12. (★★)已知一个长方形的长、宽分别为a,b,周长为12,面积为8,则$a^{2}b+ab^{2}$的值为。

$\boldsymbol{48}$

13. (★★)把下列各式因式分解:
(1)$20a+15ax$;
(2)$4a^{3}b^{3}+6a^{2}b-2ab$;
(3)$-10a^{2}bc+15bc^{2}-20ab^{2}c$;
(4)$2x^{m+2}+6x^{m+1}-8x^{m-2}$。

(1) $\boldsymbol{原式=5a(4+3x)}$;
(2) $\boldsymbol{原式=2ab(2a^{2}b^{2}+3a-1)}$;
(3) $\boldsymbol{原式=-5bc(2a^{2}-3c+4ab)}$;
(4) $\boldsymbol{原式=2x^{m-2}(x^{4}+3x^{3}-4)}$。

14. (★★)简便计算:
(1)$5×3^{4}+4×3^{4}+9×3^{2}$;
(2)$23×(-\frac{4}{11})+(-\frac{5}{11})×23-23×\frac{2}{11}$。

(1) $\boldsymbol{原式=5×3^{4}+4×3^{4}+3^{4}}$
$\boldsymbol{=3^{4}×(5+4+1)}$
$\boldsymbol{=81×10}$
$\boldsymbol{=810}$。
(2) $\boldsymbol{原式=23×(-\frac{4}{11}-\frac{5}{11}-\frac{2}{11})}$
$\boldsymbol{=23×(-1)}$
$\boldsymbol{=-23}$。

15. (★★★)求证:对于任意的正整数n,$3^{n+2}-2^{n+2}+3^{n}-2^{n}$一定是10的倍数。

$\boldsymbol{\because \ \ 3^{n+2}-2^{n+2}+3^{n}-2^{n}}$
$\boldsymbol{=3^{n+2}+3^{n}-2^{n+2}-2^{n}}$
$\boldsymbol{=3^{n}(3^{2}+1)-2^{n}(2^{2}+1)}$
$\boldsymbol{=10×3^{n}-10×2^{n-1}}$
$\boldsymbol{=10×(3^{n}-2^{n-1})}$,
$\boldsymbol{\therefore \ \ 对于任意的正整数n,3^{n+2}-2^{n+2}+3^{n}-2^{n}一定是10的倍数}$。

16. (★★★)对于任意一个四位数n,若千位与十位上的数字之和为9,百位与个位上的数字之和也为9,则称n为“极数”。请任意写出三个“极数”,并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数,并说明理由。

$\boldsymbol{1\ 287,2\ 376,8\ 712}$都是“极数”,任意一个“极数”是$\boldsymbol{99}$的倍数。理由如下:
设任意一个四位“极数”$\boldsymbol{n}$的个位数字为$\boldsymbol{x}$,十位数字为$\boldsymbol{y}$,其中$\boldsymbol{0≤ x≤9}$且为整数,$\boldsymbol{0≤ y≤8}$且为整数,
则百位数字为$\boldsymbol{(9-x)}$,千位数字为$\boldsymbol{(9-y)}$。
$\boldsymbol{\therefore \ \ n=1\ 000(9-y)+100(9-x)+10y+x=99(100-10y-x)}$。
$\boldsymbol{\therefore \ \ n}$是$\boldsymbol{99}$的倍数。