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1. 将 $ b^{3}-4b $ 分解因式，所得结果正确的是(
A.$ b(b^{2}-4) $
B.$ b(b - 4)^{2} $
C.$ b(b - 2)^{2} $
D.$ b(b + 2)(b - 2) $
D
)A.$ b(b^{2}-4) $
B.$ b(b - 4)^{2} $
C.$ b(b - 2)^{2} $
D.$ b(b + 2)(b - 2) $
答案
1.D解析：$b^{3}-4b=b(b^{2}-4)=b(b+2)(b-2)$.故选D.
2. (贺州中考)多项式 $ 2x^{3}-4x^{2}+2x $ 因式分解为(
A.$ 2x(x - 1)^{2} $
B.$ 2x(x + 1)^{2} $
C.$ x(2x - 1)^{2} $
D.$ x(2x + 1)^{2} $
A
)A.$ 2x(x - 1)^{2} $
B.$ 2x(x + 1)^{2} $
C.$ x(2x - 1)^{2} $
D.$ x(2x + 1)^{2} $
答案
2.A解析：$2x^{3}-4x^{2}+2x=2x(x^{2}-2x+1)=2x(x-1)^{2}$,故选A.
3. (2025·眉山期末)下列因式分解不正确的是(
A.$ 3a^{2}b-6ab+3b = 3b(a - 1)^{2} $
B.$ -4b^{2}+36a^{2} = 4(3a + b)(3a - b) $
C.$ x^{2}(a - b)-4(b - a) = (a - b)(x + 2)(x - 2) $
D.$ (a^{2}+1)^{2}-4a^{2} = (a + 1)^{2}(a - 1)^{2} $
C
)A.$ 3a^{2}b-6ab+3b = 3b(a - 1)^{2} $
B.$ -4b^{2}+36a^{2} = 4(3a + b)(3a - b) $
C.$ x^{2}(a - b)-4(b - a) = (a - b)(x + 2)(x - 2) $
D.$ (a^{2}+1)^{2}-4a^{2} = (a + 1)^{2}(a - 1)^{2} $
答案
3.C解析：$x^{2}(a-b)-4(b-a)=x^{2}(a-b)+4(a-b)=(a-b)(x^{2}+4)$,C选项错误，故选C.
4. 分解因式：
(1)(2025·北京中考)$ 7m^{2}-28 = $
(2)(2025·绥化中考)$ 2mx^{2}-4mxy+2my^{2} = $
(3)(巴中中考)$ -a^{3}+2a^{2}-a = $
(4)(广安中考)$ 3a^{4}-3b^{4} = $
(1)(2025·北京中考)$ 7m^{2}-28 = $
7(m + 2)(m - 2)
.(2)(2025·绥化中考)$ 2mx^{2}-4mxy+2my^{2} = $
$2m(x - y)^{2}$
.(3)(巴中中考)$ -a^{3}+2a^{2}-a = $
$-a(a - 1)^{2}$
.(4)(广安中考)$ 3a^{4}-3b^{4} = $
$3(a^{2}+b^{2})(a + b)(a - b)$
.答案
4.(1)$7(m+2)(m-2)$ 解析：原式$=7(m^{2}-4)=7(m+2)(m-2)$.
(2)$2m(x-y)^{2}$ 解析：原式$=2m(x^{2}-2xy+y^{2})=2m(x-y)^{2}$.
(3)$-a(a-1)^{2}$ 解析：原式$=-a(a^{2}-2a+1)=-a(a-1)^{2}$.
(4)$3(a^{2}+b^{2})(a+b)(a-b)$ 解析：原式$=3(a^{4}-b^{4})=3(a^{2}+b^{2})(a^{2}-b^{2})=3(a^{2}+b^{2})(a+b)(a-b)$.
(2)$2m(x-y)^{2}$ 解析：原式$=2m(x^{2}-2xy+y^{2})=2m(x-y)^{2}$.
(3)$-a(a-1)^{2}$ 解析：原式$=-a(a^{2}-2a+1)=-a(a-1)^{2}$.
(4)$3(a^{2}+b^{2})(a+b)(a-b)$ 解析：原式$=3(a^{4}-b^{4})=3(a^{2}+b^{2})(a^{2}-b^{2})=3(a^{2}+b^{2})(a+b)(a-b)$.
5. (1)(菏泽中考)若 $ a + b = 2 $，$ ab = -3 $，则代数式 $ a^{3}b+2a^{2}b^{2}+ab^{3} $ 的值为
(2)已知 $ x - 2y + 2 = 0 $，则 $ \frac{1}{4}x^{2}+y^{2}-xy - 1 $ 的值为
-12
.(2)已知 $ x - 2y + 2 = 0 $，则 $ \frac{1}{4}x^{2}+y^{2}-xy - 1 $ 的值为
0
.答案
5.(1)$-12$ 解析：$a^{3}b+2a^{2}b^{2}+ab^{3}=ab(a^{2}+2ab+b^{2})=ab(a+b)^{2}=-3×2^{2}=-12$.
(2)$0$ 解析：因为$x-2y+2=0$,所以$x-2y=-2$,$\frac{1}{4}x^{2}+y^{2}-xy-1=\frac{1}{4}(x^{2}+4y^{2}-4xy)-1=\frac{1}{4}(x-2y)^{2}-1=\frac{1}{4}×(-2)^{2}-1=0$.
(2)$0$ 解析：因为$x-2y+2=0$,所以$x-2y=-2$,$\frac{1}{4}x^{2}+y^{2}-xy-1=\frac{1}{4}(x^{2}+4y^{2}-4xy)-1=\frac{1}{4}(x-2y)^{2}-1=\frac{1}{4}×(-2)^{2}-1=0$.
6. 把下列各式分解因式：
(1)$ -x^{3}y+6x^{2}y-9xy $；(2)$ m^{3}(a - 2)+m(2 - a) $；
(3)$ 81x^{4}-18x^{2}y^{2}+y^{4} $；(4)$ a(x^{2}+1)^{2}-4ax^{2} $；
(5)$ (x^{2}-4x)^{2}+8(x^{2}-4x)+16 $；
(6)$ a^{2}(a - b)+2ab(b - a)+b^{2}(a - b) $.
(1)$ -x^{3}y+6x^{2}y-9xy $；(2)$ m^{3}(a - 2)+m(2 - a) $；
(3)$ 81x^{4}-18x^{2}y^{2}+y^{4} $；(4)$ a(x^{2}+1)^{2}-4ax^{2} $；
(5)$ (x^{2}-4x)^{2}+8(x^{2}-4x)+16 $；
(6)$ a^{2}(a - b)+2ab(b - a)+b^{2}(a - b) $.
答案
1. （1）
解：
首先提取公因式$-xy$：
$-x^{3}y + 6x^{2}y-9xy=-xy(x^{2}-6x + 9)$。
然后根据完全平方公式$a^{2}-2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$（这里$a = x$，$b = 3$）：
$-xy(x^{2}-6x + 9)=-xy(x - 3)^{2}$。
2. （2）
解：
先将式子变形为$m^{3}(a - 2)-m(a - 2)$。
提取公因式$m(a - 2)$：
$m^{3}(a - 2)-m(a - 2)=m(a - 2)(m^{2}-1)$。
再根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$（这里$a = m$，$b = 1$）：
$m(a - 2)(m^{2}-1)=m(a - 2)(m + 1)(m - 1)$。
3. （3）
解：
根据完全平方公式$a^{2}-2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$（这里$a = 9x^{2}$，$b = y^{2}$）：
$81x^{4}-18x^{2}y^{2}+y^{4}=(9x^{2}-y^{2})^{2}$。
再根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$（这里$a = 3x$，$b = y$）：
$(9x^{2}-y^{2})^{2}=[(3x + y)(3x - y)]^{2}=(3x + y)^{2}(3x - y)^{2}$。
4. （4）
解：
先提取公因式$a$：
$a(x^{2}+1)^{2}-4ax^{2}=a[(x^{2}+1)^{2}-4x^{2}]$。
然后根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$（这里$a=x^{2}+1$，$b = 2x$）：
$a[(x^{2}+1)^{2}-4x^{2}]=a(x^{2}+1 + 2x)(x^{2}+1-2x)$。
再根据完全平方公式$a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2}$和$a^{2}-2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$（这里$a=x$，$b = 1$）：
$a(x^{2}+1 + 2x)(x^{2}+1-2x)=a(x + 1)^{2}(x - 1)^{2}$。
5. （5）
解：
根据完全平方公式$a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2}$（这里$a=x^{2}-4x$，$b = 4$）：
$(x^{2}-4x)^{2}+8(x^{2}-4x)+16=(x^{2}-4x + 4)^{2}$。
再根据完全平方公式$a^{2}-2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$（这里$a=x$，$b = 2$）：
$(x^{2}-4x + 4)^{2}=[(x - 2)^{2}]^{2}=(x - 2)^{4}$。
6. （6）
解：
先提取公因式$(a - b)$：
$a^{2}(a - b)+2ab(b - a)+b^{2}(a - b)=(a - b)(a^{2}-2ab + b^{2})$。
再根据完全平方公式$a^{2}-2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$（这里$a=a$，$b = b$）：
$(a - b)(a^{2}-2ab + b^{2})=(a - b)(a - b)^{2}=(a - b)^{3}$。
综上，（1）$-xy(x - 3)^{2}$；（2）$m(a - 2)(m + 1)(m - 1)$；（3）$(3x + y)^{2}(3x - y)^{2}$；（4）$a(x + 1)^{2}(x - 1)^{2}$；（5）$(x - 2)^{4}$；（6）$(a - b)^{3}$。
解：
首先提取公因式$-xy$：
$-x^{3}y + 6x^{2}y-9xy=-xy(x^{2}-6x + 9)$。
然后根据完全平方公式$a^{2}-2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$（这里$a = x$，$b = 3$）：
$-xy(x^{2}-6x + 9)=-xy(x - 3)^{2}$。
2. （2）
解：
先将式子变形为$m^{3}(a - 2)-m(a - 2)$。
提取公因式$m(a - 2)$：
$m^{3}(a - 2)-m(a - 2)=m(a - 2)(m^{2}-1)$。
再根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$（这里$a = m$，$b = 1$）：
$m(a - 2)(m^{2}-1)=m(a - 2)(m + 1)(m - 1)$。
3. （3）
解：
根据完全平方公式$a^{2}-2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$（这里$a = 9x^{2}$，$b = y^{2}$）：
$81x^{4}-18x^{2}y^{2}+y^{4}=(9x^{2}-y^{2})^{2}$。
再根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$（这里$a = 3x$，$b = y$）：
$(9x^{2}-y^{2})^{2}=[(3x + y)(3x - y)]^{2}=(3x + y)^{2}(3x - y)^{2}$。
4. （4）
解：
先提取公因式$a$：
$a(x^{2}+1)^{2}-4ax^{2}=a[(x^{2}+1)^{2}-4x^{2}]$。
然后根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$（这里$a=x^{2}+1$，$b = 2x$）：
$a[(x^{2}+1)^{2}-4x^{2}]=a(x^{2}+1 + 2x)(x^{2}+1-2x)$。
再根据完全平方公式$a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2}$和$a^{2}-2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$（这里$a=x$，$b = 1$）：
$a(x^{2}+1 + 2x)(x^{2}+1-2x)=a(x + 1)^{2}(x - 1)^{2}$。
5. （5）
解：
根据完全平方公式$a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2}$（这里$a=x^{2}-4x$，$b = 4$）：
$(x^{2}-4x)^{2}+8(x^{2}-4x)+16=(x^{2}-4x + 4)^{2}$。
再根据完全平方公式$a^{2}-2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$（这里$a=x$，$b = 2$）：
$(x^{2}-4x + 4)^{2}=[(x - 2)^{2}]^{2}=(x - 2)^{4}$。
6. （6）
解：
先提取公因式$(a - b)$：
$a^{2}(a - b)+2ab(b - a)+b^{2}(a - b)=(a - b)(a^{2}-2ab + b^{2})$。
再根据完全平方公式$a^{2}-2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$（这里$a=a$，$b = b$）：
$(a - b)(a^{2}-2ab + b^{2})=(a - b)(a - b)^{2}=(a - b)^{3}$。
综上，（1）$-xy(x - 3)^{2}$；（2）$m(a - 2)(m + 1)(m - 1)$；（3）$(3x + y)^{2}(3x - y)^{2}$；（4）$a(x + 1)^{2}(x - 1)^{2}$；（5）$(x - 2)^{4}$；（6）$(a - b)^{3}$。
7. (2025·东营校级月考)生活中我们经常用到密码，如手机解锁.为方便记忆，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如多项式因式分解后的结果是 $ (x^{2}+1)(x + 1)(x - 1) $，当取 $ x = 10 $ 时，各个因式的值是：$ x^{2}+1 = 101 $，$ x + 1 = 11 $，$ x - 1 = 9 $.于是就可以把“101 119”作为一个六位数的密码.类似地，对于多项式 $ x^{8}-y^{8} $，当取 $ x = 3 $，$ y = -2 $ 时，用上述方法可以产生的六位数的密码为(
A.971 315
B.891 315
C.971 015
D.891 015
A
)A.971 315
B.891 315
C.971 015
D.891 015
答案
7.A解析：$x^{8}-y^{8}=(x^{4}+y^{4})(x^{4}-y^{4})=(x^{4}+y^{4})(x^{2}+y^{2})(x^{2}-y^{2})=(x^{4}+y^{4})(x^{2}+y^{2})(x+y)(x-y)$,当$x=3$,$y=-2$时,各个因式的值是$x^{4}+y^{4}=81+16=97$,$x^{2}+y^{2}=9+4=13$,$x+y=3-2=1$,$x-y=3+2=5$,可以把“971315”作为一个六位数的密码.故选A.
8. 计算：$ 2024^{3}-2023×2024×2025 = $
2024
.答案
8.$2024$ 解析：原式$=2024×[2024^{2}-(2024-1)×(2024+1)]=2024×(2024^{2}-2024^{2}+1)=2024×1=2024$.
9. (1)(苏州中考)若 $ m + 2n = 1 $，则 $ 3m^{2}+6mn+6n $ 的值为
3
.答案
9.(1)$3$ 解析：因为$m+2n=1$,所以原式$=3m(m+2n)+6n=3m×1+6n=3(m+2n)=3×1=3$.
(2)若 $ a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2} = 10 $，$ a + b + c = 5 $，则 $ a + b - c $ 的值是
2
.答案
(2)$2$ 解析：因为$a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}=10$,所以$(a+b)^{2}-c^{2}=10$,即$(a+b+c)(a+b-c)=10$.因为$a+b+c=5$,所以$5(a+b-c)=10$,所以$a+b-c=2$.
