1.在$\frac{1}{x},-\frac{1}{3},\frac{x^2+1}{2},\frac{3xy}{\pi},\frac{3}{x+y},a+\frac{b}{5}$中,分式有().

A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个

A

根据分式的定义，分母中含有字母的式子为分式，在所给式子中$\frac{1}{x}$的分母中含有字母$x$，$\frac{3}{x + y}$的分母中含有字母$x$和$y$，而$-\frac{1}{3}$，$\frac{x^2 + 1}{2}=\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}$，$\frac{3xy}{\pi}$，$a+\frac{b}{5}=\frac{5a + b}{5}$的分母中均不含有字母。所以分式有$\frac{1}{x}$，$\frac{3}{x + y}$，共$2$个。

2.下列等式成立的是().

A.$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{3}{a+b}$
B.$\frac{2}{2a+b}=\frac{1}{a+b}$
C.$\frac{ab}{ab-b^2}=\frac{a}{a-b}$
D.$\frac{a}{-a+b}=-\frac{a}{a+b}$

C

本题可根据分式的基本性质逐一分析选项。
选项A：异分母分式相加，先通分，化为同分母分式，再相加。$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{b}{ab}+\frac{2a}{ab}=\frac{2a + b}{ab}\neq\frac{3}{a + b}$，所以选项A错误。
选项B：分式$\frac{2}{2a + b}$是最简分式，不能化为$\frac{1}{a + b}$，所以选项B错误。
选项C：对$\frac{ab}{ab - b^2}$的分子分母提取公因式$b$，可得$\frac{ab}{b(a - b)}$，因为$b\neq0$时，根据分式基本性质，分子分母同时除以$b$，得到$\frac{a}{a - b}$，所以选项C正确。
选项D：$\frac{a}{-a + b}=\frac{a}{-(a - b)}=-\frac{a}{a - b}\neq-\frac{a}{a + b}$，所以选项D错误。

3.分式方程$\frac{2}{x-2}+\frac{3x}{2-x}=1$的解为().

A.$x=1$
B.$x=2$
C.$x=\frac{1}{3}$
D.$x=0$

A

方程两边同乘$x - 2$得：$2 - 3x = x - 2$，移项得：$-3x - x = -2 - 2$，合并同类项得：$-4x = -4$，解得$x = 1$。检验：当$x = 1$时，$x - 2 = -1 ≠ 0$，所以$x = 1$是原方程的解。

4.解分式方程$\frac{2}{x-1}+\frac{x+2}{1-x}=3$时,去分母后变形正确的为().

A.$2+(x+2)=3(x-1)$
B.$2-x+2=3(x-1)$
C.$2-(x+2)=3$
D.$2-(x+2)=3(x-1)$

D

首先观察方程$\frac{2}{x-1}+\frac{x+2}{1-x}=3$，
注意到第二个分数的分母是$1-x$，可以将其变形为$-(x-1)$，
这样两个分数就有了共同的分母。
即：$\frac{2}{x-1} - \frac{x+2}{x-1} = 3$，
接下来，为了去除分母，将方程两边同时乘以$x-1$，得到：
$2 - (x + 2) = 3(x - 1)$。

5.若关于$x$的方程$\frac{2}{x-2}+\frac{x+m}{2-x}=2$的解为正数,则$m$的取值范围是().

A.$m＜6$
B.$m＞6$
C.$m＜6$且$m\neq0$
D.$m＞6$且$m\neq8$

C

方程两边同乘(x-2)得：2 - (x + m) = 2(x - 2)，化简得2 - x - m = 2x - 4，移项合并得3x = 6 - m，解得x = (6 - m)/3 = 2 - m/3。
∵方程的解为正数，∴2 - m/3 ＞ 0，解得m ＜ 6。
∵x = 2是增根（分母为0），∴2 - m/3 ≠ 2，解得m ≠ 0。
综上，m ＜ 6且m ≠ 0。

6.要使分式$\frac{1}{1-x}$有意义,则字母$x$的取值范围是

$x \neq 1$

要使分式$\frac{1}{1 - x}$有意义，分母不能为$0$，即$1 - x \neq 0$，解得$x \neq 1$。

7.计算:$\frac{a}{a+2}-\frac{4}{a^2+2a}=$

$\frac{a - 2}{a}$

$\begin{aligned}&\frac{a}{a+2}-\frac{4}{a^2+2a}\\=&\frac{a}{a+2}-\frac{4}{a(a+2)}\\=&\frac{a^2}{a(a+2)}-\frac{4}{a(a+2)}\\=&\frac{a^2 - 4}{a(a+2)}\\=&\frac{(a+2)(a - 2)}{a(a+2)}\\=&\frac{a - 2}{a}\end{aligned}$

8.若分式方程$\frac{x-a}{x+1}=a$无解,则$a$的值为

$\pm1$

方程两边乘$x + 1$得：$x - a = a(x + 1)$，整理得$x(1 - a) = 2a$。
分式方程无解分两种情况：
1. 整式方程无解：当$1 - a = 0$即$a = 1$时，$0·x = 2$无解，原方程无解；
2. 整式方程的解为增根：原方程增根为$x = -1$，代入$x(1 - a) = 2a$得$-1(1 - a) = 2a$，解得$a = -1$。
综上，$a = 1$或$-1$。

9.分式$\frac{x^2}{y}$的平方与分式$\frac{y^2}{x}$的平方的积除以$-xy^3$所得的商为

$-\frac{x}{y}$（或填写该式对应的选项字母，如果题目给出了选项的话，由于本题未给出选项，故填写化简后的结果）

根据题意，需要计算$\left( \left( \frac{x^2}{y} \right)^2 · \left( \frac{y^2}{x} \right)^2 \right) ÷ (-xy^3) $。
首先计算$\left( \frac{x^2}{y} \right)^2$和$\left( \frac{y^2}{x} \right)^2$：
$\left( \frac{x^2}{y} \right)^2 = \frac{x^4}{y^2}$，
$\left( \frac{y^2}{x} \right)^2 = \frac{y^4}{x^2}$，
然后，计算两者的乘积：
$\frac{x^4}{y^2} · \frac{y^4}{x^2} = \frac{x^4 · y^4}{y^2 · x^2} = \frac{x^2 · y^2}{1} = x^2y^2$，
（这里已经约去了公共的因子$x^2$和$y^2$）。
最后，将这个乘积除以$-xy^3$：
$\frac{x^2y^2}{-xy^3} = -\frac{x^2y^2}{xy^3} = -\frac{x}{y}$，
（这里约去了公共的因子$x$和$y^2$）。

10.若$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{a}{2n-1}+\frac{b}{2n+1}$对任意自然数$n$都成立,则$a=$,$b=$.
计算:$m=\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+···+\frac{1}{19×21}=$

$a=\frac{1}{2}；$$b= -\frac{1}{2}；$$m= \frac{10}{21}$

首先将分式$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$分解为部分分式：
$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{a}{2n-1} + \frac{b}{2n+1}$
将右边通分：
$\frac{a(2n+1) + b(2n-1)}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{(2a + 2b)n + (a - b)}{(2n-1)(2n+1)}$
比较分子，得到方程组：
$\begin{cases}2a + 2b = 0, \\a - b = 1.\end{cases}$
解得：
$a = \frac{1}{2}, \quad b = -\frac{1}{2}$
接下来计算数列的和：
$m = \frac{1}{1 × 3} + \frac{1}{3 × 5} + \frac{1}{5 × 7} + ··· + \frac{1}{19 × 21}$
利用部分分式分解，每项可以表示为：
$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)$
因此，数列的和可以表示为：
$m = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + ··· + \frac{1}{19} - \frac{1}{21} \right)$
观察上式，发现大部分项可以相互抵消，最终得到：
$m = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{21} \right) = \frac{1}{2} × \frac{20}{21} = \frac{10}{21}$