.3
B.6
C.±3
D.±6

D

完全平方公式的形式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，对于多项式$x^2 - mxy + 9y^2$，其中$a=x$，$b = 3y$，那么$-mxy=\pm2× x×3y=\pm6xy$，所以$m=\pm6$。

11.若将多项式$2x^2 - 3x + k$分解因式后有一个因式是$x + 1$,则$k =$.

$-5$

设多项式$2x^{2} - 3x + k$分解后的因式为$(x + 1)(2x + b)$，
将$(x + 1)(2x + b)$展开得：$2x^{2} + (b + 2)x + b$。
根据多项式相等的条件，两个多项式相等当且仅当它们的对应项系数相等。
所以有：$b + 2 = - 3$，解得$b = - 5$。
同样，$k = b = - 5$。

12.已知$4a = 7 - b$,则$16a^2 + 8ab + b^2$的值为.

【解析】：由$4a = 7 - b$得$4a + b = 7$，$16a^2 + 8ab + b^2=(4a + b)^2=7^2=49$
【答案】：49

已知$4a=7-b$，可变形为$4a + b = 7$。
对$16a^{2}+8ab + b^{2}$，根据完全平方公式$(m + n)^2=m^{2}+2mn + n^{2}$，这里$m = 4a$，$n = b$，则$16a^{2}+8ab + b^{2}=(4a + b)^{2}$。
把$4a + b = 7$代入$(4a + b)^{2}$，可得$(4a + b)^{2}=7^{2}=49$。

13.已知$a = \frac{37}{14},b = \frac{7}{74}$,则$(a + b)^2 - (a - b)^2$的值为.

1

$\begin{aligned}&(a + b)^2 - (a - b)^2\\=&(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)\\=&a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2\\=&4ab\\\end{aligned}$
当$a = \frac{37}{14}$，$b = \frac{7}{74}$时，
$\begin{aligned}4ab&=4×\frac{37}{14}×\frac{7}{74}\\&=4×\frac{37×7}{14×74}\\&=4×\frac{37×7}{2×7×2×37}\\&=4×\frac{1}{4}\\&=1\end{aligned}$

14.已知$3x + y = 5,x + 3y = -1$,则$3x^2 + 6xy + 3y^2$的值为.

3

由已知$3x + y = 5$，$x + 3y = -1$，两式相加得$4x + 4y = 4$，即$x + y = 1$。
$3x^2 + 6xy + 3y^2 = 3(x^2 + 2xy + y^2) = 3(x + y)^2$，将$x + y = 1$代入得$3×1^2 = 3$。

15.计算:$(1 - \frac{1}{2^2})(1 - \frac{1}{3^2})(1 - \frac{1}{4^2})·s(1 - \frac{1}{2024^2})=$.

$\frac{2025}{4048}$

首先，我们利用平方差公式将每个括号内的表达式展开：
$1 - \frac{1}{n^2} = \frac{n^2 - 1}{n^2} = \frac{(n+1)(n-1)}{n^2}$，
应用这个公式，原式可以表示为：
$(1 - \frac{1}{2^2})(1 - \frac{1}{3^2})(1 - \frac{1}{4^2}) ·s (1 - \frac{1}{2024^2})$
$= \frac{(2-1)(2+1)}{2^2} · \frac{(3-1)(3+1)}{3^2} · \frac{(4-1)(4+1)}{4^2} ·s · \frac{(2024-1)(2024+1)}{2024^2}$
$= \frac{1 × 3}{2^2} · \frac{2 × 4}{3^2} · \frac{3 × 5}{4^2} ·s · \frac{2023 × 2025}{2024^2}$
观察上式，可以发现从第二项开始，每两项之间都有可以约分的部分，最终只剩下第一项的1和最后一项的2025与分母的2和2024进行约分，得到：
$= \frac{1}{2} · \frac{2025}{2024} = \frac{2025}{4048}$

16.(6分)分解因式:
(1)$2a(y - z) - 3b(z - y)$;
(2)$2xy^2 - 12xy + 18x$.

(1) 解：
原式 $2a(y - z) - 3b(z - y)$
= $2a(y - z) + 3b(y - z)$ （因为 $z - y = -(y - z)$）
= $(y - z)(2a + 3b)$
(2) 解：
原式 $2xy^2 - 12xy + 18x$
= $2x(y^2 - 6y + 9)$ （提取公因式 $2x$）
= $2x(y - 3)^2$ （因为 $y^2 - 6y + 9 = (y - 3)^2$）