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1.小明用$a$小时清点完一批图书的一半，小强加入清点另一半图书的工作，两人合作$\frac{6}{5}$小时清点完另一半图书.设小强单独清点完这批图书需要$x$小时.
(1)若$a=3$，求小强单独清点完这批图书需要的时间；
(2)请用含$a$的代数式表示$x$，并说明$a$满足什么条件时$x$的值符合实际意义.
(1)若$a=3$，求小强单独清点完这批图书需要的时间；
(2)请用含$a$的代数式表示$x$，并说明$a$满足什么条件时$x$的值符合实际意义.
答案
解:(1)依题意得:$(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{x})× \dfrac{6}{5}=\dfrac{1}{2}$，
解得 $x=4$，
经检验:$x=4$ 是原分式方程的解.
答:小强单独清点完这批图书需要 4 小时.
(2)依题意得:$(\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{x})× \dfrac{6}{5}=\dfrac{1}{2}$，
解得 $x=\dfrac{12a}{5a-6}$，
$x$ 的值符合实际意义时，$\begin{cases}a＞0\\x＞0\end{cases}$，$\therefore a＞\dfrac{6}{5}$.
解得 $x=4$，
经检验:$x=4$ 是原分式方程的解.
答:小强单独清点完这批图书需要 4 小时.
(2)依题意得:$(\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{x})× \dfrac{6}{5}=\dfrac{1}{2}$，
解得 $x=\dfrac{12a}{5a-6}$，
$x$ 的值符合实际意义时，$\begin{cases}a＞0\\x＞0\end{cases}$，$\therefore a＞\dfrac{6}{5}$.
解析
【分析】
本题属于工程类分式方程应用题，解题核心是将总工作总量设为1，利用“工作效率=工作总量÷工作时间”表示各主体的工作效率，再结合等量关系列方程求解。
(1)先根据a=3求出小明的工作效率，再依据“两人效率和×合作时间=剩余工作量$\frac{1}{2}$”列分式方程，求解后检验根的合理性即可得到小强单独完成的时间；
(2)把a作为参数，同样按照上述等量关系列方程，用含a的代数式表示x，再结合实际意义中工作时间必须为正数的要求，列不等式求解a的取值范围。
【解析】
(1)当$a=3$时，小明3小时清点完一半图书，因此小明的工作效率为$\frac{1}{2}÷3=\frac{1}{6}$。
设小强单独清点完这批图书需要$x$小时，小强的工作效率为$\frac{1}{x}$，根据题意列方程：
$(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{x})× \dfrac{6}{5}=\dfrac{1}{2}$
解得 $x=4$，
经检验：$x=4$ 时原方程分母不为0，是原分式方程的解，且符合实际意义。
答:小强单独清点完这批图书需要 4 小时。
(2)小明$a$小时清点完一半图书，因此小明的工作效率为$\frac{1}{2}÷a=\frac{1}{2a}$，根据题意列方程：
$(\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{x})× \dfrac{6}{5}=\dfrac{1}{2}$
整理方程得$x(5a-6)=12a$，解得 $x=\dfrac{12a}{5a-6}$，
$x$ 的值符合实际意义时，工作时间需为正数，即$\begin{cases}a＞0\\x＞0\end{cases}$，因$a＞0$，故$5a-6＞0$，解得$a＞\dfrac{6}{5}$。
【答案】
(1)4小时；
(2)$x=\dfrac{12a}{5a-6}$，$a＞\dfrac{6}{5}$时x的值符合实际意义。
【知识点】
1.工程问题应用题
2.分式方程求解
3.分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程应用的常考题型，解题关键是熟练掌握工程问题的基本数量关系，列分式方程后注意检验解是否符合实际意义，含参数的求解需结合实际量的取值限制确定参数范围。
【难度系数】
0.65
本题属于工程类分式方程应用题，解题核心是将总工作总量设为1，利用“工作效率=工作总量÷工作时间”表示各主体的工作效率，再结合等量关系列方程求解。
(1)先根据a=3求出小明的工作效率，再依据“两人效率和×合作时间=剩余工作量$\frac{1}{2}$”列分式方程，求解后检验根的合理性即可得到小强单独完成的时间；
(2)把a作为参数，同样按照上述等量关系列方程，用含a的代数式表示x，再结合实际意义中工作时间必须为正数的要求，列不等式求解a的取值范围。
【解析】
(1)当$a=3$时，小明3小时清点完一半图书，因此小明的工作效率为$\frac{1}{2}÷3=\frac{1}{6}$。
设小强单独清点完这批图书需要$x$小时，小强的工作效率为$\frac{1}{x}$，根据题意列方程：
$(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{x})× \dfrac{6}{5}=\dfrac{1}{2}$
解得 $x=4$，
经检验：$x=4$ 时原方程分母不为0，是原分式方程的解，且符合实际意义。
答:小强单独清点完这批图书需要 4 小时。
(2)小明$a$小时清点完一半图书，因此小明的工作效率为$\frac{1}{2}÷a=\frac{1}{2a}$，根据题意列方程：
$(\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{x})× \dfrac{6}{5}=\dfrac{1}{2}$
整理方程得$x(5a-6)=12a$，解得 $x=\dfrac{12a}{5a-6}$，
$x$ 的值符合实际意义时，工作时间需为正数，即$\begin{cases}a＞0\\x＞0\end{cases}$，因$a＞0$，故$5a-6＞0$，解得$a＞\dfrac{6}{5}$。
【答案】
(1)4小时；
(2)$x=\dfrac{12a}{5a-6}$，$a＞\dfrac{6}{5}$时x的值符合实际意义。
【知识点】
1.工程问题应用题
2.分式方程求解
3.分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程应用的常考题型，解题关键是熟练掌握工程问题的基本数量关系，列分式方程后注意检验解是否符合实际意义，含参数的求解需结合实际量的取值限制确定参数范围。
【难度系数】
0.65
2.为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4800元.已知甲、乙两车单独运完此垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元.
（1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需多少趟？
（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？
（1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需多少趟？
（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？
答案
解:(1)设甲车单独运完此堆垃圾需运 $x$ 趟，
则依题意，得 $\dfrac{12}{x}+\dfrac{12}{2x}=1$.
解得 $x=18$，则 $2x=36$.
经检验:$x=18$ 是原方程的解.
答:甲车单独运完垃圾需 18 趟，乙车需 36 趟.
(2)设甲车每趟需运费 $a$ 元，
则依题意得:$12a+12(a-200)=4800$.
解得 $a=300$，$a-200=100$.
故单独租用甲车的费用:
$300×18=5400$(元)，
单独租用乙车的费用:
$100×36=3600$(元).$5400＞3600$.
答:租用乙车合算.
则依题意，得 $\dfrac{12}{x}+\dfrac{12}{2x}=1$.
解得 $x=18$，则 $2x=36$.
经检验:$x=18$ 是原方程的解.
答:甲车单独运完垃圾需 18 趟，乙车需 36 趟.
(2)设甲车每趟需运费 $a$ 元，
则依题意得:$12a+12(a-200)=4800$.
解得 $a=300$，$a-200=100$.
故单独租用甲车的费用:
$300×18=5400$(元)，
单独租用乙车的费用:
$100×36=3600$(元).$5400＞3600$.
答:租用乙车合算.
解析
【分析】
（1）本题属于工程类应用题，可将总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成所需趟数。已知乙车单独运的趟数是甲车的2倍，设甲车单独运完需x趟，则乙车需2x趟，对应工作效率分别为$\frac{1}{x}$、$\frac{1}{2x}$。两车各运12趟完成总工作量，即甲12趟的工作量+乙12趟的工作量=总工作量1，据此列分式方程求解即可，注意分式方程需要检验根的合理性。
（2）第二问为费用优化问题，已知乙车每趟运费比甲车少200元，设甲车每趟运费a元，则乙车每趟运费（a-200）元，根据两车各运12趟总运费4800元列一元一次方程求出两车每趟运费，再分别计算单独租用甲、乙车的总运费，比较大小即可判断哪台更合算。
【解析】
(1) 设甲车单独运完此堆垃圾需运$x$趟，则乙车单独运完需$2x$趟，把总工作量看作单位1，根据题意得：
$\dfrac{12}{x}+\dfrac{12}{2x}=1$
两边同乘$2x$去分母得：$24 + 12 = 2x$
解得：$x=18$
检验：当$x=18$时，$2x=36≠0$，所以$x=18$是原方程的解，且符合实际意义。
则乙车单独运完所需趟数：$2x=2×18=36$（趟）
(2) 设甲车每趟需运费$a$元，则乙车每趟运费为$(a-200)$元，根据总运费条件列方程得：
$12a+12(a-200)=4800$
去括号整理得：$24a=7200$
解得：$a=300$
则乙车每趟运费：$a-200=100$（元）
单独租用甲车总费用：$300×18=5400$（元）
单独租用乙车总费用：$100×36=3600$（元）
因为$5400＞3600$，所以租用乙车更合算。
【答案】
（1）甲车单独运完需18趟，乙车单独运完需36趟；
（2）单独租用一台车，租用乙车合算。
【知识点】
分式方程的应用，一元一次方程的应用，工程问题求解
【点评】
本题结合生活实际场景出题，既考察了分式方程的列解、验根的核心步骤，也考察了费用优化的计算逻辑。解题时要牢记工程问题总工作量设为1的常用设定，同时注意分式方程的根必须同时满足方程本身和实际意义，整体解题思路清晰，能有效锻炼学生用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）本题属于工程类应用题，可将总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成所需趟数。已知乙车单独运的趟数是甲车的2倍，设甲车单独运完需x趟，则乙车需2x趟，对应工作效率分别为$\frac{1}{x}$、$\frac{1}{2x}$。两车各运12趟完成总工作量，即甲12趟的工作量+乙12趟的工作量=总工作量1，据此列分式方程求解即可，注意分式方程需要检验根的合理性。
（2）第二问为费用优化问题，已知乙车每趟运费比甲车少200元，设甲车每趟运费a元，则乙车每趟运费（a-200）元，根据两车各运12趟总运费4800元列一元一次方程求出两车每趟运费，再分别计算单独租用甲、乙车的总运费，比较大小即可判断哪台更合算。
【解析】
(1) 设甲车单独运完此堆垃圾需运$x$趟，则乙车单独运完需$2x$趟，把总工作量看作单位1，根据题意得：
$\dfrac{12}{x}+\dfrac{12}{2x}=1$
两边同乘$2x$去分母得：$24 + 12 = 2x$
解得：$x=18$
检验：当$x=18$时，$2x=36≠0$，所以$x=18$是原方程的解，且符合实际意义。
则乙车单独运完所需趟数：$2x=2×18=36$（趟）
(2) 设甲车每趟需运费$a$元，则乙车每趟运费为$(a-200)$元，根据总运费条件列方程得：
$12a+12(a-200)=4800$
去括号整理得：$24a=7200$
解得：$a=300$
则乙车每趟运费：$a-200=100$（元）
单独租用甲车总费用：$300×18=5400$（元）
单独租用乙车总费用：$100×36=3600$（元）
因为$5400＞3600$，所以租用乙车更合算。
【答案】
（1）甲车单独运完需18趟，乙车单独运完需36趟；
（2）单独租用一台车，租用乙车合算。
【知识点】
分式方程的应用，一元一次方程的应用，工程问题求解
【点评】
本题结合生活实际场景出题，既考察了分式方程的列解、验根的核心步骤，也考察了费用优化的计算逻辑。解题时要牢记工程问题总工作量设为1的常用设定，同时注意分式方程的根必须同时满足方程本身和实际意义，整体解题思路清晰，能有效锻炼学生用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
3.今年初冬,受强冷空气影响,2024年2月5日早晨开始,武汉市出现强降雪天气,截至14日18时,武汉市共出动专业作业人员11.5万人次,出动扫雪铲冰作业车辆1.7万车次,分成若干个小组,及时开展扫雪除冰工作,保障道路畅通及市民出行安全.其中甲、乙两组共同负责一条大街的扫雪工作,若由甲、乙两组合作则2小时可完成扫雪工作;若甲组先单独扫雪4小时,再由乙组单独扫雪1小时可完成扫雪工作.
(1)求甲、乙两组单独完成此项工作各需要多少小时?
(2)如果甲、乙两组合作时对道路交通有影响,单独工作时对交通无影响,且要求完成扫雪工作不超过2.5小时,问如何安排扫雪工作,对道路交通的影响会最小?
(1)求甲、乙两组单独完成此项工作各需要多少小时?
(2)如果甲、乙两组合作时对道路交通有影响,单独工作时对交通无影响,且要求完成扫雪工作不超过2.5小时,问如何安排扫雪工作,对道路交通的影响会最小?
答案
解:(1)设甲组单独完成需要 $x$ 小时，乙组单独完成需要 $y$ 小时.
依题得$\begin{cases}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})× 2=1,\\\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{y}=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=6,\\y=3,\end{cases}$
经检验:$x=6$，$y=3$ 是原方程的解.
答:甲组单独完成需要 6 小时，乙组单独完成需要 3 小时；
(2)设先合做 $m$ 小时，然后乙单独做，
$\dfrac{2.5}{3}+\dfrac{m}{6}≥ 1$，$m≥ 1$.
设先合做 $n$ 小时，然后甲单独做，
$\dfrac{2.5}{6}+\dfrac{n}{3}≥ 1$，$n≥ \dfrac{7}{4}$.
$\because$ 要求合做时间尽量小，
$\therefore$ 甲，乙合做 1 小时，然后乙做 1.5 小时.
答:分配乙做 1.5 小时，合做 1 小时.
依题得$\begin{cases}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})× 2=1,\\\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{y}=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=6,\\y=3,\end{cases}$
经检验:$x=6$，$y=3$ 是原方程的解.
答:甲组单独完成需要 6 小时，乙组单独完成需要 3 小时；
(2)设先合做 $m$ 小时，然后乙单独做，
$\dfrac{2.5}{3}+\dfrac{m}{6}≥ 1$，$m≥ 1$.
设先合做 $n$ 小时，然后甲单独做，
$\dfrac{2.5}{6}+\dfrac{n}{3}≥ 1$，$n≥ \dfrac{7}{4}$.
$\because$ 要求合做时间尽量小，
$\therefore$ 甲，乙合做 1 小时，然后乙做 1.5 小时.
答:分配乙做 1.5 小时，合做 1 小时.
解析
【分析】
(1) 本题属于工程类应用题，将总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成工作的时间。设甲单独完成需x小时，乙单独完成需y小时，可得甲的效率为$\frac{1}{x}$，乙的效率为$\frac{1}{y}$。根据“甲乙合作2小时完成工作”、“甲单独做4小时加乙单独做1小时完成工作”两个等量关系列方程组，求解后检验根是否符合原方程及实际意义即可。
(2) 要让道路交通影响最小，即甲乙合作的时间尽可能短，且总工作时长不超过2.5小时。分别计算“合作后乙单独完成”和“合作后甲单独完成”两种情况所需的最短合作时间，选择合作时间更短的方案就是最优方案。
【解析】
(1) 设甲组单独完成需要 $x$ 小时，乙组单独完成需要 $y$ 小时。
依题意列方程组：
$\begin{cases}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})× 2=1\\\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{y}=1\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$\frac{2}{x}=\frac{1}{2}$，解得$x=6$，
将$x=6$代入第一个方程，解得$y=3$。
经检验：$x=6$，$y=3$是原方程组的解，且符合实际意义。
(2) 要使对交通影响最小，需尽可能缩短甲乙合作的时长，且总工作时长不超过2.5小时。
① 设甲乙先合作$m$小时，剩余工作由乙单独完成（总时长为2.5小时）：
乙全程工作2.5小时，甲仅合作$m$小时，总工作量满足：
$\dfrac{m}{6}+\dfrac{2.5}{3}\ge1$
解得$m\ge1$，即最少需要合作1小时。
② 设甲乙先合作$n$小时，剩余工作由甲单独完成（总时长为2.5小时）：
甲全程工作2.5小时，乙仅合作$n$小时，总工作量满足：
$\dfrac{2.5}{6}+\dfrac{n}{3}\ge1$
解得$n\ge\dfrac{7}{4}=1.75$，即最少需要合作1.75小时。
因为$1＜1.75$，所以选择合作1小时，剩余1.5小时由乙单独完成的方案。
【答案】
(1) 甲组单独完成需要6小时，乙组单独完成需要3小时；
(2) 安排甲乙合作1小时，再由乙单独做1.5小时，对道路交通影响最小。
【知识点】
分式方程应用，工程问题，一元一次不等式应用
【点评】
本题结合生活中的扫雪场景命题，考查工程问题的模型构建，既需要掌握列方程解应用题的基本步骤，重视分式方程的检验环节，还需要结合实际需求分析最优方案，兼具实用性和思维性。
【难度系数】
0.6
(1) 本题属于工程类应用题，将总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成工作的时间。设甲单独完成需x小时，乙单独完成需y小时，可得甲的效率为$\frac{1}{x}$，乙的效率为$\frac{1}{y}$。根据“甲乙合作2小时完成工作”、“甲单独做4小时加乙单独做1小时完成工作”两个等量关系列方程组，求解后检验根是否符合原方程及实际意义即可。
(2) 要让道路交通影响最小，即甲乙合作的时间尽可能短，且总工作时长不超过2.5小时。分别计算“合作后乙单独完成”和“合作后甲单独完成”两种情况所需的最短合作时间，选择合作时间更短的方案就是最优方案。
【解析】
(1) 设甲组单独完成需要 $x$ 小时，乙组单独完成需要 $y$ 小时。
依题意列方程组：
$\begin{cases}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})× 2=1\\\dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{y}=1\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$\frac{2}{x}=\frac{1}{2}$，解得$x=6$，
将$x=6$代入第一个方程，解得$y=3$。
经检验：$x=6$，$y=3$是原方程组的解，且符合实际意义。
(2) 要使对交通影响最小，需尽可能缩短甲乙合作的时长，且总工作时长不超过2.5小时。
① 设甲乙先合作$m$小时，剩余工作由乙单独完成（总时长为2.5小时）：
乙全程工作2.5小时，甲仅合作$m$小时，总工作量满足：
$\dfrac{m}{6}+\dfrac{2.5}{3}\ge1$
解得$m\ge1$，即最少需要合作1小时。
② 设甲乙先合作$n$小时，剩余工作由甲单独完成（总时长为2.5小时）：
甲全程工作2.5小时，乙仅合作$n$小时，总工作量满足：
$\dfrac{2.5}{6}+\dfrac{n}{3}\ge1$
解得$n\ge\dfrac{7}{4}=1.75$，即最少需要合作1.75小时。
因为$1＜1.75$，所以选择合作1小时，剩余1.5小时由乙单独完成的方案。
【答案】
(1) 甲组单独完成需要6小时，乙组单独完成需要3小时；
(2) 安排甲乙合作1小时，再由乙单独做1.5小时，对道路交通影响最小。
【知识点】
分式方程应用，工程问题，一元一次不等式应用
【点评】
本题结合生活中的扫雪场景命题，考查工程问题的模型构建，既需要掌握列方程解应用题的基本步骤，重视分式方程的检验环节，还需要结合实际需求分析最优方案，兼具实用性和思维性。
【难度系数】
0.6
