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五、我会解答。
1. 五年级同学栽树，按12人一组或15人一组都能正好分完。五年级参加栽树的至少有多少人？
1. 五年级同学栽树，按12人一组或15人一组都能正好分完。五年级参加栽树的至少有多少人？
答案
1. 60人
解析
【分析】
题目中“按12人一组或15人一组都能正好分完”，说明五年级参加栽树的总人数是12和15的公倍数，要求“至少有多少人”，就是求12和15的最小公倍数。我们可以通过分解质因数法来求最小公倍数：先分别把12和15分解成质因数相乘的形式，再找出它们公有的质因数和各自独有的质因数，将这些质因数相乘就能得到最小公倍数；也可以用列举法，分别列出12和15的倍数，找到第一个相同的数就是最小公倍数。
【解析】
方法一：分解质因数法
12 = 2×2×3
15 = 3×5
12和15公有的质因数是3，12独有的质因数是2、2，15独有的质因数是5，所以它们的最小公倍数为：
2×2×3×5 = 60
方法二：列举法
12的倍数：12、24、36、48、60、72……
15的倍数：15、30、45、60、75……
可以看到第一个相同的倍数是60，即12和15的最小公倍数是60。
【答案】
60人
【知识点】
最小公倍数的应用
【点评】
本题考查最小公倍数在实际生活中的应用，解题关键是将“正好分完”转化为总人数是两个数的公倍数，“至少”对应最小公倍数，通过分解质因数或列举法即可求解，属于基础应用题型，帮助学生理解公倍数的实际意义。
【难度系数】
0.8
题目中“按12人一组或15人一组都能正好分完”，说明五年级参加栽树的总人数是12和15的公倍数，要求“至少有多少人”，就是求12和15的最小公倍数。我们可以通过分解质因数法来求最小公倍数：先分别把12和15分解成质因数相乘的形式，再找出它们公有的质因数和各自独有的质因数，将这些质因数相乘就能得到最小公倍数；也可以用列举法，分别列出12和15的倍数，找到第一个相同的数就是最小公倍数。
【解析】
方法一：分解质因数法
12 = 2×2×3
15 = 3×5
12和15公有的质因数是3，12独有的质因数是2、2，15独有的质因数是5，所以它们的最小公倍数为：
2×2×3×5 = 60
方法二：列举法
12的倍数：12、24、36、48、60、72……
15的倍数：15、30、45、60、75……
可以看到第一个相同的倍数是60，即12和15的最小公倍数是60。
【答案】
60人
【知识点】
最小公倍数的应用
【点评】
本题考查最小公倍数在实际生活中的应用，解题关键是将“正好分完”转化为总人数是两个数的公倍数，“至少”对应最小公倍数，通过分解质因数或列举法即可求解，属于基础应用题型，帮助学生理解公倍数的实际意义。
【难度系数】
0.8
2. 
这两路公共汽车8时整同时从同一个始发站发车，至少经过多少分钟后两路车第二次同时发车？
这两路公共汽车8时整同时从同一个始发站发车，至少经过多少分钟后两路车第二次同时发车？
答案
2. 36分钟
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要理解：两路公共汽车第二次同时发车的时间间隔，就是它们各自发车时间间隔的最小公倍数。因为当经过的时间是12分钟和9分钟的公倍数时，两车会同时发车，而题目要求“至少经过多少分钟”，所以我们需要求出12和9的最小公倍数。可以通过分解质因数的方法来计算最小公倍数，先把两个数分解成质因数相乘的形式，再取各质因数的最高次幂相乘，得到的结果就是最小公倍数。
【解析】
1. 分解质因数：
$12 = 2×2×3$
$9 = 3×3$
2. 计算最小公倍数：
取质因数2的最高次幂$2^2$，质因数3的最高次幂$3^2$，将它们相乘：
$2×2×3×3 = 36$
即12和9的最小公倍数是36，所以至少经过36分钟后两路车第二次同时发车。
【答案】
36分钟
【知识点】
最小公倍数的应用，分解质因数求最小公倍数
【点评】
本题是最小公倍数在实际生活中的典型应用，需要先理解“同时发车的间隔时间”与两车发车时间间隔的关系，再运用求最小公倍数的方法解决问题，考查学生对知识点的实际运用能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先要理解：两路公共汽车第二次同时发车的时间间隔，就是它们各自发车时间间隔的最小公倍数。因为当经过的时间是12分钟和9分钟的公倍数时，两车会同时发车，而题目要求“至少经过多少分钟”，所以我们需要求出12和9的最小公倍数。可以通过分解质因数的方法来计算最小公倍数，先把两个数分解成质因数相乘的形式，再取各质因数的最高次幂相乘，得到的结果就是最小公倍数。
【解析】
1. 分解质因数：
$12 = 2×2×3$
$9 = 3×3$
2. 计算最小公倍数：
取质因数2的最高次幂$2^2$，质因数3的最高次幂$3^2$，将它们相乘：
$2×2×3×3 = 36$
即12和9的最小公倍数是36，所以至少经过36分钟后两路车第二次同时发车。
【答案】
36分钟
【知识点】
最小公倍数的应用，分解质因数求最小公倍数
【点评】
本题是最小公倍数在实际生活中的典型应用，需要先理解“同时发车的间隔时间”与两车发车时间间隔的关系，再运用求最小公倍数的方法解决问题，考查学生对知识点的实际运用能力。
【难度系数】
0.6
3. 一排路灯，原来每两盏路灯之间的距离为 40 m，现在要改为 30 m。如果起点的一盏路灯不挪动，那么至少再隔多远又有一盏路灯不需要挪动？
答案
3. 120 m
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确：不需要挪动的路灯位置，必须同时是原来间距（40m）的倍数和新间距（30m）的倍数，也就是40和30的公倍数。题目要求“至少再隔多远”，所以我们需要求出40和30的最小公倍数。思考步骤如下：
1. 确定核心：不动的路灯位置是两个间距的公共倍数；
2. 明确需求：“至少”对应最小公倍数；
3. 选择方法：用分解质因数法或短除法求最小公倍数。
【解析】
步骤1：分析不需要挪动的路灯位置的特征
起点路灯不动，后续不需要挪动的路灯到起点的距离，既是40的倍数，也是30的倍数，即该距离是40和30的公倍数。要求“至少再隔多远”，就是求40和30的最小公倍数。
步骤2：用分解质因数法求最小公倍数
将40和30分解质因数：
40 = 2×2×2×5 = 2³×5
30 = 2×3×5
最小公倍数为两个数公有的质因数与各自独有的质因数的乘积，即：
2³×3×5 = 8×3×5 = 120（m）
【答案】
120 m
【知识点】
最小公倍数的应用
【点评】
本题考查最小公倍数在实际生活中的应用，关键是理解“不需要挪动的路灯位置是两个间距的公倍数”这一核心逻辑，通过求最小公倍数解决“至少”类的实际问题，考验学生对公倍数概念的理解与应用能力。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要明确：不需要挪动的路灯位置，必须同时是原来间距（40m）的倍数和新间距（30m）的倍数，也就是40和30的公倍数。题目要求“至少再隔多远”，所以我们需要求出40和30的最小公倍数。思考步骤如下：
1. 确定核心：不动的路灯位置是两个间距的公共倍数；
2. 明确需求：“至少”对应最小公倍数；
3. 选择方法：用分解质因数法或短除法求最小公倍数。
【解析】
步骤1：分析不需要挪动的路灯位置的特征
起点路灯不动，后续不需要挪动的路灯到起点的距离，既是40的倍数，也是30的倍数，即该距离是40和30的公倍数。要求“至少再隔多远”，就是求40和30的最小公倍数。
步骤2：用分解质因数法求最小公倍数
将40和30分解质因数：
40 = 2×2×2×5 = 2³×5
30 = 2×3×5
最小公倍数为两个数公有的质因数与各自独有的质因数的乘积，即：
2³×3×5 = 8×3×5 = 120（m）
【答案】
120 m
【知识点】
最小公倍数的应用
【点评】
本题考查最小公倍数在实际生活中的应用，关键是理解“不需要挪动的路灯位置是两个间距的公倍数”这一核心逻辑，通过求最小公倍数解决“至少”类的实际问题，考验学生对公倍数概念的理解与应用能力。
【难度系数】
0.8
六、我会做。
老师把一些文具分给同学们，平均分给12人多3个，平均分给8人也多3个，这些文具至少有多少个？
老师把一些文具分给同学们，平均分给12人多3个，平均分给8人也多3个，这些文具至少有多少个？
答案
27个
解析
【分析】
这道题的关键是理解“平均分给12人多3个，平均分给8人也多3个”的含义：如果把多出来的3个文具去掉，剩下的文具数量正好能被12和8整除，也就是剩下的数量是12和8的公倍数。要求这些文具至少有多少个，我们只需要先求出12和8的最小公倍数，再加上多出来的3个即可。具体思考步骤：①确定核心是求12和8的最小公倍数；②用分解质因数法求出最小公倍数；③最小公倍数加3得到文具总数。
【解析】
1. 分解质因数求12和8的最小公倍数：
12 = 2×2×3
8 = 2×2×2
12和8的最小公倍数是公有的质因数（2×2）与各自独有的质因数（3、2）的乘积，即2×2×2×3 = 24。
2. 计算文具总数：
因为平均分给12人或8人都多3个，所以文具总数 = 最小公倍数 + 3 = 24 + 3 = 27（个）
【答案】
27个
【知识点】
最小公倍数的应用、分解质因数求最小公倍数
【点评】
本题考查对公倍数与最小公倍数的实际应用，需要学生将实际分配问题转化为数学中的公倍数问题，重点在于理解“多3个”所对应的数量关系，即总数减去3后是12和8的公倍数，通过求最小公倍数再还原得到总数，锻炼学生的数学转化思维。
【难度系数】
0.7
这道题的关键是理解“平均分给12人多3个，平均分给8人也多3个”的含义：如果把多出来的3个文具去掉，剩下的文具数量正好能被12和8整除，也就是剩下的数量是12和8的公倍数。要求这些文具至少有多少个，我们只需要先求出12和8的最小公倍数，再加上多出来的3个即可。具体思考步骤：①确定核心是求12和8的最小公倍数；②用分解质因数法求出最小公倍数；③最小公倍数加3得到文具总数。
【解析】
1. 分解质因数求12和8的最小公倍数：
12 = 2×2×3
8 = 2×2×2
12和8的最小公倍数是公有的质因数（2×2）与各自独有的质因数（3、2）的乘积，即2×2×2×3 = 24。
2. 计算文具总数：
因为平均分给12人或8人都多3个，所以文具总数 = 最小公倍数 + 3 = 24 + 3 = 27（个）
【答案】
27个
【知识点】
最小公倍数的应用、分解质因数求最小公倍数
【点评】
本题考查对公倍数与最小公倍数的实际应用，需要学生将实际分配问题转化为数学中的公倍数问题，重点在于理解“多3个”所对应的数量关系，即总数减去3后是12和8的公倍数，通过求最小公倍数再还原得到总数，锻炼学生的数学转化思维。
【难度系数】
0.7
