12.(7分)如图,在$\triangle ABC$中$,\angle B=90°$,$AB=5\mathrm {cm}$,$BC=7\mathrm {cm}$,点$P$从点$A$开始沿$AB$边向点$B$以$1\mathrm {cm/s}$的速度移动,点$Q$从点$B$开始沿$BC$边向点$C$以$2\mathrm {cm/s}$的速度移动.当$P$,$Q$出发几秒时,四边形$ACQP$的面积有最小值?最小面积是多少?

设运动时间为$ t $秒，$ 0 \leq t \leq 3.5 $（$ Q $到达$ C $时$ t=3.5 $）。
1. 线段长度：
$ AP = t \, cm $，则$ PB = AB - AP = (5 - t) \, cm $；
$ BQ = 2t \, cm $。
2. 面积表达式：
$ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 5 × 7 = \frac{35}{2} \, cm^2 $；
$ S_{\triangle BPQ} = \frac{1}{2} × PB × BQ = \frac{1}{2} × (5 - t) × 2t = t(5 - t) = 5t - t^2 $；
四边形$ ACQP $面积$ S = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle BPQ} = \frac{35}{2} - (5t - t^2) = t^2 - 5t + \frac{35}{2} $。
3. 二次函数求最值：
$ S = t^2 - 5t + \frac{35}{2} $，$ a=1＞0 $，开口向上，对称轴$ t = -\frac{b}{2a} = \frac{5}{2} = 2.5 $。
$ t=2.5 $在$ [0, 3.5] $内，代入得：
$ S_{ min} = (2.5)^2 - 5 × 2.5 + \frac{35}{2} = 6.25 - 12.5 + 17.5 = \frac{45}{4} \, cm^2 $。
结论：出发2.5秒时，四边形$ ACQP $面积最小，最小面积为$ \frac{45}{4} \, cm^2 $。
$\boxed{2.5}$秒，最小面积$\boxed{\dfrac{45}{4} \, cm^2}$

13.(8分)某商店购进一批成本为每件$30$元的商品,经调查发现:该商品每天的销售量$y$(件)与销售单价$x$(元)之间满足一次函数关系,其图象如图所示.
(1)求该商品每天的销售量$y$与销售单价$x$之间的函数关系式.
(2)若商店按单价不低于成本价,且不高于$50$元销售,销售单价定为多少,才能使销售该商品每天获得的利润$w$(元)最大?最大利润是多少?
(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于$800$元,每天的销售量最少应为多少件?

(1)$y=-2x+160$；(2)单价50元，最大利润1200元；(3)20件。

(1)设该一次函数关系式为$y=kx+b$，由图象可知函数过点$(30,100)$和$(45,70)$。
代入得：$\begin{cases}100=30k+b\\70=45k+b\end{cases}$
解得$k=-2$，$b=160$，
$\therefore y=-2x+160$。
(2)利润$w=(x-30)y=(x-30)(-2x+160)=-2x^2+220x-4800$，
对称轴$x=-\frac{220}{2×(-2)}=55$，
$\because a=-2＜0$，且$30\leq x\leq50$，
$\therefore$当$x=50$时，$w$最大，
$w_{ max}=(50-30)(-2×50+160)=20×60=1200$。
(3)令$w=800$，则$(x-30)(-2x+160)=800$，
解得$x_1=40$，$x_2=70$，
$\because y=-2x+160$随$x$增大而减小，
$\therefore$当$x=70$时，$y_{ min}=-2×70+160=20$。