有一个边长为1的大正方形，经过1次 “生长” 后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图 $ \textcircled{1} $所示.如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，如图 $ \textcircled{2} $所示.那么“生长”225次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 （ ）


A.226
B.225
C.$ 2^{2 2 4} $
D.$ 2^{2 2 5}-1 $
解析 如图，由题意得正方形 A的面积为1.
由勾股定理得正方形 B的面积 + 正方形 C的面积=1.
所以“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2.
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3.
“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，...
所以“生长”225次后形成的图形中所有的正方形的面积和为226.
答案 A

A

1. 初始边长为1的大正方形面积为1。
2. 根据勾股定理，每次“生长”新增的所有正方形面积之和等于1，与原大正方形面积相等：
生长1次后，总面积为$1+1=2$；
生长2次后，总面积为$2+1=3$；
生长3次后，总面积为$3+1=4$；
……
3. 可得出规律：生长$n$次后，所有正方形的面积和为$n+1$。
4. 将$n=225$代入，得面积和为$225+1=226$。