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1.若一个等腰三角形的一个内角是50°,则这个三角形的底角的大小是(
A.65°或50°
B.80°或40°
C.65°或80°
D.50°或80°
A
).A.65°或50°
B.80°或40°
C.65°或80°
D.50°或80°
答案
A
解析
本题可分情况讨论已知的$50^{\circ}$角是等腰三角形的底角还是顶角，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求解底角的大小。
情况一：当$50^{\circ}$角是等腰三角形的底角时，此时底角就是$50^{\circ}$。
情况二：当$50^{\circ}$角是等腰三角形的顶角时，设底角的度数为$x$，根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$50^{\circ}+2x = 180^{\circ}$，解得$2x=130^{\circ}$，即$x = 65^{\circ}$。
综上，这个三角形的底角的大小是$50^{\circ}$或$65^{\circ}$（选项A正确对应（50°或65°（即选项A符合）））。
情况一：当$50^{\circ}$角是等腰三角形的底角时，此时底角就是$50^{\circ}$。
情况二：当$50^{\circ}$角是等腰三角形的顶角时，设底角的度数为$x$，根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$50^{\circ}+2x = 180^{\circ}$，解得$2x=130^{\circ}$，即$x = 65^{\circ}$。
综上，这个三角形的底角的大小是$50^{\circ}$或$65^{\circ}$（选项A正确对应（50°或65°（即选项A符合）））。
2.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,∠A=36°,则∠1的度数为(
A.36°
B.60°
C.72°
D.108°
C
).A.36°
B.60°
C.72°
D.108°
答案
C
解析
在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，所以∠ABC=∠C=(180°-36°)/2=72°。因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC=72°/2=36°。在△BDC中，∠1=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°。
3.等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为(
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
A
).A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
答案
A
解析
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°。
∵BD、CE是角平分线，∴∠DBC=∠ECB=30°。
在△BOC中（O为BD、CE交点），∠BOC=180°-30°-30°=120°，
∴相交所夹锐角为180°-120°=60°。
∵BD、CE是角平分线，∴∠DBC=∠ECB=30°。
在△BOC中（O为BD、CE交点），∠BOC=180°-30°-30°=120°，
∴相交所夹锐角为180°-120°=60°。
4.如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE为中线,则图中共有(
A.4个
B.6个
C.3个
D.5个
A
)等腰三角形.A.4个
B.6个
C.3个
D.5个
答案
A
解析
∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形。
∵BD，CE为中线，∴E，D分别为AB，AC中点，∴AE=EB=AD=DC。
∵AE=AD，∴△AED是等腰三角形。
∵AB=AC，∠ABC=∠ACB，EB=DC，BC=BC，∴△BEC≌△BDC（SAS），∴BD=CE。
∵E，D为中点，∴ED//BC，∴△OED∽△OCB，相似比1:2，∴OE=OD，OB=OC。
∵OB=OC，∴△OBC是等腰三角形；∵OE=OD，∴△OED是等腰三角形。
综上，等腰三角形有△ABC，△AED，△OBC，△OED，共4个。
∵BD，CE为中线，∴E，D分别为AB，AC中点，∴AE=EB=AD=DC。
∵AE=AD，∴△AED是等腰三角形。
∵AB=AC，∠ABC=∠ACB，EB=DC，BC=BC，∴△BEC≌△BDC（SAS），∴BD=CE。
∵E，D为中点，∴ED//BC，∴△OED∽△OCB，相似比1:2，∴OE=OD，OB=OC。
∵OB=OC，∴△OBC是等腰三角形；∵OE=OD，∴△OED是等腰三角形。
综上，等腰三角形有△ABC，△AED，△OBC，△OED，共4个。
5.下列说法正确的是(
A.一腰相等的两个等腰三角形全等
B.等腰三角形底边上的中点到两腰距离相等
C.有一角相等和底边相等的两个等腰三角形全等
D.等腰三角形的角平分线、中线和高共有6条或3条
B
).A.一腰相等的两个等腰三角形全等
B.等腰三角形底边上的中点到两腰距离相等
C.有一角相等和底边相等的两个等腰三角形全等
D.等腰三角形的角平分线、中线和高共有6条或3条
答案
B
解析
A.一腰相等的两个等腰三角形，顶角或底角不一定相等，不全等，A错误；
B.等腰三角形底边上的中点在顶角平分线上，根据角平分线性质，到两腰距离相等，B正确；
C.一角相等未明确顶角或底角，若一角为顶角另一角为底角，即使底边相等也不全等，C错误；
D.等腰三角形（非等边）三线合一1条，其余角平分线、中线、高不重合，共7条；等边三角形3条，故D错误。
B.等腰三角形底边上的中点在顶角平分线上，根据角平分线性质，到两腰距离相等，B正确；
C.一角相等未明确顶角或底角，若一角为顶角另一角为底角，即使底边相等也不全等，C错误；
D.等腰三角形（非等边）三线合一1条，其余角平分线、中线、高不重合，共7条；等边三角形3条，故D错误。
6.若一个等腰三角形的一个底角是30°,则它顶角的度数是
120°
.答案
120°
解析
因为等腰三角形两底角相等，一个底角是30°，所以另一个底角也是30°。三角形内角和为180°，则顶角的度数为180° - 30° - 30° = 120°。
7.若一个等腰三角形两边的长分别为20cm和9cm,则第三边的长是
20
cm.答案
20
解析
等腰三角形两边的长分别为20cm和9cm，分两种情况讨论：
情况一：若20cm为腰长，则第三边（底边）为9cm，此时三角形的三边分别为20cm，20cm，9cm。
根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，$20 + 9＞20$，$20+20 ＞ 9$，$20 + 20＞9$（实际验证只需$20 + 9＞20$与$20+20 ＞ 9$中重点体现两边之和大于第三边核心情况即可），满足三边关系，这种情况成立。
情况二：若9cm为腰长，则第三边（底边）为20cm，此时三角形的三边分别为9cm，9cm，20cm。
因为$9 + 9 = 18＜20$，不满足三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，所以这种情况不成立。
情况一：若20cm为腰长，则第三边（底边）为9cm，此时三角形的三边分别为20cm，20cm，9cm。
根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，$20 + 9＞20$，$20+20 ＞ 9$，$20 + 20＞9$（实际验证只需$20 + 9＞20$与$20+20 ＞ 9$中重点体现两边之和大于第三边核心情况即可），满足三边关系，这种情况成立。
情况二：若9cm为腰长，则第三边（底边）为20cm，此时三角形的三边分别为9cm，9cm，20cm。
因为$9 + 9 = 18＜20$，不满足三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，所以这种情况不成立。
8.若一个等腰三角形底边的长为5cm,一腰上的中线把周长分为两部分的差为3cm,则腰长为
8
cm.答案
8
解析
设腰长为$x$cm，腰上的中线将腰分为两段，每段长$\frac{x}{2}$cm。周长被分为两部分：$x + \frac{x}{2} = \frac{3x}{2}$和$5 + \frac{x}{2}$。
情况1：$\frac{3x}{2} - (5 + \frac{x}{2}) = 3$，解得$x = 8$。
情况2：$(5 + \frac{x}{2}) - \frac{3x}{2} = 3$，解得$x = 2$。
验证三角形三边关系：当$x = 2$时，$2 + 2 = 4 ＜ 5$，不满足；当$x = 8$时，$8 + 5 ＞ 8$，$8 + 8 ＞ 5$，满足。故腰长为$8$。
情况1：$\frac{3x}{2} - (5 + \frac{x}{2}) = 3$，解得$x = 8$。
情况2：$(5 + \frac{x}{2}) - \frac{3x}{2} = 3$，解得$x = 2$。
验证三角形三边关系：当$x = 2$时，$2 + 2 = 4 ＜ 5$，不满足；当$x = 8$时，$8 + 5 ＞ 8$，$8 + 8 ＞ 5$，满足。故腰长为$8$。
9.如图,把矩形ABCD沿EF折叠,使点C落在点A处,点D落在点G处.若∠CFE=60°,且DE=1,则边BC的长为
3
.答案
3
解析
设矩形ABCD中，AD=BC=x，AB=CD=y。以B为原点(0,0)，建立坐标系，则B(0,0)，C(x,0)，A(0,y)，D(x,y)。
∵E在AD上，DE=1，∴E(x-1,y)。
折叠后C落在A处，折痕EF为AC的垂直平分线，AC中点((x/2,y/2))在EF上。设F(f,0)，由E、中点、F共线，得F(1,0)，故FC=x-1。
∠CFE=60°，向量FC=(x-1,0)，FE=(x-2,y)，夹角余弦值为1/2，得：
$\frac{(x-1)(x-2)}{\sqrt{(x-1)^2}·\sqrt{(x-2)^2+y^2}}=\frac{1}{2}$
化简得$y^2=3(x-2)^2$。
折叠后EC=EA，EA=x-1，EC=$\sqrt{1+y^2}$，故$\sqrt{1+y^2}=x-1$，平方得$1+y^2=(x-1)^2$。
联立得$1+3(x-2)^2=(x-1)^2$，解得x=3（x=2舍去），即BC=3。
∵E在AD上，DE=1，∴E(x-1,y)。
折叠后C落在A处，折痕EF为AC的垂直平分线，AC中点((x/2,y/2))在EF上。设F(f,0)，由E、中点、F共线，得F(1,0)，故FC=x-1。
∠CFE=60°，向量FC=(x-1,0)，FE=(x-2,y)，夹角余弦值为1/2，得：
$\frac{(x-1)(x-2)}{\sqrt{(x-1)^2}·\sqrt{(x-2)^2+y^2}}=\frac{1}{2}$
化简得$y^2=3(x-2)^2$。
折叠后EC=EA，EA=x-1，EC=$\sqrt{1+y^2}$，故$\sqrt{1+y^2}=x-1$，平方得$1+y^2=(x-1)^2$。
联立得$1+3(x-2)^2=(x-1)^2$，解得x=3（x=2舍去），即BC=3。
10.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,点E,F是AD的三等分点.若△ABC的面积为12$cm^2$,则图中阴影部分的面积为
4
$cm^2$.答案
4
解析
∵AB=AC，AD是BC边上的高，∴AD是△ABC的对称轴，BD=DC，S△ABD=S△ACD=$\frac{1}{2}$S△ABC=6cm²。
∵E，F是AD的三等分点，∴AE=EF=FD=$\frac{1}{3}$AD。设AD=3h，则FD=h。
在△ABD中，S△FBD=$\frac{1}{2}$×BD×FD，S△ABD=$\frac{1}{2}$×BD×AD=6cm²，∴S△FBD=$\frac{1}{3}$S△ABD=2cm²。
同理，S△FCD=2cm²。
阴影部分面积=S△FBD+S△FCD=2+2=4cm²。
∵E，F是AD的三等分点，∴AE=EF=FD=$\frac{1}{3}$AD。设AD=3h，则FD=h。
在△ABD中，S△FBD=$\frac{1}{2}$×BD×FD，S△ABD=$\frac{1}{2}$×BD×AD=6cm²，∴S△FBD=$\frac{1}{3}$S△ABD=2cm²。
同理，S△FCD=2cm²。
阴影部分面积=S△FBD+S△FCD=2+2=4cm²。
