题组 正方形及其性质

证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO（正方形的对角线相等且互相垂直平分），
∴△AOB、△BOC、△COD、△DOA均为等腰直角三角形。
在△AOB和△BOC中，
$\{\begin{array}{l}AO=CO\\ BO=BO\\ AB=BC\end{array} $
∴△AOB≌△BOC（SSS），
同理可证△BOC≌△COD，△COD≌△DOA，
∴△AOB≌△BOC≌△COD≌△DOA。
即正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

1. 夹在两条平行线间的正方形 ABCD和等边三角形 DEF如图所示，顶点 A，F分别在两条平行线上。若 A，D，F在一条直线上，则 $ ∠1 $与 $ ∠2 $的数量关系是( )


A.$ ∠ 1+∠ 2=60° $
B.$ ∠ 2-∠ 1=30° $
C.$ ∠ 1=2∠ 2 $
D.$ ∠ 1+2∠ 2=90° $

1. B

2. 将五个边长都为 2 cm的正方形按如图所示摆放，点 A，B，C，D分别是四个正方形的对角线的交点，则图中四块阴影面积的和为 ( )


A.$ 2 \mathrm{c m}^{2} $
B.$ 4 \mathrm{c m}^{2} $
C.$ 6 \mathrm{c m}^{2} $
D.$ 8 \mathrm{c m}^{2} $

2. B

3. 如图，将边长为4的正方形放在平面直角坐标系中，若点 A的坐标是(-1，2)，则点 C的坐标是_______.

3. $(3,-2)$

4. 如图，在正方形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线交CD于点F，交BC的延长线于点G，M是FG的中点.
(1) 求证： $ \textcircled{1} ∠1=∠2 $ $ \textcircled{2} EC\bot MC. $
(2) 当 $ ∠ 1 $等于多少度时， $ △ ECG $为等腰三角形？请说明理由.

4.（1）证明 ①因为四边形ABCD是正方形，
所以$∠ ADE=∠ CDE$，$AD=CD$.
在$△ ADE$与$△ CDE$中，
$\begin{cases} AD=CD,\\ ∠ ADE=∠ CDE,\\ DE=DE,\\ \end{cases}$
所以$△ ADE≌△ CDE$（SAS）.
所以$∠ 1=∠ 2$.
②因为$AD// BG$，
所以$∠ 1=∠ G$.
因为M是FG的中点，$∠ FCG=90°$，
所以$MC=MG=MF$.
所以$∠ G=∠ MCG$.
因为$∠ 1=∠ 2$，
所以$∠ 2=∠ MCG$.
因为$∠ FCG=∠ MCG+∠ FCM=90°$，
所以$∠ ECM=∠ 2+∠ FCM=90°$.
所以$EC⊥ MC$.
（2）解 当$∠ 1=30°$时，$△ ECG$为等腰三角形.理由如下：因为$△ ECG$为等腰三角形，
所以$∠ G=∠ CEG$.
因为$∠ 1=∠ 2=∠ G$，
所以在$△ ECG$中，$∠ G+∠ CEG+∠ 2+$
$∠ FCG=180°$.
即$3∠ 1+90°=180°$.解得$∠ 1=30°$.

5. 如图，点 E在正方形 ABCD外，连接 AE， BE，DE，过点 A作 AE的垂线交 DE于点 F. 若 AE=AF=4 $ \sqrt{2} $ ，BF=10，给出下列结论： $ \textcircled{1} $ $ △ AFD≌ △ AEB $ ； $ \textcircled{2} $ EB $ \bot $ ED； $ \textcircled{3} $点 B到直线 AE的距离为 $ 4\sqrt{2} $ $ \textcircled{4} $ $ S_{△ ABF}+S_{△ ADF}=40 $ . 其中正确的结论是 ___.(填序号)

5. ①②④