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1 在课本 P58 活动 1 的(1)中,积最大的是$95×95$,其积为 9 025.
(1) 如果将题目中的条件改为“两个两位数的十位上的数都是 8,个位上的数的和等于 10”,即$81×89,82×88,··· ,89×81$,其中积最大的是（
A.$81×89$
B.$84×86$
C.$85×85$
D.$82×88$
(2) 与(1)同理,得出活动 1 的(2)中乘积最大的是$\_\_\_\_\_\_×\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_.$
(3) 由活动 1,可以得出“和定积最大”的规律. 请利用二次函数的知识解决下面的问题:
已知两个正数 $a$ 和 $b$,满足$a+b=2k$($k$ 为常数).
① 求证:这两个正数的积 $ab$ 的最大值为$k^{2}$;
② 利用上述结论,求代数式$x(10-2x)$的最大值,并求出此时 $x$ 的值.
(1) 如果将题目中的条件改为“两个两位数的十位上的数都是 8,个位上的数的和等于 10”,即$81×89,82×88,··· ,89×81$,其中积最大的是（
C
）A.$81×89$
B.$84×86$
C.$85×85$
D.$82×88$
(2) 与(1)同理,得出活动 1 的(2)中乘积最大的是$\_\_\_\_\_\_×\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_.$
(3) 由活动 1,可以得出“和定积最大”的规律. 请利用二次函数的知识解决下面的问题:
已知两个正数 $a$ 和 $b$,满足$a+b=2k$($k$ 为常数).
① 求证:这两个正数的积 $ab$ 的最大值为$k^{2}$;
② 利用上述结论,求代数式$x(10-2x)$的最大值,并求出此时 $x$ 的值.
答案
1. (1) C (2) 950 950 902 500
(3) ① 由题意,得$b=2k-a$.设积为$y$,则$y=ab=a(2k-a)=-a^2+2ka$. $\because -1＜0$,
$\therefore$ 当$a=-\dfrac{2k}{2×(-1)}=k$ 时,$y$ 取得最大值. 此时 $b=2k-k=k$,即 $a=b=k$. $\therefore ab$ 的最大值为 $k^2$
② 令 $y=2x(10-2x)$.
$\because 2x+(10-2x)=10,\therefore$ 当 $2x=10-2x=\dfrac{10}{2}=5$,即 $x=2.5$ 时,$y$ 有最大值,为 $(\dfrac{10}{2})^2=25$. $\therefore x(10-2x)$ 的最大值为 $\dfrac{25}{2}$,此时 $x=2.5$
(3) ① 由题意,得$b=2k-a$.设积为$y$,则$y=ab=a(2k-a)=-a^2+2ka$. $\because -1＜0$,
$\therefore$ 当$a=-\dfrac{2k}{2×(-1)}=k$ 时,$y$ 取得最大值. 此时 $b=2k-k=k$,即 $a=b=k$. $\therefore ab$ 的最大值为 $k^2$
② 令 $y=2x(10-2x)$.
$\because 2x+(10-2x)=10,\therefore$ 当 $2x=10-2x=\dfrac{10}{2}=5$,即 $x=2.5$ 时,$y$ 有最大值,为 $(\dfrac{10}{2})^2=25$. $\therefore x(10-2x)$ 的最大值为 $\dfrac{25}{2}$,此时 $x=2.5$
解析
【分析】
本题分三部分逐步分析：
1. (1)中两个两位数十位固定为8，个位和为10，两数之和固定，根据“和定差小积大”规律，两数差越小乘积越大，据此选答案；
2. (2)类比(1)的规律，结合课本活动逻辑确定乘积最大的两个数及积；
3. (3)①将b用含a的式子表示，代入积的表达式得二次函数，利用二次函数顶点求最大值；②变形代数式构造和固定的两数，用“和定积最大”求最值及对应x值。
【解析】
(1) 设两个两位数为$80+a$、$80+b$，由题意$a+b=10$，两数和为$(80+a)+(80+b)=170$（固定值）。根据“和定差小积大”，当$a=b=5$时，两数差最小，乘积最大，对应$85×85$，选C。
(2) 类比(1)的规律，活动1的(2)中乘积最大的是$950×950$，积为$902500$。
(3) ① 由$a+b=2k$得$b=2k-a$，设积为$y$，则$y=ab=a(2k-a)=-a^2+2ka$。二次项系数$-1＜0$，开口向下，顶点横坐标$a=-\frac{2k}{2×(-1)}=k$，此时$b=k$，故$ab$最大值为$k^2$。
② 变形代数式：$x(10-2x)=\frac{1}{2}×2x×(10-2x)$，其中$2x+(10-2x)=10$（固定值）。当$2x=10-2x$即$x=2.5$时，$2x×(10-2x)=25$，故原式最大值为$\frac{25}{2}$。
【答案】
(1) C；(2) 950，950，902500；(3) ① 证明见解析；② 最大值为$\frac{25}{2}$，此时$x=2.5$
【知识点】
二次函数的最值、和定积最大规律、代数式变形
【点评】
本题结合二次函数考查规律应用，需理解“和定差小积大”逻辑，掌握二次函数顶点求最值方法，注重知识迁移，为中等难度综合题。
【难度系数】
0.5
本题分三部分逐步分析：
1. (1)中两个两位数十位固定为8，个位和为10，两数之和固定，根据“和定差小积大”规律，两数差越小乘积越大，据此选答案；
2. (2)类比(1)的规律，结合课本活动逻辑确定乘积最大的两个数及积；
3. (3)①将b用含a的式子表示，代入积的表达式得二次函数，利用二次函数顶点求最大值；②变形代数式构造和固定的两数，用“和定积最大”求最值及对应x值。
【解析】
(1) 设两个两位数为$80+a$、$80+b$，由题意$a+b=10$，两数和为$(80+a)+(80+b)=170$（固定值）。根据“和定差小积大”，当$a=b=5$时，两数差最小，乘积最大，对应$85×85$，选C。
(2) 类比(1)的规律，活动1的(2)中乘积最大的是$950×950$，积为$902500$。
(3) ① 由$a+b=2k$得$b=2k-a$，设积为$y$，则$y=ab=a(2k-a)=-a^2+2ka$。二次项系数$-1＜0$，开口向下，顶点横坐标$a=-\frac{2k}{2×(-1)}=k$，此时$b=k$，故$ab$最大值为$k^2$。
② 变形代数式：$x(10-2x)=\frac{1}{2}×2x×(10-2x)$，其中$2x+(10-2x)=10$（固定值）。当$2x=10-2x$即$x=2.5$时，$2x×(10-2x)=25$，故原式最大值为$\frac{25}{2}$。
【答案】
(1) C；(2) 950，950，902500；(3) ① 证明见解析；② 最大值为$\frac{25}{2}$，此时$x=2.5$
【知识点】
二次函数的最值、和定积最大规律、代数式变形
【点评】
本题结合二次函数考查规律应用，需理解“和定差小积大”逻辑，掌握二次函数顶点求最值方法，注重知识迁移，为中等难度综合题。
【难度系数】
0.5
2 若刹车距离 $y(\mathrm{m})$ 与车速 $x(\mathrm{km/h})$ 之间的关系为 $y=0.008x^{2}$，则当测得刹车距离为 45 m 时，车速为
（
A.65 km/h
B.75 km/h
C.85 km/h
D.95 km/h
（
B
）A.65 km/h
B.75 km/h
C.85 km/h
D.95 km/h
答案
2. B
解析
【分析】本题给出刹车距离y与车速x的函数关系式，已知刹车距离y的值，需代入函数式求解对应车速x，结合车速为正数的实际意义取正根，再对比选项得出答案。
【解析】将y=45代入函数关系式$y=0.008x^2$，得：
$45 = 0.008x^2$
两边同时除以0.008，得：
$x^2 = 45÷0.008 = 5625$
因为车速x为正数，所以$x = \sqrt{5625} = 75(\mathrm{km/h})$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】二次函数的应用，一元二次方程的解法
【点评】本题为基础函数应用题型，直接利用函数与方程的关系求解，考查学生对函数概念的理解及基本运算能力，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】将y=45代入函数关系式$y=0.008x^2$，得：
$45 = 0.008x^2$
两边同时除以0.008，得：
$x^2 = 45÷0.008 = 5625$
因为车速x为正数，所以$x = \sqrt{5625} = 75(\mathrm{km/h})$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】二次函数的应用，一元二次方程的解法
【点评】本题为基础函数应用题型，直接利用函数与方程的关系求解，考查学生对函数概念的理解及基本运算能力，难度较低。
【难度系数】0.8
3 某汽车在测试刹车性能时,测得几组数据如下表:
(1) 请根据表中数据,直接写出 s 与 v 之间的函数解析式;
(2) 当车速为 50 km/h 时,求刹车距离.
(1) 请根据表中数据,直接写出 s 与 v 之间的函数解析式;
(2) 当车速为 50 km/h 时,求刹车距离.
答案
3. (1) $s=0.01v^2$ (2) 当 $v=50$ 时,$s=0.01× 50^2=0.01× 2\ 500=25$. $\therefore$ 当车速为 50 km/h 时,刹车距离为 25 m
解析
【分析】首先观察表格中车速$v$与刹车距离$s$的数据，发现$s$随$v$的平方呈规律性变化，因此判断$s$与$v$为二次函数关系。通过设二次函数解析式，代入已知数据求出系数确定函数关系，再代入$v=50$计算对应刹车距离。
【解析】(1) 设$s$与$v$之间的函数解析式为$s=kv^2$（$k≠0$），将$v=10$，$s=1$代入解析式得：
$1 = k×10^2$，解得$k=0.01$。
验证：当$v=20$时，$s=0.01×20^2=4$，符合表格数据；当$v=30$时，$s=0.01×30^2=9$，符合；当$v=40$时，$s=0.01×40^2=16$，符合。因此函数解析式为$s=0.01v^2$。
(2) 当车速$v=50\ \mathrm{km/h}$时，代入解析式得：
$s=0.01×50^2=0.01×2500=25$（m）。
【答案】(1) $s=0.01v^2$；(2) 当车速为50 km/h时，刹车距离为25 m。
【知识点】二次函数的应用、函数解析式的确定
【点评】本题通过表格数据探究变量间的函数关系，属于基础的二次函数应用问题，关键是通过数据规律判断函数类型并求解解析式，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】(1) 设$s$与$v$之间的函数解析式为$s=kv^2$（$k≠0$），将$v=10$，$s=1$代入解析式得：
$1 = k×10^2$，解得$k=0.01$。
验证：当$v=20$时，$s=0.01×20^2=4$，符合表格数据；当$v=30$时，$s=0.01×30^2=9$，符合；当$v=40$时，$s=0.01×40^2=16$，符合。因此函数解析式为$s=0.01v^2$。
(2) 当车速$v=50\ \mathrm{km/h}$时，代入解析式得：
$s=0.01×50^2=0.01×2500=25$（m）。
【答案】(1) $s=0.01v^2$；(2) 当车速为50 km/h时，刹车距离为25 m。
【知识点】二次函数的应用、函数解析式的确定
【点评】本题通过表格数据探究变量间的函数关系，属于基础的二次函数应用问题，关键是通过数据规律判断函数类型并求解解析式，难度较低。
【难度系数】0.7
