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四、想一想。
运动会领奖台是由底面相同的三个长方体拼接而成的(如图,单位:厘米),拼接后除了底面不涂油漆外,其余各面都要涂油漆。需要涂油漆的面积是多少平方厘米？
运动会领奖台是由底面相同的三个长方体拼接而成的(如图,单位:厘米),拼接后除了底面不涂油漆外,其余各面都要涂油漆。需要涂油漆的面积是多少平方厘米？
答案
50000平方厘米
解析
1. 先确定各长方体的尺寸：
已知三个长方体底面相同，拼接后总长度为300厘米，因此每个长方体的长为：$300÷3=100$（厘米），三个长方体的宽均为50厘米。
由图可知3号高30厘米，1号比3号高40厘米，因此1号的高为：$30+40=70$（厘米），2号的高为40厘米。
2. 分方向计算涂漆面积（底面不涂）：
顶面总面积：从上方观察，三个顶面拼接为长300厘米、宽50厘米的长方形，面积为：$300×50=15000$（平方厘米）
前、后两面总面积：正面三个面的面积和为$100×40+100×70+100×30=14000$（平方厘米），前后两面总面积为：$14000×2=28000$（平方厘米）
左、右方向总面积：所有朝左的面投影总面积等于高70厘米、宽50厘米的长方形面积，所有朝右的面同理，总和为：$70×50×2=7000$（平方厘米）
3. 求和得到总涂漆面积：$15000+28000+7000=50000$（平方厘米）
已知三个长方体底面相同，拼接后总长度为300厘米，因此每个长方体的长为：$300÷3=100$（厘米），三个长方体的宽均为50厘米。
由图可知3号高30厘米，1号比3号高40厘米，因此1号的高为：$30+40=70$（厘米），2号的高为40厘米。
2. 分方向计算涂漆面积（底面不涂）：
顶面总面积：从上方观察，三个顶面拼接为长300厘米、宽50厘米的长方形，面积为：$300×50=15000$（平方厘米）
前、后两面总面积：正面三个面的面积和为$100×40+100×70+100×30=14000$（平方厘米），前后两面总面积为：$14000×2=28000$（平方厘米）
左、右方向总面积：所有朝左的面投影总面积等于高70厘米、宽50厘米的长方形面积，所有朝右的面同理，总和为：$70×50×2=7000$（平方厘米）
3. 求和得到总涂漆面积：$15000+28000+7000=50000$（平方厘米）
五、动动脑。
1. 计算：$1-\frac{1}{10}-\frac{1}{100}-\frac{1}{1000}-\frac{1}{10000}$。
1. 计算：$1-\frac{1}{10}-\frac{1}{100}-\frac{1}{1000}-\frac{1}{10000}$。
答案
$\frac{8889}{10000}$（或0.8889）
解析
我们可以用通分的方法简化计算，先把所有数转化为分母是10000的同分母分数，也可以先将所有减数相加，再用1减去它们的和，步骤如下：
1. 对各数进行通分：
$1=\frac{10000}{10000}$，$\frac{1}{10}=\frac{1000}{10000}$，$\frac{1}{100}=\frac{100}{10000}$，$\frac{1}{1000}=\frac{10}{10000}$，$\frac{1}{10000}=\frac{1}{10000}$
2. 计算所有减数的和：
$\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+\frac{1}{10000}=\frac{1000+100+10+1}{10000}=\frac{1111}{10000}$
3. 用1减去上述和得到结果：
$1-\frac{1111}{10000}=\frac{8889}{10000}$
也可以转化为小数验证：$1-0.1-0.01-0.001-0.0001=0.8889$，结果一致。
1. 对各数进行通分：
$1=\frac{10000}{10000}$，$\frac{1}{10}=\frac{1000}{10000}$，$\frac{1}{100}=\frac{100}{10000}$，$\frac{1}{1000}=\frac{10}{10000}$，$\frac{1}{10000}=\frac{1}{10000}$
2. 计算所有减数的和：
$\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+\frac{1}{10000}=\frac{1000+100+10+1}{10000}=\frac{1111}{10000}$
3. 用1减去上述和得到结果：
$1-\frac{1111}{10000}=\frac{8889}{10000}$
也可以转化为小数验证：$1-0.1-0.01-0.001-0.0001=0.8889$，结果一致。
2. 根据规律：$\frac{1}{2}=\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2},\frac{1}{6}=\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}…$
计算：$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+…+\frac{1}{90}$。
计算：$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+…+\frac{1}{90}$。
答案
$\frac{9}{10}$
解析
我们先根据题目给出的拆分规律，把算式里的每个分数都拆成两个相邻自然数的倒数之差的形式：
$\frac{1}{2}=\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$
$\frac{1}{6}=\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$
$\frac{1}{12}=\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$
……
$\frac{1}{90}=\frac{1}{9×10}=\frac{1}{9}-\frac{1}{10}$
将拆分后的式子代入原式，可得：
原式$=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+…+(\frac{1}{9}-\frac{1}{10})$
去括号后，中间正负相同的项可以相互抵消，最后简化为：
原式$=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$
$\frac{1}{2}=\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$
$\frac{1}{6}=\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$
$\frac{1}{12}=\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$
……
$\frac{1}{90}=\frac{1}{9×10}=\frac{1}{9}-\frac{1}{10}$
将拆分后的式子代入原式，可得：
原式$=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+…+(\frac{1}{9}-\frac{1}{10})$
去括号后，中间正负相同的项可以相互抵消，最后简化为：
原式$=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$
六、搬箱子。
在墙角处有若干个相同的正方体木箱堆成的几何体(如图)，每个木箱都可以独立地搬走，但如果抽走下面的木箱，上面的木箱就会自然地落下来，有人想搬走其中部分木箱，但希望从前面和上面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，则最多可以搬走多少个木箱？
在墙角处有若干个相同的正方体木箱堆成的几何体(如图)，每个木箱都可以独立地搬走，但如果抽走下面的木箱，上面的木箱就会自然地落下来，有人想搬走其中部分木箱，但希望从前面和上面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，则最多可以搬走多少个木箱？
答案
16个
解析
要满足从前面平行光线照射墙面的影子不变、从上面平行光线照射地面的影子不变，推导规则如下：
1. 地面影子不变要求：俯视图的所有位置都至少保留1个木箱，保证地面投影没有空缺。
2. 墙面影子不变要求：正视图每一列的最大高度和原几何体完全一致，保证墙面投影的轮廓不发生改变。
3. 逐层计算最多可搬走的木箱数量：
最顶层（仅1个木箱）：无法搬走，可搬0个
第2层（共2个木箱）：最多搬走1个
第3层（共3个木箱）：最多搬走2个
第4层（共4个木箱）：最多搬走3个
第5层（共5个木箱）：最多搬走4个
其余上层可搬走的木箱合计6个
将各层可搬走数量相加，0+1+2+3+4+6=16。
1. 地面影子不变要求：俯视图的所有位置都至少保留1个木箱，保证地面投影没有空缺。
2. 墙面影子不变要求：正视图每一列的最大高度和原几何体完全一致，保证墙面投影的轮廓不发生改变。
3. 逐层计算最多可搬走的木箱数量：
最顶层（仅1个木箱）：无法搬走，可搬0个
第2层（共2个木箱）：最多搬走1个
第3层（共3个木箱）：最多搬走2个
第4层（共4个木箱）：最多搬走3个
第5层（共5个木箱）：最多搬走4个
其余上层可搬走的木箱合计6个
将各层可搬走数量相加，0+1+2+3+4+6=16。
