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1.下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是(
A.$x^{2}-1$
B.$4x^{2}+4x+4$
C.$x^{2}+2x+1$
D.$x^{2}-2x-1$
C
).A.$x^{2}-1$
B.$4x^{2}+4x+4$
C.$x^{2}+2x+1$
D.$x^{2}-2x-1$
答案
C
解析
完全平方公式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。
选项A：$x^2 - 1$是平方差形式，不符合完全平方公式。
选项B：$4x^2 + 4x + 4$，其中$4x^2=(2x)^2$，$4=2^2$，中间项应为$2×2x×2 = 8x$，而原式中间项是$4x$，不符合。
选项C：$x^2 + 2x + 1$，$x^2=x^2$，$1=1^2$，中间项$2x=2× x×1$，符合$a^2 + 2ab + b^2=(a + b)^2$，可分解为$(x + 1)^2$。
选项D：$x^2 - 2x - 1$，常数项为$-1$，不符合完全平方公式中常数项为正的要求。
选项A：$x^2 - 1$是平方差形式，不符合完全平方公式。
选项B：$4x^2 + 4x + 4$，其中$4x^2=(2x)^2$，$4=2^2$，中间项应为$2×2x×2 = 8x$，而原式中间项是$4x$，不符合。
选项C：$x^2 + 2x + 1$，$x^2=x^2$，$1=1^2$，中间项$2x=2× x×1$，符合$a^2 + 2ab + b^2=(a + b)^2$，可分解为$(x + 1)^2$。
选项D：$x^2 - 2x - 1$，常数项为$-1$，不符合完全平方公式中常数项为正的要求。
2.已知$a+b=3$,$a-b=2$,则$a^{2}-b^{2} =$(
A.3
B.4
C.5
D.6
D
).A.3
B.4
C.5
D.6
答案
D
解析
根据平方差公式，有$a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$。
已知$a + b = 3$，$a - b = 2$，代入得：
$a^{2} - b^{2} = 3 × 2 = 6$。
已知$a + b = 3$，$a - b = 2$，代入得：
$a^{2} - b^{2} = 3 × 2 = 6$。
3.下列6个多项式中,在实数范围内能因式分解的有(
①$t^{2}+2t-15$;②$a^{2}+1$;③$a^{2}-6a+9$;④$x^{2}+5y$;⑤$x^{2}-2$;⑥$2x^{2}-6x^{3}$.
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
B
).①$t^{2}+2t-15$;②$a^{2}+1$;③$a^{2}-6a+9$;④$x^{2}+5y$;⑤$x^{2}-2$;⑥$2x^{2}-6x^{3}$.
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
B
解析
①$t^{2}+2t - 15=(t + 5)(t - 3)$，能因式分解。
②$a^{2}+1$在实数范围内不能分解为两个一次因式的乘积，不能因式分解。
③$a^{2}-6a + 9=(a - 3)^{2}$，能因式分解。
④$x^{2}+5y$在实数范围内不能分解为两个多项式的乘积，不能因式分解。
⑤$x^{2}-2=(x+\sqrt{2})(x - \sqrt{2})$，能因式分解。
⑥$2x^{2}-6x^{3}=2x^{2}(1 - 3x)$，能因式分解。
能因式分解的有①③⑤⑥，共4个。
②$a^{2}+1$在实数范围内不能分解为两个一次因式的乘积，不能因式分解。
③$a^{2}-6a + 9=(a - 3)^{2}$，能因式分解。
④$x^{2}+5y$在实数范围内不能分解为两个多项式的乘积，不能因式分解。
⑤$x^{2}-2=(x+\sqrt{2})(x - \sqrt{2})$，能因式分解。
⑥$2x^{2}-6x^{3}=2x^{2}(1 - 3x)$，能因式分解。
能因式分解的有①③⑤⑥，共4个。
4.如果$a$,$b$,$c$是三角形的三边长,那么代数式$a^{2}+b^{2}-2ab-c^{2}$的值是(
A.负数
B.正数
C.非负数
D.非正数
A
).A.负数
B.正数
C.非负数
D.非正数
答案
A
解析
原式$a^{2} + b^{2} - 2ab - c^{2}$ 可以化简为 $(a - b)^{2} - c^{2}$，
根据平方差公式，可以进一步化简为 $(a - b - c)(a - b + c)$（根据三角形两边之差小于第三边，所以$a - b- c\lt0$，$a - b + c\gt0$（根据三角形两边之和大于第三边）），
由于$a, b, c$ 是三角形的三边长，根据三角形的三边关系有：
$a + c ＞ b$，即$a - b + c ＞ 0$，
$b + c ＞ a$，即$a - b - c ＜ 0$，
因此，$(a - b - c)(a - b + c) ＜ 0$，
所以，代数式 $a^{2} + b^{2} - 2ab - c^{2}$ 的值是负数。
根据平方差公式，可以进一步化简为 $(a - b - c)(a - b + c)$（根据三角形两边之差小于第三边，所以$a - b- c\lt0$，$a - b + c\gt0$（根据三角形两边之和大于第三边）），
由于$a, b, c$ 是三角形的三边长，根据三角形的三边关系有：
$a + c ＞ b$，即$a - b + c ＞ 0$，
$b + c ＞ a$，即$a - b - c ＜ 0$，
因此，$(a - b - c)(a - b + c) ＜ 0$，
所以，代数式 $a^{2} + b^{2} - 2ab - c^{2}$ 的值是负数。
5.关于$x$,$y$的多项式$x^{2}-4xy+5y^{2}+8y+15$的最小值为(
A.-1
B.0
C.1
D.2
A
).A.-1
B.0
C.1
D.2
答案
A
解析
将多项式$x^{2}-4xy+5y^{2}+8y+15$进行配方：
$x^{2}-4xy+5y^{2}+8y+15$
$=x^{2}-4xy + 4y^{2}+y^{2}+8y+15$
$=(x - 2y)^{2}+y^{2}+8y + 16 - 1$
$=(x - 2y)^{2}+(y + 4)^{2}-1$
因为$(x - 2y)^{2}\geqslant0$，$(y + 4)^{2}\geqslant0$，所以当$(x - 2y)^{2}=0$且$(y + 4)^{2}=0$时，多项式取得最小值$-1$。
$x^{2}-4xy+5y^{2}+8y+15$
$=x^{2}-4xy + 4y^{2}+y^{2}+8y+15$
$=(x - 2y)^{2}+y^{2}+8y + 16 - 1$
$=(x - 2y)^{2}+(y + 4)^{2}-1$
因为$(x - 2y)^{2}\geqslant0$，$(y + 4)^{2}\geqslant0$，所以当$(x - 2y)^{2}=0$且$(y + 4)^{2}=0$时，多项式取得最小值$-1$。
6.计算:$124×122-123^{2}=$.
答案
$-1$（如果选项有$-1$则选对应选项）
解析
本题可利用平方差公式$(a+b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$对$124×122$进行变形，然后再计算与$123^{2}$的差。
将$124$变形为$(123 + 1)$，$122$变形为$(123 - 1)$，则$124×122=(123 + 1)(123 - 1)$。
根据平方差公式可得$(123 + 1)(123 - 1)=123^{2}-1^{2}=123^{2}-1$。
那么$124×122 - 123^{2}=(123^{2}-1)-123^{2}=-1$。
将$124$变形为$(123 + 1)$，$122$变形为$(123 - 1)$，则$124×122=(123 + 1)(123 - 1)$。
根据平方差公式可得$(123 + 1)(123 - 1)=123^{2}-1^{2}=123^{2}-1$。
那么$124×122 - 123^{2}=(123^{2}-1)-123^{2}=-1$。
7.已知$a$,$b$满足$a^{2}+b^{2}-12a-6b+45=0$,且$a$,$b$为等腰$\triangle ABC$的边长,则$\triangle ABC$的周长是
15
.答案
15
解析
对$a^2 + b^2 - 12a - 6b + 45 = 0$配方，得$(a - 6)^2 + (b - 3)^2 = 0$，则$a = 6$，$b = 3$。
等腰$\triangle ABC$边长可能为$6,6,3$或$3,3,6$。
$3,3,6$中$3 + 3 = 6$，不满足三角形三边关系，舍去；
$6,6,3$满足三边关系，周长为$6 + 6 + 3 = 15$。
等腰$\triangle ABC$边长可能为$6,6,3$或$3,3,6$。
$3,3,6$中$3 + 3 = 6$，不满足三角形三边关系，舍去；
$6,6,3$满足三边关系，周长为$6 + 6 + 3 = 15$。
8.已知$\begin{cases}m+2n=3,\\m-2n=7,\end{cases}$则$m^{2}-4n^{2}$的值为 ______.
答案
21
解析
∵$\begin{cases}m + 2n = 3, \\m - 2n = 7. \end{cases}$
根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，这里$a = m$，$b = 2n$，则$m^2 - 4n^2=(m + 2n)(m - 2n)$。
把$m + 2n = 3$，$m - 2n = 7$代入上式可得：$m^2 - 4n^2=3×7 = 21$。
根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，这里$a = m$，$b = 2n$，则$m^2 - 4n^2=(m + 2n)(m - 2n)$。
把$m + 2n = 3$，$m - 2n = 7$代入上式可得：$m^2 - 4n^2=3×7 = 21$。
9.若$m-2n-2=0$,则$m^{2}-4mn+4n^{2}+5$的值是
9
.答案
9
解析
由已知条件$m - 2n - 2 = 0$，可得$m - 2n = 2$。
原式$m^{2} - 4mn + 4n^{2} + 5$可化简为$(m - 2n)^{2} + 5$。
将$m - 2n = 2$代入，得$2^{2} + 5 = 4 + 5 = 9$。
原式$m^{2} - 4mn + 4n^{2} + 5$可化简为$(m - 2n)^{2} + 5$。
将$m - 2n = 2$代入，得$2^{2} + 5 = 4 + 5 = 9$。
10.已知$3^{12}-1$可以被21和30之间的某两个数整除,则这两个数为
26，28
.答案
这两个数为26，28（题目要求选择或填写，由于格式要求这里直接给出数值，实际填写时应根据题目要求，若需选择则对应选项为包含这两个数的选项）。
解析
首先，我们考虑将$3^{12} - 1$进行因式分解。
利用平方差公式，我们有：
$3^{12} - 1 = (3^6)^2 - 1^2 = (3^6 + 1)(3^6 - 1)$
接着，我们继续对$3^6 - 1$进行分解：
$3^6 - 1 = (3^3)^2 - 1^2 = (3^3 + 1)(3^3 - 1) = 28 × 26$ （因为$3^3 = 27$）
所以，
$3^{12} - 1 = (3^6 + 1) × 26 × 28= (729 + 1) × 26 × 28 = 730 × 26 × 28$
现在，我们需要找出21和30之间的两个数，它们能整除$3^{12} - 1$。
观察上述分解结果，我们可以发现26和28都在21和30之间，并且它们都能整除$3^{12} - 1$。
利用平方差公式，我们有：
$3^{12} - 1 = (3^6)^2 - 1^2 = (3^6 + 1)(3^6 - 1)$
接着，我们继续对$3^6 - 1$进行分解：
$3^6 - 1 = (3^3)^2 - 1^2 = (3^3 + 1)(3^3 - 1) = 28 × 26$ （因为$3^3 = 27$）
所以，
$3^{12} - 1 = (3^6 + 1) × 26 × 28= (729 + 1) × 26 × 28 = 730 × 26 × 28$
现在，我们需要找出21和30之间的两个数，它们能整除$3^{12} - 1$。
观察上述分解结果，我们可以发现26和28都在21和30之间，并且它们都能整除$3^{12} - 1$。
11.(8分)因式分解.
(1)$m^{2}(m-n)^{2}-4(n-m)^{2}$
(2)$(x^{2}-1)^{2}-6(x^{2}-1)+9$
(1)$m^{2}(m-n)^{2}-4(n-m)^{2}$
(2)$(x^{2}-1)^{2}-6(x^{2}-1)+9$
答案
(1) $m^{2}(m-n)^{2}-4(n-m)^{2}$
$=m^{2}(m-n)^{2}-4(m-n)^{2}$
$=(m-n)^{2}(m^{2}-4)$
$=(m-n)^{2}(m-2)(m+2)$
(2) $(x^{2}-1)^{2}-6(x^{2}-1)+9$
$=(x^{2}-1-3)^{2}$
$=(x^{2}-4)^{2}$
$=(x-2)^{2}(x+2)^{2}$
$=m^{2}(m-n)^{2}-4(m-n)^{2}$
$=(m-n)^{2}(m^{2}-4)$
$=(m-n)^{2}(m-2)(m+2)$
(2) $(x^{2}-1)^{2}-6(x^{2}-1)+9$
$=(x^{2}-1-3)^{2}$
$=(x^{2}-4)^{2}$
$=(x-2)^{2}(x+2)^{2}$
