14. 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,AB=AD,∠BAD的平分线AE交BC于点E,连结DE。
(1)求证:四边形ABED是菱形。
(2)若$CD=2\sqrt{3}$,$∠ABC=60°=2∠C$,求AB的长。

14. (1)证明:如图,因为 AE 平分 $∠ BAD$,所以$∠ BAE=∠ DAE$。因为 $AB=AD,AE=AE$,所以$△ BAE≌△ DAE(\mathrm{SAS})$,所以 $BE=DE$。因为$AD// BC$,所以$∠ DAE=∠ AEB=∠ BAE$,所以$AB=BE$,所以 $AB=BE=DE=AD$,所以四边形ABED 是菱形。
(2)解:由(1)知,四边形 ABED 是菱形,$AB=DE,AB// DE$,所以$∠ DEC=∠ ABC$。因为$∠ ABC=60°=2∠ C$,所以$∠ DEC=60°,∠ C=30°$,所以$∠ EDC=90°$, $CE=2DE$。在 $\mathrm{Rt}△ CDE$ 中,$DE^2+CD^2=EC^2$,即 $DE^2+(2\sqrt{3})^2=(2DE)^2$,解得 $DE=2$,所以 $AB=2$。

15.暑期来临,两队户外徒步露营爱好者计划同一天从 A 地出发,沿两条不同的路线徒步游玩沿途景观,最后在 B 地会合。甲队走路线一,全程 120 千米;乙队走路线二,全程 160 千米。由于路线一的路况没有路线二好,甲队每天行驶的路程是乙队每天行驶路程的$\frac{1}{2}$,这样甲队比乙队晚 2 天到达 B 地。
(1)求甲、乙两队分别计划多少天到达 B 地。
(2)在他们的活动计划中,乙队每人每天的平均花费为 135 元钱。甲队最开始计划有 8 个人同行,计划每人每天平均花费 300 元钱,后来又有 m 个人加入队伍,经过计算,甲队每增加 1 人时,每人每天的平均花费将减少 30 元钱。若最终甲、乙两队一起旅行的人数相同,且旅行天数与各自原计划天数一致。两队共需花费 17640 元钱,求 m 的值。

15. 解:(1)设甲队计划 $x$ 天到达 B 地。由题意得$\dfrac{120}{x}=\dfrac{1}{2}·\dfrac{160}{x-2}$,解得 $x=6$,经检验,$x=6$ 是原方程的解,且符合题意,$x-2=4$。答:甲队计划 6 天到达 B 地,乙队计划 4 天到达 B 地。
(2)由题意得,$135× 4(m+8)+6(300-30m)(m+8)=17640$,解得 $m=6$ 或 $m=-1$(舍去)。