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1.现有下列式子:$\frac{15}{x+y},\frac{9a}{23},2-\frac{2}{a},\frac{1}{m},\frac{5xy}{6},\frac{1}{x},\frac{x^{2}+1}{2},\frac{3xy}{\pi}$.其中,分式有(
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
C
).A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
C
解析
判断分式的依据是分母中是否含有字母。$\frac{15}{x+y}$分母含字母，是分式；$\frac{9a}{23}$分母为常数，不是分式；$2 - \frac{2}{a}$可变形为$\frac{2a - 2}{a}$，分母含字母，是分式；$\frac{1}{m}$分母含字母，是分式；$\frac{5xy}{6}$分母为常数，不是分式；$\frac{1}{x}$分母含字母，是分式；$\frac{x^2 + 1}{2}$分母为常数，不是分式；$\frac{3xy}{\pi}$中$\pi$是常数，分母为常数，不是分式。综上，分式有$\frac{15}{x+y},2 - \frac{2}{a},\frac{1}{m},\frac{1}{x}$，共4个。
2.下列分式中,无论$x$取何值,一定有意义的是(
A.$\frac{x-1}{x+1}$
B.$\frac{x-1}{x}$
C.$\frac{x+1}{x^{2}-1}$
D.$\frac{x-1}{x^{2}+1}$
D
).A.$\frac{x-1}{x+1}$
B.$\frac{x-1}{x}$
C.$\frac{x+1}{x^{2}-1}$
D.$\frac{x-1}{x^{2}+1}$
答案
D
解析
分式有意义条件为分母不为零，对各选项逐一分析：
A：当$x+1 = 0$即$x=-1$时，分式无意义；
B：当$x = 0$时，分式无意义；
C：当$x^{2}-1=0$，即$x=\pm1$时，分式无意义；
D：因为$x^{2}\geq0$，所以$x^{2}+1\geq1$，无论$x$取何值，$x^{2}+1\neq0$，分式一定有意义。
A：当$x+1 = 0$即$x=-1$时，分式无意义；
B：当$x = 0$时，分式无意义；
C：当$x^{2}-1=0$，即$x=\pm1$时，分式无意义；
D：因为$x^{2}\geq0$，所以$x^{2}+1\geq1$，无论$x$取何值，$x^{2}+1\neq0$，分式一定有意义。
3.已知分式$\frac{3x+2}{5x-4}$,要使分式的值等于零,则$x$等于(
A.$\frac{4}{5}$
B.$-\frac{4}{5}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$-\frac{2}{3}$
D
).A.$\frac{4}{5}$
B.$-\frac{4}{5}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$-\frac{2}{3}$
答案
D
解析
要使分式$\frac{3x+2}{5x-4}$的值为零，需满足分子为零且分母不为零。
即$3x + 2 = 0$，解得$x = -\frac{2}{3}$。
同时验证分母：$5x - 4 \neq 0$，代入$x = -\frac{2}{3}$，得$5 × (-\frac{2}{3}) - 4 = -\frac{10}{3} - 4 = -\frac{22}{3} \neq 0$，满足条件。
即$3x + 2 = 0$，解得$x = -\frac{2}{3}$。
同时验证分母：$5x - 4 \neq 0$，代入$x = -\frac{2}{3}$，得$5 × (-\frac{2}{3}) - 4 = -\frac{10}{3} - 4 = -\frac{22}{3} \neq 0$，满足条件。
4.下列式子中,从左至右的变形一定正确的是(
A.$\frac{a}{b}=\frac{a+m}{b+m}$
B.$\frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}$
C.$\frac{ak}{bk}=\frac{a}{b}$
D.$\frac{a}{b}=\frac{a^{2}}{b^{2}}$
C
).A.$\frac{a}{b}=\frac{a+m}{b+m}$
B.$\frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}$
C.$\frac{ak}{bk}=\frac{a}{b}$
D.$\frac{a}{b}=\frac{a^{2}}{b^{2}}$
答案
C
解析
选项A：分式的分子和分母同时加上一个不为0的数，分式的值不一定不变，例如$\frac{1}{2} \neq \frac{1+1}{2+1} = \frac{2}{3}$，所以A错误；
选项B：当$c=0$时，$\frac{ac}{bc}$无意义，所以B错误；
选项C：因为$bk$是分母，所以$bk \neq 0$，则$k \neq 0$，根据分式的基本性质，分子分母同时除以$k$，分式的值不变，所以$\frac{ak}{bk} = \frac{a}{b}$，C正确；
选项D：例如$\frac{1}{2} \neq \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$，所以D错误。
选项B：当$c=0$时，$\frac{ac}{bc}$无意义，所以B错误；
选项C：因为$bk$是分母，所以$bk \neq 0$，则$k \neq 0$，根据分式的基本性质，分子分母同时除以$k$，分式的值不变，所以$\frac{ak}{bk} = \frac{a}{b}$，C正确；
选项D：例如$\frac{1}{2} \neq \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$，所以D错误。
5.如果把分式$\frac{xy}{x+y}$中的$x$和$y$都扩大2倍,那么分式的值(
A.扩大2倍
B.扩大4倍
C.不变
D.缩小2倍
A
).A.扩大2倍
B.扩大4倍
C.不变
D.缩小2倍
答案
A
解析
设原分式为 $\frac{xy}{x+y}$，将 $x$ 和 $y$ 都扩大 2 倍，即 $2x$ 和 $2y$，代入分式得：
$\frac{(2x)(2y)}{2x+2y} = \frac{4xy}{2(x+y)} = \frac{2xy}{x+y}$。
比较原分式 $\frac{xy}{x+y}$，新分式的值为原分式值的 2 倍，即分式的值扩大 2 倍。
6.已知分式$\frac{2x-m}{x+n}$,当$x=2$时,分式的值为0;当$x=1$时,分式无意义.那么,$m+n=$
3
.答案
3
解析
当分式的值为0时，分子为0且分母不为0。当$x=2$时，分式的值为0，所以分子$2x - m = 0$，即$2×2 - m = 0$，解得$m = 4$。
当分式无意义时，分母为0。当$x=1$时，分式无意义，所以分母$x + n = 0$，即$1 + n = 0$，解得$n = -1$。
则$m + n = 4 + (-1) = 3$。
当分式无意义时，分母为0。当$x=1$时，分式无意义，所以分母$x + n = 0$，即$1 + n = 0$，解得$n = -1$。
则$m + n = 4 + (-1) = 3$。
7.分式$\frac{1}{a^{2}-4},\frac{a}{2a-4}$的最简公分母是
2(a+2)(a-2)
.答案
$2(a+2)(a-2)$
解析
先对分母分解因式，$a^2 - 4=(a + 2)(a - 2)$，$2a - 4=2(a - 2)$。最简公分母是各分母所有因式的最高次幂的乘积，所以最简公分母为$2(a + 2)(a - 2)$。
8.分式$\frac{a^{2}-1}{a^{2}+2a+1}$的值为0的条件是
A
.答案
（这里假设选项中正确值为$a = 1$对应的选项）A
解析
要使分式$\frac{a^{2}-1}{a^{2}+2a+1}$的值为$0$，则需要满足分子$a^{2}-1 = 0$且分母$a^{2}+2a + 1\neq 0$。由$a^{2}-1 = 0$，根据平方差公式可得$(a + 1)(a - 1)=0$，解得$a = 1$或$a=-1$；由$a^{2}+2a + 1\neq 0$，根据完全平方公式可得$(a + 1)^{2}\neq 0$，即$a\neq - 1$。所以$a = 1$。
9.将$\frac{(a-b)^{2}}{(b-a)^{2}}$约分后的结果是
1
,将$\frac{x-1}{x^{2}-1}$约分后的结果是$\frac{1}{x + 1}$
.答案
第一空填$1$；第二空填$\frac{1}{x + 1}$（（若用选项形式，第一空选含$1$的选项，第二空选含$\frac{1}{x + 1}$的选项））。
解析
对于$\frac{(a-b)^{2}}{(b-a)^{2}}$，因为$(b - a)^2 = (a - b)^2$，所以$\frac{(a - b)^2}{(b - a)^2}=\frac{(a - b)^{2}}{(a - b)^{2}} = 1$。
对于$\frac{x - 1}{x^{2}-1}$，根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得$x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)$，则$\frac{x - 1}{x^{2}-1}=\frac{x - 1}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{1}{x + 1}$。
对于$\frac{x - 1}{x^{2}-1}$，根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得$x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)$，则$\frac{x - 1}{x^{2}-1}=\frac{x - 1}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{1}{x + 1}$。
10.观察下列分式:$\frac{x^{3}}{y},\frac{x^{5}}{y^{2}},\frac{x^{7}}{y^{3}},\frac{x^{9}}{y^{4}},···$(其中$x\neq0$).按照上述规律,第6个分式为
$\frac{x^{13}}{y^{6}}$
.答案
$\frac{x^{13}}{y^{6}}$
解析
由题可知，分式的分子为 $x$ 的奇次幂，分母为 $y$ 的正整数次幂。
第一个分式：$\frac{x^{3}}{y} = \frac{x^{2×1 + 1}}{y^{1}}$；
第二个分式：$\frac{x^{5}}{y^{2}} = \frac{x^{2×2 + 1}}{y^{2}}$；
第三个分式：$\frac{x^{7}}{y^{3}} = \frac{x^{2×3 + 1}}{y^{3}}$；
以此类推，第$n$个分式为 $\frac{x^{2n + 1}}{y^{n}}$。
当 $n = 6$ 时，代入上述公式，得到第6个分式为 $\frac{x^{13}}{y^{6}}$。
第一个分式：$\frac{x^{3}}{y} = \frac{x^{2×1 + 1}}{y^{1}}$；
第二个分式：$\frac{x^{5}}{y^{2}} = \frac{x^{2×2 + 1}}{y^{2}}$；
第三个分式：$\frac{x^{7}}{y^{3}} = \frac{x^{2×3 + 1}}{y^{3}}$；
以此类推，第$n$个分式为 $\frac{x^{2n + 1}}{y^{n}}$。
当 $n = 6$ 时，代入上述公式，得到第6个分式为 $\frac{x^{13}}{y^{6}}$。
