11.(7分)如图,扇形$OAB$的圆心角$\angle AOB=120^{\circ}$,半径$OA=6 cm$.若将此扇形围成一个圆锥的侧面,求圆锥的底面面积的半径.

设圆锥底面的半径为 $r$。
扇形$OAB$的弧长公式为：
$l = \frac{\theta × \pi × R}{180}$，
其中，$\theta$ 是圆心角，$R$ 是半径。
将$\theta = 120^{\circ}$和$R = 6 cm$代入公式，得到：
$l = \frac{120 × \pi × 6}{180} = 4\pi cm$，
圆锥底面的周长等于扇形的弧长，即：
$2\pi r = 4\pi$，
解这个方程，得到：
$r = 2 cm$，
圆锥底面面积为：
$S=\pi r^2=4\pi cm^2$（题目要求半径所以只需求出半径即可，面积作为验证步骤可有可无）。
答：圆锥的底面半径为 $2 cm$。

12.(7分)如图,圆锥的底面半径为6 cm,高为8 cm.求这个圆锥的侧面积和表面积.

解：已知圆锥底面半径 $ r = 6 \, cm $，高 $ h = 8 \, cm $。
1. 求母线长 $ l $
由勾股定理，$ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, cm $。
2. 求侧面积 $ S_{ 侧} $
$ S_{ 侧} = \pi r l = \pi × 6 × 10 = 60\pi \, cm^2 $。
3. 求底面积 $ S_{ 底} $
$ S_{ 底} = \pi r^2 = \pi × 6^2 = 36\pi \, cm^2 $。
4. 求表面积 $ S_{ 表} $
$ S_{ 表} = S_{ 侧} + S_{ 底} = 60\pi + 36\pi = 96\pi \, cm^2 $。
侧面积为 $ 60\pi \, cm^2 $，表面积为 $ 96\pi \, cm^2 $。

13.(8分)如图,已知$PA$为$\odot O$的切线,$A$为切点,$B$为$\odot O$上一点,$\angle AOB=120^{\circ}$,过点$B$作$BC\bot PA$于点$C$,$BC$交$\odot O$于点$D$,连接$AB$,$AD$.
(1)求证:$OD$平分$\angle AOB$.
(2)若$OA=2 cm$,求阴影部分的面积.

(1)
因为 $BC \perp PA$，
$\therefore \angle ACO = 90°$。
$\because \angle AOB = 120°$，
$\therefore \angle AOC = 180° - \angle AOB = 60°$。
由于 $OA = OC$（均为半径），
$\therefore \triangle OAC$ 是等边三角形。
$\because \angle AOB = 1AOC（即60°） + \angle BOC（即60°） = 120°$，
$\therefore \angle BOC = 60°$。
$\because OB = OD$（均为半径），
$\therefore \triangle OBD$ 是等边三角形，
$\therefore \angle GOD = \angle DOA$，
即 $OD$ 平分 $\angle AOB$。
(2)
由题意，得
$\because \angle OBD = 60°$，
$\therefore \triangle OBD$ 是等边三角形，
$\therefore \angle ODB = \angle DOB = 60°,OC \perp CD$，
$\therefore \angle P = \angle ODA = 30°$，
$\because DA$ 是 $\odot O$ 内接三角形 $ODA$ 的一边，
$\therefore \angle OAD = 90°$，即 $AD \perp OD$，
$\therefore S_{ 阴影} = S_{\triangle OAD} - S_{ 扇形 ODI（即DOA部分）}$
$ = \frac{1}{2} × OA × DA - \frac{1}{12} × \pi × OA^2$
$ = \frac{1}{2} × 2 × 2\sqrt{3} - \frac{1}{12} × \pi × 4$
$ = 2\sqrt{3} - \frac{\pi}{3} × 4 × \frac{1}{4}$
$ = 2\sqrt{3} - \frac{4\pi}{12}$
$ = 2\sqrt{3} - \frac{\pi}{3} (cm^2)$
即阴影部分的面积为$2\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$。

(1)证明：∵PA为⊙O切线，∴OA⊥PA（切线性质）。
∵BC⊥PA，∴OA//BC（垂直于同一直线的两直线平行）。
∴∠AOB + ∠OBC=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵∠AOB=120°，∴∠OBC=60°。
∵OB=OD（⊙O半径），∴△OBD中，∠OBD=∠ODB=60°，
∴∠BOD=60°。
∵∠AOB=120°，∴∠AOD=∠AOB - ∠BOD=60°，
∴∠AOD=∠BOD，即OD平分∠AOB。
(2)解：由(1)知∠AOD=60°，OA=OD=2cm，∴△OAD为等边三角形，AD=OA=2cm，∠OAD=60°。
∵OA⊥PA，∴∠CAD=90° - 60°=30°。
在Rt△ACD中，AD=2cm，∠CAD=30°，∴CD=AD·sin30°=1cm，AC=AD·cos30°=√3cm。
∵△OBD为等边三角形（∠OBD=60°，OB=OD），∴BD=OB=2cm。
∴S△ABD=1/2·BD·AC=1/2×2×√3=√3(cm²)。

14.(8分)如图①,在等腰$\triangle ABC$中,当顶角$\angle A$的大小确定时,它的邻边(即腰$AB$或$AC$)与对边(即底边$BC$)的比值也就确定了,我们把这个比值记作$T(A)$,即$T(A)=\frac{\angle A 的对边(底边)}{\angle A 的邻边(腰)}=\frac{BC}{AC}$.
例如:当$\angle A=60^{\circ}$时,$T(60^{\circ})=1$.
(1)理解巩固:$T(90^{\circ})=$,$T(120^{\circ})=$,$T(A)$的取值范围是.
(2)学以致用:如图②,圆锥的母线长为18,底面直径$PQ=14$,一只蚂蚁从点$P$沿着圆锥的侧面爬行到点$Q$,求蚂蚁爬行的最短路径长.[精确到0.1,参考数据:$T(140^{\circ})\approx0.53$,$T(70^{\circ})\approx0.87$,$T(35^{\circ})\approx1.66$.]

（1）
当$\angle A = 90^{\circ}$时：
在等腰$\triangle ABC$中，$\angle A = 90^{\circ}$，$AB = AC$，根据勾股定理$BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{2}AC$，由$T(A)=\frac{BC}{AC}$，可得$T(90^{\circ})=\sqrt{2}$。
当$\angle A = 120^{\circ}$时：
过$A$作$AD\perp BC$于$D$，因为$AB = AC$，所以$BD = CD$，$\angle B=\angle C = 30^{\circ}$。设$AD = x$，则$AB = AC = 2x$，根据勾股定理$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{3}x$，$BC = 2BD = 2\sqrt{3}x$，由$T(A)=\frac{BC}{AC}$，可得$T(120^{\circ})=\sqrt{3}$。
求$T(A)$的取值范围：
因为$0^{\circ}\lt A\lt180^{\circ}$，设$AB = AC = 1$，$BC = 2\sin\frac{A}{2}$（根据正弦定理$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$，$\angle B=\angle C=\frac{180 - A}{2}$，$BC = 2AC\sin\frac{A}{2}$），$T(A)=\frac{BC}{AC}=2\sin\frac{A}{2}$。
因为$0\lt\frac{A}{2}\lt90^{\circ}$，$y = \sin x$在$(0,\frac{\pi}{2})$上单调递增，$\sin0^{\circ}\lt\sin\frac{A}{2}\lt\sin90^{\circ}$，即$0\lt\sin\frac{A}{2}\lt1$，所以$0\lt T(A)\lt2$。
故答案依次为：$\sqrt{2}$；$\sqrt{3}$；$0\lt T(A)\lt2$。
2（2）
解：圆锥底面圆的周长$C=\pi d=\pi×14 = 14\pi$（$d$为底面直径）。
设圆锥侧面展开图的圆心角为$n^{\circ}$，根据圆锥侧面展开图扇形弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$（$r$为母线长），这里$l = 14\pi$，$r = 18$，则$14\pi=\frac{n\pi×18}{180}$，解得$n = 140$。
圆锥侧面展开图是扇形，蚂蚁爬行的最短路径是扇形的弦$PQ$。
已知母线长$l = 18$，$T(140^{\circ})\approx0.53$，由$T(A)=\frac{PQ}{l}$（这里$A = 140^{\circ}$，$l$为母线长），可得$PQ=T(140^{\circ})×18\approx0.53×18 = 9.5$。
所以蚂蚁爬行的最短路径长约为$9.5$。