14.(8分)如图,已知二次函数$y = ax^2 + 2x + c$的图象经过点$C(0,3)$,与$x$轴分别交于点$A$、点$B(3,0)$,点$P$是直线$BC$上方的抛物线上一动点.
(1)求二次函数$y = ax^2 + 2x + c$的表达式.
(2)连接$PO$,$PC$,并把$\triangle POC$沿$y$轴翻折,得到四边形$POP'C$.若四边形$POP'C$为菱形,请求出此时点$P$的坐标.
(3)当点$P$运动到什么位置时,四边形$ACPB$的面积最大? 求出此时点$P$的坐标和四边形$ACPB$的最大面积.

(1)$y=-x^2+2x+3$；(2)$(\frac{2+\sqrt{10}}{2},\frac{3}{2})$；(3)$P(\frac{3}{2},\frac{15}{4})$，$\frac{75}{8}$。

(1) 将点$C(0,3)$代入$y=ax^2+2x+c$，得$c=3$。
将点$B(3,0)$代入$y=ax^2+2x+3$，得$0=9a+6+3$，解得$a=-1$。
∴二次函数表达式为$y=-x^2+2x+3$。
(2) 设$P(x,y)$，沿$y$轴翻折后$P'(-x,y)$。
四边形$POP'C$为菱形，则$PP'$与$OC$互相垂直平分。
$OC$中点为$(0,\frac{3}{2})$，$PP'$中点为$(0,y)$，故$y=\frac{3}{2}$。
代入抛物线方程：$\frac{3}{2}=-x^2+2x+3$，即$2x^2-4x-3=0$。
解得$x=\frac{2\pm\sqrt{10}}{2}$。
∵点$P$在直线$BC$上方，直线$BC:y=-x+3$，当$x=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$时，$y=\frac{3}{2}＜-x+3$（舍去）。
∴$x=\frac{2+\sqrt{10}}{2}$，即$P(\frac{2+\sqrt{10}}{2},\frac{3}{2})$。
(3) 点$A(-1,0)$，四边形$ACPB$面积$S=\frac{3}{2}(x+y+1)$，$y=-x^2+2x+3$。
代入得$S=\frac{3}{2}(-x^2+3x+4)$，对称轴$x=\frac{3}{2}$。
当$x=\frac{3}{2}$时，$y=-(\frac{3}{2})^2+2×\frac{3}{2}+3=\frac{15}{4}$。
最大面积$S=\frac{3}{2}(-(\frac{3}{2})^2+3×\frac{3}{2}+4)=\frac{75}{8}$。
∴$P(\frac{3}{2},\frac{15}{4})$，最大面积$\frac{75}{8}$。