9. 已知一个等腰三角形的一个外角是$120°$，则该等腰三角形的顶角是。

解：
分两种情况讨论：
① 若120°的外角是顶角的邻角，
则顶角 = $180° - 120° = 60°$，
此时底角为$\frac{180° - 60°}{2}=60°$，符合三角形内角和定理；
② 若120°的外角是底角的邻角，
则底角 = $180° - 120° = 60°$，
此时顶角 = $180° - 2×60° = 60°$，符合三角形内角和定理。
综上，该等腰三角形的顶角是$\boldsymbol{60°}$。

10.小刚准备去河里打一桶水送去王奶奶家。如图，，小刚的家在A处，王奶奶的家在B处，A，B两点到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD。若点A到河岸CD的中点的距离为1 000 m，则小刚从A处到河里打水再送去王奶奶家的最短距离是 m。

$\boldsymbol{2000}$

解：
作点A关于直线CD的对称点A'，连接A'B，交CD于点M，点M即为河边取水点，此时AM+BM为小刚行走的最短距离。
∵ $AC⊥ CD$，$BD⊥ CD$
∴ $∠ ACM = ∠ BDM = 90°$
由轴对称性质得：$A'C = AC$，$AM = A'M$
又∵ $AC = BD$
∴ $A'C = BD$
在$△ A'CM$和$△ BDM$中：
$\{\begin{array}{l}∠ A'CM = ∠ BDM \\A'C = BD \\∠ A'MC = ∠ BMD\end{array} $
∴ $△ A'CM ≌ △ BDM$（AAS）
∴ $CM = DM$，即M是CD的中点，且$A'M = BM$
已知点A到河岸CD中点的距离为1000 m，即$AM = 1000\ \mathrm{m}$
∴ $BM = AM = 1000\ \mathrm{m}$
∴ 最短距离$AM + BM = 1000 + 1000 = 2000\ \mathrm{m}$

11.如图，在$△ ABC$中，$BC$的垂直平分线分别交$AC$，$BC$于点$D$，$E$。若$△ ABD$的周长为$15$，$BE＝4$，则$△ ABC$的周长为。

$\boldsymbol{23}$

解：
∵ DE是BC的垂直平分线，
∴ BD=DC，BE=EC。
∵ BE=4，
∴ BC=2BE=8。
∵ △ABD的周长为15，
∴ AB + AD + BD = 15，
代入BD=DC，得AB + AD + DC = AB + AC = 15，
∴ △ABC的周长 = AB + AC + BC = 15 + 8 = 23。

12. 如图，已知$∠ AOB = 90°$。在$∠ AOB$的内部，按下列步骤作图：
(1)在OC上取一点M，以点O为圆心，以OM为半径画弧交射线OA于点N；
(2)以点N为圆心，线段MN的长为半径画弧交前弧于点D；
(3)以点O为端点，作射线OD。

若$∠ BOC = 25°$，则$∠ COD$的度数为。

$\boldsymbol{130°}$

解：连接DN、MN，
由作图可得：$OD=OM=ON$，$DN=MN$。
在$△ ODN$和$△ OMN$中，
$\begin{cases}OD=OM \\ON=ON \\DN=MN\end{cases}$
$\therefore △ ODN ≌ △ OMN(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ DON = ∠ MON$。
$\because ∠ AOB=90°$，$∠ BOC=25°$，
$\therefore ∠ MON = ∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC = 90° - 25° = 65°$，
$\therefore ∠ DON=65°$，
$\therefore ∠ COD = ∠ DON + ∠ AOC = 65° + 65° = 130°$。

13. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，$M$是$BC$边上一点，$AC=6$，$AB=8$，$BC=10$，若点$M_1$和点$M$关于$AB$对称，点$M_2$和点$M$关于$AC$对称，则点$M_1,M_2$之间的距离的最小值是，取得最小值时$∠ M_1MM_2$的度数是。

$\frac{48}{5}$；$90°$

解：连接AM，
∵ 点$M_1$和点$M$关于$AB$对称，
∴ $AB$垂直平分$MM_1$，得$AM=AM_1$，$∠ M_1AB=∠ MAB$。
∵ 点$M_2$和点$M$关于$AC$对称，
∴ $AC$垂直平分$MM_2$，得$AM=AM_2$，$∠ M_2AC=∠ MAC$。
∵ $∠ BAC=90°$，
∴ $∠ M_1AM_2=∠ M_1AB+∠ MAB+∠ MAC+∠ M_2AC=2(∠ MAB+∠ MAC)=2∠ BAC=180°$，
∴ $M_1$、$A$、$M_2$三点共线，
∴ $M_1M_2=AM_1+AM_2=2AM$。
根据垂线段最短，当$AM⊥ BC$时，$AM$取得最小值，此时$M_1M_2$最小。
由直角三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· AC=\frac{1}{2}· BC· AM$，
代入$AB=8$，$AC=6$，$BC=10$，得：
$AM=\frac{AB· AC}{BC}=\frac{8×6}{10}=\frac{24}{5}$，
∴ $M_1M_2$的最小值为$2×\frac{24}{5}=\frac{48}{5}$。
由轴对称性质，$MM_1⊥ AB$，又$AC⊥ AB$，故$MM_1// AC$；
同理$MM_2⊥ AC$，$AB⊥ AC$，故$MM_2// AB$，
因此$∠ M_1MM_2=∠ BAC=90°$。

14.如图，某公园内有两条小路AB，AC，摩天轮、碰碰车分别位于A，C两处，现计划在公园内修建一个游客休息区P，使得游客休息区P到小路AB的距离与游客休息区P到小路AC的距离相等，且$PA=PC$，请运用尺规作图法在图中确定游客休息区P的位置。（不写作法，保留作图痕迹）

解：
分别作∠BAC的角平分线、线段AC的垂直平分线，两条线在公园内的交点即为所求的点P，保留尺规作图对应的圆弧痕迹，标注点P即可。