1 下列计算正确的是（）

A.$(a^{5})^{2}=a^{7}$
B.$x^{4}· x^{4}=x^{8}$
C.$(a^{2}b^{3})^{5}=a^{7}b^{8}$
D.$2m(m^{2}+n)=2m^{3}+2m$

1. B

【分析】这道题考查整式的基本运算，需回忆幂的乘方、同底数幂乘法、积的乘方及单项式乘多项式的运算法则，逐一计算各选项结果，对比后找出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得$(a^5)^2=a^{5×2}=a^{10}$，选项给出的是$a^7$，故A错误。
2. 选项B：根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$x^4·x^4=x^{4+4}=x^8$，与选项结果一致，故B正确。
3. 选项C：根据积的乘方法则，积的乘方等于各因式乘方的积，结合幂的乘方计算：$(a^2b^3)^5=(a^2)^5·(b^3)^5=a^{10}b^{15}$，选项给出的是$a^7b^8$，故C错误。
4. 选项D：根据单项式乘多项式法则，用单项式乘多项式的每一项再相加，可得$2m(m^2+n)=2m·m^2+2m·n=2m^3+2mn$，选项给出的是$2m^3+2m$，漏乘了$n$，故D错误。
【答案】B
【知识点】幂的乘方、同底数幂乘法、单项式乘多项式
【点评】本题是整式运算的基础题，考查核心运算法则，属于学生需熟练掌握的内容，只要牢记法则即可正确判断，难度较低。
【难度系数】0.7

2 某同学在计算$-3x$加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是$3x^{3}-3x^{2}+3x$，由此可以推断出正确的计算结果是（）

A.$-x^{2}-2x-1$
B.$x^{2}+2x-1$
C.$-x^{2}+4x-1$
D.$x^{2}-4x+1$

2. A

【分析】要解决本题，需先根据错误的乘法运算结果求出未知多项式，再通过正确的加法运算得到答案。首先设未知多项式为$A$，利用“错误乘法中，一个乘数×另一个乘数=积”，可通过除法求出$A$，再计算$-3x + A$即可得到正确结果。
【解析】设所求多项式为$A$，根据题意，错算时的式子为：$-3x · A = 3x^3 - 3x^2 + 3x$，因此：
$A = (3x^3 - 3x^2 + 3x) ÷ (-3x)$
计算得：$A = -x^2 + x - 1$
正确的计算为：$-3x + A = -3x + (-x^2 + x - 1) = -x^2 - 2x - 1$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】整式的乘除、整式的加减
【点评】本题考查整式的乘除与加减运算，核心是通过错误的乘法关系求出未知多项式，再计算正确结果，需注意运算中的符号处理，属于基础题型。
【难度系数】0.6

3 若 $x^{2}+2mx+16$ 是完全平方式,则 $(m-1)^{2}+2$ 的值是（）

A.11
B.3
C.11 或 27
D.3 或 11

3. C

【分析】首先明确完全平方式的结构为$a^2\pm2ab+b^2$，对于$x^2+2mx+16$，可将其对应为完全平方式，确定中间项的两种可能，进而求出$m$的取值，再代入代数式计算即可。
【解析】因为$x^2+2mx+16$是完全平方式，根据完全平方式的定义，形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子为完全平方式，这里$a=x$，$b^2=16$，则$b=\pm4$，因此中间项$2mx=\pm2· x·4$，即$2m=\pm8$，解得$m=4$或$m=-4$。
当$m=4$时，$(m-1)^2+2=(4-1)^2+2=9+2=11$；
当$m=-4$时，$(m-1)^2+2=(-4-1)^2+2=25+2=27$；
所以$(m-1)^2+2$的值是11或27，对应选项C。
【答案】C
【知识点】完全平方式、代数式求值
【点评】本题考查完全平方式的应用，核心是掌握完全平方式的结构特征，注意中间项存在正负两种情况，需避免漏解，属于基础题型。
【难度系数】0.6

4 若$(a+3b)^{2}=11,a-3b=4$,则$ab$的值是（）

A.$-\dfrac{9}{4}$
B.$\dfrac{7}{12}$
C.$-\dfrac{5}{12}$
D.$\dfrac{9}{4}$

4. C

【分析】本题需要利用完全平方公式展开已知等式，通过两式相减消元求出ab的值。首先对已知的两个式子分别展开，再将展开后的式子相减，即可计算出ab。
【解析】已知$(a + 3b)^2 = 11$，根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$展开得：$a^2 + 6ab + 9b^2 = 11$ ①；又已知$a - 3b = 4$，两边平方得：$(a - 3b)^2 = 16$，展开得：$a^2 - 6ab + 9b^2 = 16$ ②；用① - ②，左边化简为$(a^2 +6ab +9b^2)-(a^2 -6ab +9b^2)=12ab$，右边为$11 -16=-5$，因此$12ab=-5$，解得$ab=-\frac{5}{12}$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】完全平方公式、代数式求值
【点评】本题考查完全平方公式的应用，通过对已知等式平方后相减消去相同项，快速求出目标代数式的值，属于基础题型，需熟练掌握完全平方公式的展开形式。
【难度系数】0.6

5 小冬以长方形$ABCD$的四条边为边分别向外作四个正方形,设计出“中”字图案如图所示. 若长方形$ABCD$的相邻两边之差为 8,且四个正方形的面积之和为 160,则长方形$ABCD$的面积是 （）

A.7
B.8
C.9
D.10

5. B 【解析】由题意,得$AB-BC=8$,$\therefore (AB-BC)^{2}=64$.$\therefore AB^{2}-2AB· BC+BC^{2}=64$.$\because$ 四个正方形的面积之和为160,$\therefore 2(AB^{2}+BC^{2})=160$.$\therefore AB^{2}+BC^{2}=80$.$\therefore 80-2AB· BC=64$.$\therefore AB· BC=8$.$\therefore$ 长方形$ABCD$的面积是8.

【分析】首先设长方形ABCD的长为AB，宽为BC，根据题意可知相邻两边的差为8，四个正方形的面积和等于2倍的长和宽的平方和，利用完全平方公式展开，将已知条件代入即可求出长方形的长与宽的乘积，也就是长方形的面积。
【解析】设长方形ABCD的长为AB，宽为BC，由题意得：
1. 相邻两边之差为8，即 $ AB - BC = 8 $；
2. 四个正方形的面积之和为160，四个正方形的面积分别为 $ AB^2 $、$ BC^2 $、$ AB^2 $、$ BC^2 $，因此 $ AB^2 + BC^2 + AB^2 + BC^2 = 160 $，整理得 $ 2(AB^2 + BC^2) = 160 $，即 $ AB^2 + BC^2 = 80 $；
3. 对 $ AB - BC = 8 $ 两边平方，根据完全平方公式 $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $，得 $ (AB - BC)^2 = AB^2 - 2AB·BC + BC^2 = 64 $；
4. 将 $ AB^2 + BC^2 = 80 $ 代入上式，得 $ 80 - 2AB·BC = 64 $，解得 $ AB·BC = 8 $，而长方形ABCD的面积为 $ AB·BC $，故面积为8。
【答案】B
【知识点】完全平方公式、长方形面积、正方形面积
【点评】本题结合几何图形面积，利用代数中的完全平方公式求解，关键是将长方形面积转化为长与宽的乘积，通过已知条件逐步推导得出结果，属于代数与几何结合的基础题。
【难度系数】0.6

6 已知$2^{a}=4,2^{b}=12,2^{c}=6$,则$a,b,c$之间满足的关系是（）

A.$a+c=b+1$
B.$a+c=2b$
C.$ac=2b$
D.$a:b:c=1:3:2$

6. A 【解析】$\because 2^{a}=4,2^{b}=12,2^{c}=6$,$\therefore 2^{b} × 2=12 × 2$,即$2^{b+1}=24$.$\because 4 × 6=24$,$\therefore 2^{a} · 2^{c}=2^{b+1}$.$\therefore 2^{a+c}=2^{b+1}$.$\therefore a+c=b+1$.

【分析】要推导a、b、c的关系，需利用同底数幂的乘法法则，先观察已知幂的数值关联，将$2^a$与$2^c$相乘，结合$2^b$的数值转化为指数等式，进而确定三者关系。
【解析】已知$2^a=4$，$2^b=12$，$2^c=6$，根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$2^a · 2^c = 2^{a+c}$。计算数值：$2^a · 2^c =4×6=24$，而$2^b ×2=12×2=24$，即$2^{b+1}=24$，因此$2^{a+c}=2^{b+1}$，根据指数相等的性质，可得$a+c=b+1$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法，指数相等的性质
【点评】本题考查同底数幂乘法法则的应用，核心是将幂的数值关系转化为指数关系，属于基础运算题，需熟练掌握幂的基本运算性质。
【难度系数】0.6

7 计算：
(1) $9xy · (-\dfrac{1}{3}x^{2}y)=$；
(2) $(-8)^{11} × 0.125^{10}=$。

7. (1) $-3x^{3}y^{2}$ (2) $-8$

【分析】
第(1)小题是单项式与单项式相乘，需运用单项式乘法法则：系数相乘，同底数幂分别相乘，单独的字母连同指数作为积的因式；第(2)小题是幂的综合运算，需拆分指数后逆用积的乘方性质简化计算，核心是掌握幂的运算规则。
【解析】
(1) 根据单项式乘法法则：
系数相乘：$9 × (-\dfrac{1}{3}) = -3$；
同底数幂$x$相乘：$x · x^2 = x^{1+2} = x^3$；
同底数幂$y$相乘：$y · y = y^{1+1} = y^2$；
因此结果为$-3x^3y^2$。
(2) 先拆分指数：$(-8)^{11} = (-8)^{10} × (-8)$；
逆用积的乘方性质：$(-8)^{10} × 0.125^{10} = (-8 × 0.125)^{10} = (-1)^{10} = 1$；
再计算剩余项：$1 × (-8) = -8$。
【答案】
(1) $-3x^{3}y^{2}$；(2) $-8$
【知识点】
单项式乘法、积的乘方逆运算
【点评】
本题为整式运算的基础题型，考查单项式乘法法则和幂的运算性质，需熟练掌握运算法则及逆用，是巩固代数运算能力的典型题目。
【难度系数】
0.6

8 已知单项式$3x^{2}y^{3}$与$-5x^{3}y^{2}$的乘积为$mx^{5}y^{n}$，则$m-n=$.

8. $-20$

【分析】
要解决这个问题，需先运用单项式乘单项式的运算法则计算两个单项式的乘积，再根据对应项相等求出$m$和$n$的值，最后计算$m-n$。单项式相乘时，系数相乘作为积的系数，同底数幂分别相乘，底数不变指数相加。
【解析】
计算单项式$3x^{2}y^{3}$与$-5x^{3}y^{2}$的乘积：
1. 系数相乘：$3×(-5)=-15$；
2. $x$的指数相加：$2+3=5$；
3. $y$的指数相加：$3+2=5$；
因此乘积为$-15x^{5}y^{5}$，结合题目中乘积为$mx^{5}y^{n}$，可得$m=-15$，$n=5$；
则$m-n=-15-5=-20$。
【答案】
$-20$
【知识点】
单项式乘单项式，同底数幂的乘法
【点评】
本题考查单项式乘法法则的基础应用，属于简单运算题，只要掌握单项式相乘的运算法则就能正确求解。
【难度系数】
0.8

9 已知$(x^{2}+mx+n)(x^{2}-3x+2)$的展开式中不含$x^{2}$和$x$的项，则$m=$,$n=$.

9. $\dfrac{6}{7}$ $\dfrac{4}{7}$

【分析】
要解决这个问题，需先将两个多项式相乘展开并合并同类项，再根据“展开式中不含$x^2$和$x$的项”这一条件，得出这两项的系数为0，进而建立方程组求解$m$和$n$的值。
【解析】
先展开多项式$(x^2 + mx + n)(x^2 - 3x + 2)$：
$\begin{aligned}&(x^2 + mx + n)(x^2 - 3x + 2)\\=&x^2 · x^2 + x^2 · (-3x) + x^2 · 2 + mx · x^2 + mx · (-3x) + mx · 2 + n · x^2 + n · (-3x) + n · 2\\=&x^4 - 3x^3 + 2x^2 + mx^3 - 3mx^2 + 2mx + nx^2 - 3nx + 2n\end{aligned}$
合并同类项：
$x^4 + (m - 3)x^3 + (2 - 3m + n)x^2 + (2m - 3n)x + 2n$
因为展开式不含$x^2$和$x$的项，所以这两项的系数为0，可得方程组：
$\begin{cases}2 - 3m + n = 0 \\2m - 3n = 0\end{cases}$
由第二个方程得$m = \frac{3n}{2}$，代入第一个方程：
$2 - 3 · \frac{3n}{2} + n = 0 \implies 2 - \frac{9n}{2} + n = 0 \implies 2 = \frac{7n}{2} \implies n = \frac{4}{7}$
将$n = \frac{4}{7}$代入$m = \frac{3n}{2}$，得$m = \frac{3 × \frac{4}{7}}{2} = \frac{6}{7}$。
【答案】
$\dfrac{6}{7}$，$\dfrac{4}{7}$
【知识点】
多项式乘多项式，解二元一次方程组
【点评】
本题考查多项式乘法的展开与同类项系数的应用，核心是利用“不含某一项则该项系数为0”的性质建立方程，解题关键是正确展开合并同类项，属于基础题型。
【难度系数】
0.5

10 已知$a^{2}+ab=6,ab+b^{2}=3,a-b=1$,则$a+b=$.

10. $3$

【分析】本题要求计算$a+b$的值，观察已知的两个等式，将它们相减可得到$a^2 - b^2$，而$a^2 - b^2$可利用平方差公式分解为$(a-b)(a+b)$，结合已知的$a-b=1$，就能直接求出$a+b$，无需单独求解$a$和$b$，简化计算过程。
【解析】已知$a^2+ab=6$，$ab+b^2=3$，两式相减得：
$(a^2+ab)-(ab+b^2)=6-3$
化简得：$a^2 - b^2 = 3$
根据平方差公式：$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$
又已知$a-b=1$，代入得：$1×(a+b)=3$
解得：$a+b=3$
【答案】3
【知识点】代数式求值、平方差公式
【点评】本题考查平方差公式的应用，运用整体思想简化计算，避免了复杂的求解过程，属于基础题型，重点考查学生对公式的灵活运用能力。
【难度系数】0.6

11 已知 $2×8^{n}×16^{2n}=2^{34}$, 则 $n=$.

11. $3$

【分析】
本题考查幂的运算，解题思路是先将等式左边的各项转化为以2为底数的幂，再利用幂的乘方、同底数幂的乘法法则化简，最后根据等式两边同底数幂的指数相等建立方程，求解得到n的值。
【解析】
将等式左边的各项都转化为以2为底数的幂：
因为$8 = 2^3$，$16 = 2^4$，所以：
$\begin{aligned}2×8^n×16^{2n}&=2×(2^3)^n×(2^4)^{2n}\\&=2×2^{3n}×2^{8n}\\&=2^{1 + 3n + 8n}\\&=2^{1 + 11n}\end{aligned}$
已知$2×8^n×16^{2n}=2^{34}$，则等式两边同底数幂的指数相等，可得：
$1 + 11n = 34$
解方程：
$11n = 34 - 1 = 33$
$n = 3$
【答案】
3
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方
【点评】
本题是幂运算的基础应用题，核心是掌握幂的乘方和同底数幂的乘法法则，通过转化底数建立方程求解，难度较低，属于必拿分的基础题。
【难度系数】
0.6

12 已知整式$x^{2}+2x$可以利用完全平方公式变形为$(x+1)^{2}-1$，进而可知$x^{2}+2x$的最小值是$-1$.
依此方法，整式$x^{2}+y^{2}+4x-y+5$的最小值是.

12. $\dfrac{3}{4}$

【分析】
要找到整式$x^2 + y^2 +4x - y +5$的最小值，需仿照题目中用完全平方公式变形的方法，对含$x$和$y$的项分别配方，将整式转化为几个完全平方式与常数的和的形式，再根据平方的非负性确定最小值。
【解析】
对整式$x^2 + y^2 +4x - y +5$分别对$x$、$y$的项配方：
1. 处理含$x$的项：$x^2 +4x = (x^2 +4x +4) -4 = (x+2)^2 -4$；
2. 处理含$y$的项：$y^2 - y = (y^2 - y + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} = (y - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$；
将上述结果代入原式：
$\begin{aligned}原式&=(x+2)^2 -4 + (y - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} +5\\&=(x+2)^2 + (y - \frac{1}{2})^2 + (-4 - \frac{1}{4} +5)\\&=(x+2)^2 + (y - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}\end{aligned}$
因为任何数的平方都为非负数，即$(x+2)^2 ≥0$，$(y - \frac{1}{2})^2 ≥0$，所以当$(x+2)^2=0$且$(y - \frac{1}{2})^2=0$时，整式取得最小值，最小值为$\frac{3}{4}$。
【答案】
$\dfrac{3}{4}$
【知识点】
配方法的应用、完全平方公式、非负数的性质
【点评】
本题通过配方法将多项式转化为完全平方式与常数的和，利用平方的非负性求最值，是配方法求代数式最值的典型应用，关键在于正确对各项进行配方变形。
【难度系数】
0.5

13 计算：
(1) $-(a^{4})^{2}· (-a^{2})^{3}$；
(2) $5a^{2}b ÷ (-\dfrac{1}{3}ab)· 2ab^{2}$；
(3) $(6x^{4}-8x^{3}) ÷ (-2x^{2})-(3x+2)(1-x)$。

13. (1) $a^{14}$ (2) $-30a^{2}b^{2}$ (3) $3x-2$

【分析】
本题考查整式的运算，需按幂的运算法则、整式乘除混合运算顺序逐步计算，注意符号处理和运算顺序：
(1) 先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法，处理负号；
(2) 整式乘除是同级运算，从左到右依次计算，系数与同底数幂分别运算；
(3) 先算多项式除以单项式，再算多项式乘多项式，最后合并同类项。
【解析】
(1) 先计算幂的乘方：
$-(a^{4})^{2}=-a^{4×2}=-a^{8}$，$(-a^{2})^{3}=-a^{2×3}=-a^{6}$；
再计算同底数幂乘法：
原式$=-a^{8}·(-a^{6})=a^{8+6}=a^{14}$。
(2) 按从左到右顺序计算：
先算除法：$5a^{2}b ÷ (-\dfrac{1}{3}ab)=5×(-3)·a^{2-1}·b^{1-1}=-15a$；
再算乘法：原式$=-15a·2ab^{2}=-30a^{1+1}b^{2}=-30a^{2}b^{2}$。
(3) 分步计算：
第一步：多项式除以单项式：
$(6x^{4}-8x^{3})÷(-2x^{2})=6x^{4}÷(-2x^{2}) -8x^{3}÷(-2x^{2})=-3x^{2}+4x$；
第二步：多项式乘多项式：
$(3x+2)(1-x)=3x·1 -3x·x +2·1 -2·x=3x -3x^{2}+2 -2x$；
第三步：合并同类项：
原式$=(-3x^{2}+4x)-(3x -3x^{2}+2 -2x)=-3x^{2}+4x -3x +3x^{2}-2 +2x=3x -2$。
【答案】
(1) $a^{14}$；(2) $-30a^{2}b^{2}$；(3) $3x-2$
【知识点】
幂的乘方、同底数幂乘法、整式的乘除运算
【点评】
本题为整式运算基础题型，涵盖幂的运算、整式乘除、多项式运算等核心知识点，需熟练掌握运算法则和运算顺序，注意符号处理，是巩固整式运算的典型题目。
【难度系数】
0.5