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8.解不等式组$\begin{cases}2x+5≤ 3(x+2), \\2x-\dfrac{1+3x}{2}＜1 \end{cases}$ 把不等式组的解集在数轴上表示出来,并写出不等式组的非负整数解.
答案
8.解集为-1≤x＜3;在数轴上表示略;非负整数解有:0,1,2.
9.要使关于x的方程$5x-2m=3x-6m+1$的解在-3与4之间，m必须在哪个范围内取值？
答案
9.$-\dfrac{7}{4}＜m＜\dfrac{7}{4}$
10.如图，∠BAD和∠BCD的平分线相交于点N，AN交BC于点M，CN交AD于点E.
(1)若∠B=32°,∠D=38°,求∠N的度数；
(2)若∠B,∠D为任意角度,求∠N与∠B,∠D之间的数量关系.
(1)若∠B=32°,∠D=38°,求∠N的度数；
(2)若∠B,∠D为任意角度,求∠N与∠B,∠D之间的数量关系.
答案
解：
(1) 因为AN平分∠BAD，CN平分∠BCD，
所以$∠ BAN = ∠ DAN = \frac{1}{2}∠ BAD$，$∠ BCN = ∠ DCN = \frac{1}{2}∠ BCD$。
在$△ ABM$和$△ NCM$中，$∠ AMB = ∠ NMC$，
所以$∠ B + ∠ BAN = ∠ N + ∠ BCN \quad ①$。
在$△ NAE$和$△ DCE$中，$∠ AEN = ∠ DEC$，
所以$∠ D + ∠ DCN = ∠ N + ∠ DAN \quad ②$。
将①+②，得：
$∠ B + ∠ BAN + ∠ D + ∠ DCN = 2∠ N + ∠ BCN + ∠ DAN$，
消去等式两边相等的角，可得$∠ B + ∠ D = 2∠ N$。
代入$∠ B=32°$，$∠ D=38°$，
得$∠ N = \frac{1}{2}×(32°+38°) = 35°$。
(2) 由(1)的推导可知，对任意$∠ B$、$∠ D$，都满足$∠ B + ∠ D = 2∠ N$，
即$\boldsymbol{∠ N = \frac{1}{2}(∠ B + ∠ D)}$。
(1) 因为AN平分∠BAD，CN平分∠BCD，
所以$∠ BAN = ∠ DAN = \frac{1}{2}∠ BAD$，$∠ BCN = ∠ DCN = \frac{1}{2}∠ BCD$。
在$△ ABM$和$△ NCM$中，$∠ AMB = ∠ NMC$，
所以$∠ B + ∠ BAN = ∠ N + ∠ BCN \quad ①$。
在$△ NAE$和$△ DCE$中，$∠ AEN = ∠ DEC$，
所以$∠ D + ∠ DCN = ∠ N + ∠ DAN \quad ②$。
将①+②，得：
$∠ B + ∠ BAN + ∠ D + ∠ DCN = 2∠ N + ∠ BCN + ∠ DAN$，
消去等式两边相等的角，可得$∠ B + ∠ D = 2∠ N$。
代入$∠ B=32°$，$∠ D=38°$，
得$∠ N = \frac{1}{2}×(32°+38°) = 35°$。
(2) 由(1)的推导可知，对任意$∠ B$、$∠ D$，都满足$∠ B + ∠ D = 2∠ N$，
即$\boldsymbol{∠ N = \frac{1}{2}(∠ B + ∠ D)}$。
