7. 一个长方形三个顶点的坐标为(0,0),(2,0),(0,4),则第四个顶点的坐标为()

A.(-2,4)
B.(-2,0)
C.(2,4)
D.(4,2)

C

已知长方形三个顶点坐标为(0,0)，(2,0)，(0,4)。在平面直角坐标系中，长方形对边平行且相等，相邻两边垂直。点(0,0)与(2,0)在x轴上，两点间距离为2；点(0,0)与(0,4)在y轴上，两点间距离为4。则第四个顶点的横坐标与(2,0)的横坐标相同为2，纵坐标与(0,4)的纵坐标相同为4，即坐标为(2,4)。

8. 点 M 到 x 轴的距离是 2,到 y 轴的距离是 3,且在 y 轴的左侧,则点 M 的坐标是()

A.(-3,-2)
B.(-3,2)
C.(-3,-2)或(-3,2)
D.(3,-2)

C

根据题目条件，点 $M$ 到 $x$ 轴的距离是 2，到 $y$ 轴的距离是 3，且点 $M$ 在 $y$ 轴的左侧。
点到$x$轴的距离为该点的纵坐标的绝对值，所以点$M$的纵坐标绝对值为$2$，即纵坐标为$\pm2$。
点到$y$轴的距离为该点的横坐标的绝对值，且点$M$在$y$轴左侧，所以横坐标为负数，即横坐标为$-3$。
综合以上信息，点 $M$ 的坐标有两种可能：$(-3, 2)$ 或 $(-3, -2)$。

9. 如图,长方形 ABCD 位于第一象限,AB//x 轴,AD//y 轴。已知 P(a,b)是长方形 ABCD(含边界)内的一个动点,A,C 的坐标如图所示,则 $\frac{b}{a}$ 的最大值与最小值分别是()

A.$4,\frac{1}{4}$
B.$3,\frac{1}{4}$
C.$4,\frac{1}{3}$
D.$3,\frac{1}{3}$

B

由题意知长方形顶点坐标：A(1,1)，B(4,1)，C(4,3)，D(1,3)。动点P(a,b)满足1≤a≤4，1≤b≤3。
求$\frac{b}{a}$最大值：需分子b最大（3）且分母a最小（1），此时P(1,3)，$\frac{b}{a}=3$；
求$\frac{b}{a}$最小值：需分子b最小（1）且分母a最大（4），此时P(4,1)，$\frac{b}{a}=\frac{1}{4}$。
最大值为3，最小值为$\frac{1}{4}$。

10. 下列说法正确的是()

A.点(1,-a²)一定在第四象限
B.若 ab=0,则点 P(a,b)表示原点
C.已知点 A(3,-1),AB//y 轴,且 AB=2,则 B 点的坐标为(3,1)
D.已知点 A(-3,-3)与点 B(-3,3),则直线 AB 平行于 y 轴

D

A.当a=0时，点(1,-a²)为(1,0)，在x轴上，不在第四象限，A错误；B.若ab=0，则a=0或b=0，点P(a,b)在坐标轴上，不一定是原点，B错误；C.AB//y轴，A(3,-1)，则B点横坐标为3，AB=2，B点纵坐标为-1+2=1或-1-2=-3，B点坐标为(3,1)或(3,-3)，C错误；D.A(-3,-3)与B(-3,3)横坐标相同，直线AB平行于y轴，D正确。

11. 在某个电影院里,如果用(5,8)表示 5 排 8 号,那么 3 排 2 号可以表示为 。

(3,2)

12. 若(1,2)表示教室里第 1 列第 2 排的位置,则教室里第 4 列第 3 排的位置可以表示为 。

(4,3)

13. 园林部门为了对古树名木进行系统养护,建立了相关的地理信息系统,其中重要的一条就是要确定这些树的位置。某森林公园的 6 棵古松树(S₁,S₂,S₃,S₄,S₅,S₆)位置如图所示。若 S₄ 的坐标是(2,0),S₅ 的坐标是(1,-2),则 S₁ 的坐标为 。

要确定$S_1$的坐标，需先根据已知点$S_4(2,0)$和$S_5(1,-2)$确定平面直角坐标系的原点位置及单位长度。
1. 确定原点位置：
$S_4$的坐标为$(2,0)$，其$y$坐标为$0$，故$S_4$在$x$轴上，且位于原点右侧$2$个单位长度处。因此，原点在$S_4$左侧$2$个单位长度，与$S_4$同一水平线上（即$y=0$）。
$S_5$的坐标为$(1,-2)$，其$x$坐标为$1$（原点右侧$1$个单位），$y$坐标为$-2$（原点下方$2$个单位）。结合$S_4$位置，验证原点在$S_4$左侧$2$个单位、$S_5$左侧$1$个单位且上方$2$个单位处，确定原点$O(0,0)$。
2. 确定$S_1$的坐标：
在网格中，$S_1$位于原点左侧$3$个单位长度（$x=-3$），上方$3$个单位长度（$y=3$）。
综上，$S_1$的坐标为$(-3,3)$。
$(-3,3)$

14. 如图,在△ACB 中,∠ACB=90°,AC=BC,点 C 的坐标为(-2,0),点 A 的坐标为(-6,3),则 B 点的坐标是 。

$(1,4)$

设点$ B $的坐标为$(x,y)$。
1. 计算$ AC $的长度：
点$ A(-6,3) $，点$ C(-2,0) $，根据距离公式：
$ AC = \sqrt{(-6 - (-2))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5 $。
因为$ AC = BC $，所以$ BC = 5 $。
2. 利用垂直关系求斜率：
直线$ AC $的斜率$ k_{AC} = \frac{0 - 3}{-2 - (-6)} = \frac{-3}{4} = -\frac{3}{4} $。
因为$ AC \perp BC $，所以直线$ BC $的斜率$ k_{BC} = \frac{4}{3} $（两垂直直线斜率乘积为$-1$）。
3. 求直线$ BC $的方程：
直线$ BC $过点$ C(-2,0) $，斜率为$\frac{4}{3}$，方程为$ y = \frac{4}{3}(x + 2) $。
4. 根据$ BC = 5 $列方程：
由距离公式得$ \sqrt{(x + 2)^2 + y^2} = 5 $，平方后：$(x + 2)^2 + y^2 = 25 $。
5. 联立方程求解：
将$ y = \frac{4}{3}(x + 2) $代入$(x + 2)^2 + y^2 = 25$，设$ t = x + 2 $，则$ t^2 + \left(\frac{4}{3}t\right)^2 = 25 $，解得$ t = \pm 3 $。
当$ t = 3 $时，$ x = 1 $，$ y = 4 $；
当$ t = -3 $时，$ x = -5 $，$ y = -4 $。
6. 根据图形判断位置：
点$ A(-6,3) $在第二象限，点$ C(-2,0) $在$ x $轴，结合图形可知$ B $在第一象限，故$ B(1,4) $。

15. 如图,在直角坐标平面内,点 A 的坐标为(3,0),点 B 的坐标为(0,3),点 C 的坐标为(c,0)(c＜0)。若在坐标平面内存在点 D,使以点 A,B,D 为顶点的三角形与△ABC 全等,且 ∠BAD 与 ∠ABC 是对应角,那么点 D 的坐标为 (用含 c 的代数式表示)。

∵点A(3,0)，B(0,3)，C(c,0)(c＜0)，以A,B,D为顶点的三角形与△ABC全等，且∠BAD与∠ABC是对应角。
1. 确定对应关系：∠BAD对应∠ABC，故∠BAD=∠ABC，其夹边AB=BA，AD=BC，第三边BD=AC。
2. 计算边长：
AC=3 - c（c＜0），
BC=√(c² + 9)，
AB=3√2。
3. 求点D坐标：设D(x,y)，由AD=BC且BD=AC，结合坐标距离公式联立方程：
AD=√[(x - 3)² + y²]=√(c² + 9)，
BD=√[x² + (y - 3)²]=3 - c。
4. 解方程：展开并化简得y=x + c，代入AD方程解得x=0，y=c。
故点D的坐标为(0,c)。
(0,c)